拉压杆横截面上的应力应变及胡克定律.ppt

用同一材料制成而横截面积不同的两杆，在相同拉力的作用下，随着拉力的增大，横截面小的杆件必然先被拉断。这说明，杆的强度不仅与轴力的大小有关，而且还与横截面的大小有关，即杆的强度取决于内力在横截面上分布的密集程度。分布内力在某点处的集度，即为该点处的应力。,第二节拉、压杆横截面上的应力、应变及胡克定理,一、杆件在一般情况下应力的概念,返回目录,下一页,上一页,O点,F微内力,A微面积,研究图示杆件。在截面m-m上任一点O的周围取一微小面积A，设在A上分布内力的合力为F， F与A的比值称为A上的平均应力，用pm表示，即,返回首页,下一页,上一页,pm,全应力,一般情况下，内力在截面上的分布并非均匀，为了更真实的描述内力的实际分布情况，应使A面积缩小并趋近于零，则平均应力pm的极限值称为m-m截面上O点处的全应力，并用p表示，即,O,返回首页,下一页,上一页,全应力pm的方向即F的方向。通常将应力分解成垂直于截面的法向分量 和相切于截面的切向分量。 称正应力， 称为切应力。,正应力,切应力,返回首页,下一页,上一页,在我国的法定计量单位中，应力的单位为Pa（帕），1Pa=1N/m2。在工程实际中，这一单位太小，常用兆帕（MPa）和吉帕（GPa），其关系为1MPa=106Pa，1GPa=109Pa。,正应力,切应力,返回首页,下一页,上一页,1实验观察 取一等截面直杆，在杆上画出与杆轴线垂直的横向线1-1 和2-2 ，再画上与杆轴向平行的纵向线，然后沿杆的轴线作用拉(压)力F，使杆件产生拉伸变形。此时可以观察到：横向线在变形前后均为直线，且都垂直于杆的轴线，只是其间距增大(缩小) ，纵向间距减小(增大)，所有正方形的网格均变成大小相同的长方形。,2平面截面假设 可作如下假设：变形前的截面，变形后仍未垂直于轴线的平面，仅略作平移而已，这个假设成为平面假设。,3应力分布 它意味着拉杆的任意两个截面之间所有纵向线段的变形相同。由材料的均匀连续性假设，可以推断出内力在横截面上的分布是均匀的，且都垂直于横截面。,轴向拉伸,轴向压缩,FN,F,F,F,F,（6-1）,1,1,2,2,1,1,2,2,1,1,2,2,1,1,2,2,二、拉压杆横截面上的正应力,正应力 ，其计算式为,返回首页,下一页,上一页,一中段开槽的直杆，承受轴向载荷F20kN作用， 已知h=25mm，h0=10mm，b=20mm。试求杆内的最大正应力。,解 1）计算轴力。用截面法求得杆中各处的轴力为 FN=-F=-20kN,例6-2,2）求横截面面积。该杆有两种大小不等的横截面面积A1和A2，显然A2较小，故中段正应力大。 A2=(h-h0)b=(25-10)20mm2 =300mm2,3）计算最大正应力,FN,负号表示其应力为负（压力）。,返回首页,下一页,上一页,三、斜截面上的应力,轴向拉（压）杆的破坏有时不沿着横截面，例如铸铁压缩时沿着大约与轴线成45的斜截面发生破坏，因此有必要研究轴向拉（压）杆斜截面上的应力。设图示拉杆的横截面面,F,斜截面上的应力显然也是均布的，故斜截面上任一点的全应力为,积为A，任意斜截面k-k的方位角为。用截面法可求得斜截面上的内力为 F =F,返回首页,下一页,上一页,p,式中，A为斜截面的面积， ，代入上式后有,（6-2）,式中， 是横截面上的正应力。,将斜截面上的全应力p分解为垂直于斜截面的正应力和位于斜截面内的切应力，由几何关系得到 pcos cos2 psin cossin,（6-3）,返回首页,下一页,上一页,从式(6-3)可以看出，斜截面上的正应力和切应力都是的函数。这表明，过杆内同一点的不同斜截面上的应力是不同的。当=0时，横截面上的正应力达到最大值 max = 当 =45时，切应力达到最大值 max = 当 =90时， 和均为零，表明轴向拉（压）杆在平行于杆轴的纵向截面上无任何应力。,返回首页,下一页,上一页,在应用式(6-3)时，须注意角度 和、的正负号。现规定如下：仍以拉应力为正，压应力为负；的方向与截面外法线按顺时针方向转90所示方向一致时为正，反之为负。 由式(6-3)中的切应力计算公式 可以看到，必有 -+90。，说明杆件内部相互垂直的截面上，切应力必然成对出现，两者等值且都垂直于两平面的交线，其方向则同时指向或背离交线，此即切应力互等定理。,返回首页,下一页,上一页,四、 拉、压杆的变形及胡克定理,F,F,l1,a1,F,F,l1,a1,1纵向线应变和横向线应变,设方形截面拉杆原长为l，边长为a，受轴向拉力F后，纵向长度由l变为ll，横向尺寸由a变为a1，则,横向变形为 a=a1- a 纵向变形为 l=l1- l,返回首页,下一页,上一页,为了度量杆的变形程度，用单位长度内杆的变形即线应变来衡量。与上述两种绝对变形相对应的线变形为 横向线应变 纵向线应变,线应变所表示的是杆件的相对变形。它是一个量纲为1的量。 实验表明，当应力不超过某一限度时，横向线应变和纵向线应变之间存在比例关系且符号相反，即 =- 式中，比例常数 称为材料的横向变形系数，或称泊松比。,返回首页,下一页,上一页,2胡克定律 实验表明，当拉、压杆的正应力不超过某一限度时，其应力与应变成正比。即 E （6-4） 式（6-4）称胡克定律。其中，比例常数E称为材料的弹性模量。对同一种材料，E为常数。弹性模量具有应力的单位，常用GPa表示。,若将 式和 代入式（6-4），则得胡克定律的,另一表达式,（6-5）,式（6-5）表明：若杆的应力未超过某一极限值，则其绝对变形l与力FN成正比，而与横截面积A成反比。其中分母EA称为杆的抗拉（压）刚度 。,返回首页,下一页,上一页,表6-1 几种材料的E、值,下一页,上一页,返回,弹性模量E和泊松比都是表征材料的弹性常数，可由实验测定。几种常用材料的E和值见表6-1,返回首页,下一页,上一页,图示阶梯杆，已知横截面面积AAB=ABC=500mm2，ACD=300mm2，弹性模量E=200GPa。试求杆的总伸长。,解 1）作轴力图。用截面法求得CD段和BC段的轴力FNCD=FNBC=-10kN，AB段的轴力为FNAB=20kN，画出杆的轴力图 。,例6-3,2）计算各段杆的变形量,O,FN,10kN,20kN,x,返回首页,下一页,上一页,=-0.01mm,2）计算各段杆的变形量,3）计算杆的总伸长 l = lAB+ lBC+ lCD =(0.02-0.01-0.0167) mm-0.0067mm 计算结果为负，说明杆的总变形为缩短。,返回首页,下一页,上一页,退出,