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高中数学必修三知识点总结与例题精讲一:随机事件的概率 (1)必然事件:在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件(certain event),简称必然事件. (2)不可能事件:在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件(impossible event),简称不可能事件. (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件. (4)随机事件:在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件(random event),简称随机事件;确定事件和随机事件统称为事件,用A,B,C,表示. (5)频数与频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验nA中事件A出现的次数n为事件A出现的频数(frequency);称事件A出现的比例f(A)=ann为事件A出现的频率(relative frequency);对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率f(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概n率(probability). (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数与试验总次数nnAnA的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这n种摆动幅度越来越小.我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率. 频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.在实际问题中,通常事件的概率未知,常用频率作为它的估计值. 频率本身是随机的,在试验前不能确定.做同样次数的重复实验得到事件的频率会不同. 概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关.比如,一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率就是0.5,与做多少次实验无关. 例1 为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法,先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾. 试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数. 分析:学生先思考,然后交流讨论,教师指导,这实际上是概率问题,即2 000尾鱼在水库中占所有鱼的百分比,特别是500尾中带记号的有40尾,就说明捕出一定数量的鱼中带记号的概40率为,问题可解. 5002000解:设水库中鱼的尾数为n,A=带有记号的鱼,则有P(A)=. ? n40因P(A)?， ? 500200040,由?得,解得n?25 000. n500所以估计水库中约有鱼25 000尾. 二:概率的意义 1、 概率是对随机事件发生的可能性的描述，概率越大随机事件发生的可能性越大，概率越小随机事件发生的可能性就越小。对于高概率的事件也有可能不会发生，低概率的事件也有可能会发生。 1例如:1、如果某种彩票中奖的概率为,那么买1 000张彩票一定能中奖吗 10002、“天气预报说昨天降水概率为90%,结果根本一点雨都没下,天气预报也太不准确了.”学了概率后,你能给出解释吗, 答:1、不一定能中奖,因为买1 000张彩票相当于做1 000次试验,因为每次试验的结果都是随机的,即每张彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1 000张彩票中可能没有一张中奖,也可能有一张、两张乃至多张中奖. 2、天气预报的“降水”是一个随机事件,因此,“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的. 三:概率的基本性质 若A、B为随机事件，则 ?如果事件A发生,则事件B一定发生,这时我们说事件B包含事件A(或事件A包含于事件,B),记为BA(或AB),不可能事件记为,任何事件都包含不可能事件. ,?如果事件A发生,则事件B一定发生,反之也成立,(若BA同时AB),我们说这两个事,件相等,即A=B. ?如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与B的并事件(或和事件),记为A?B或A+B. ?如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与B的交事件(或积事件),记为A?B或AB. ,?如果A?B为不可能事件(A?B=),那么称事件A与事件B互斥,即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生. ?如果A?B为不可能事件,A?B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生. 基本性质: (1)概率的取值范围是01之间,即0?P(A)?1. (2)必然事件的概率是1.如在掷骰子试验中,E=出现的点数小于7,因此P(E)=1. (3)不可能事件的概率是0,如在掷骰子试验中,F=出现的点数大于6,因此P(F)=0. (4)当事件A与事件B互斥时,A?B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和,即P(A?B)=P(A)+P(B),这就是概率的加法公式.也称互斥事件的概率的加法公式. (5)事件A与事件B互为对立事件,A?B为不可能事件,A?B为必然事件,P(A?B)=1.所以1=P(A)+P(B),P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).如在掷骰子试验中,事件G=出现的点数为偶数与H=出现的点数为奇数互为对立事件,因此P(G)=1-P(H). 例题: 1.一口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球,从中一次任意摸出2只球.记摸出2只白球为事件A,摸出1只白球和1只黑球为事件B.问事件A和B是否为互斥事件,是否为对立事件, 解:事件A和B互斥，因为从中一次可以摸出2只黑球,所以事件A和B不是对立事件. 2.在一个盒子内放有10个大小相同的小球,其中有7个红球、2个绿球、1个黄球,从中任取一个球,求: (1)得到红球的概率; (2)得到绿球的概率; (3)得到红球或绿球的概率; (4)得到黄球的概率. (5)“得到红球”和“得到绿球”这两个事件A、B之间有什么关系,可以同时发生吗, (6)(3)中的事件D“得到红球或者绿球”与事件A、B有何联系, 1791答案:(1) (2) (3) (4) (5)互斥事件 不可以 (6)P(D)=P(A)+P(B) 51010103.在一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个.试求: (1)取得两个红球的概率; (2)取得两个绿球的概率; (3)取得两个同颜色的球的概率; (4)至少取得一个红球的概率. 71814答案:(1) (2) (3) (4) 151515154.盒中有6只灯泡,其中2只次品,4只正品,有放回地从中任取两次,每次取一只,试求下列事件的概率: (1)取到的2只都是次品; (2)取到的2只中正品、次品各一只; (3)取到的2只中至少有一只正品. 解:从6只灯泡中有放回地任取两只,共有36种不同取法. 41(1)取到的2只都是次品情况为4种.因而所求概率为,. 369(2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能:第一次取到正品,第二次取到次品;及4，24第一次取到次品,第二次取到正品.因而所求概率为P=，2,. 369(3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件.因而所求181,概率为P=. 995.若A表示四件产品中至少有一件是废品的事件,B表示废品不少于两件的事件,试问对立事AB件、各表示什么? AB解:表示四件产品中没有废品的事件;表示四件产品中没有废品或只有一件废品的事件. 6.回答下列问题: (1)甲、乙两射手同时射击一目标,甲的命中率为0.65,乙的命中率为0.60,那么能否得出结论:目标被命中的概率等于0.65+0.60=1.25,为什么? (2)一射手命中靶的内圈的概率是0.25,命中靶的其余部分的概率是0.50,那么能否得出结论:目标被命中的概率等于0.25+0.50=0.75,为什么? 1(3)两人各掷一枚硬币,“同时出现正面”的概率可以算得为.由于“不出现正面”是上述事件2213的对立事件,1所以它的概率等于,这样做对吗?说明道理. ,242解:(1)不能.因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥. (2)能.因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件. (3)不对.因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件,故其概率和不为1. 317.某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲、乙两队夺取冠军的概率分别是和.74试求该市足球队夺得全省足球赛冠军的概率. 19答案: 288.在房间里有4个人.问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少? 41答案: 969.某单位36人的血型类别是:A型12人,B型10人,AB型8人,O型6人.现从这36人中任选2人,求此2人血型不同的概率. 34答案: 45四:古典概型 1、基本事件 :随机事件的每一个可能结果，称为基本事件.例如:抛一枚硬币的基本事件有，A=“正面朝上”，B=“反面朝上”。 ?任何两个基本事件是互斥的; ?任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2、古典概率模型 ?试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(有限性) ?每个基本事件出现的可能性相等.(等可能性) 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型(classical models of probability),简称古典概型. 2、 古典概率模型的概率计算公式 古典概型计算:事件A的概率计算公式为: A所包含的基本事件的个数P(A)=. 基本事件的总数注意点:?要判断该概率模型是不是古典概型; ?要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数. 例题:1、向一个圆面内随机地投射一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认为这是古典概型吗?为什么, 答:不是，因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点,而圆内的点的个数是无限的，所以试验的所有可能结果数是无限的,虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”,但这个试验不满足古典概型的第一个条件. 2、如下图,某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中10环、命中9环命中5环和不中环.你认为这是古典概型吗,为什么, 不是古典概型,因为试验的所有可能结果只有7个,而命中10环、命中9环命中5环和不中环的出现不是等可能的,即不满足古典概型的第二个条件 练习: 1.在40根纤维中,有12根的长度超过30 mm,从中任取一根,取到长度超过30 mm的纤维的概率是( ) 301212A. B. C. D.以上都不对 404030解析:在40根纤维中,有12根的长度超过30 mm,即基本事件总数为40,且它们是等可能发12生的,所求事件包含12个基本事件,故所求事件的概率为. 40答案:B 2.盒中有10个铁钉,其中8个是合格的,2个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( ) 1114A. B. C. D. 54510解析:(方法1)从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为10,其中抽到合格铁钉(记为事件84A)包含8个基本事件,所以,所求概率为P(A)=.(方法2)本题还可以用对立事件,105的概率公式求解,因为从盒中任取一个铁钉,取到合格品(记为事件A)与取到不合格品(记241,为事件B)恰为对立事件,因此,P(A)=1-P(B)=. 105答案:C 3.在大小相同的5个球中,2个是红球,3个是白球,若从中任取2个,则所取的2个球中至少有一个红球的概率是_. 解析:记大小相同的5个球分别为红1,红2,白1,白2,白3,则基本事件为:(红1,红2),(红1,白1),(红1,白2)，(红1,白3),(红2,白1),(红2,白2),(红2,白3),(白1,白2), (白1,白3),(白2,白3)共10个,其中至少有一个红球的事件包括7个基本事件,所以,所求事件的概率7为.本题还可以利用“对立事件的概率和为1”来求解,对于求“至多”“至少”等事件的概率问10题,常采用间接法,即求其对立事件的概率P(A),然后利用P(A)=1-P(A)求解. 7答案: 104.抛掷2颗质地均匀的骰子,求点数和为8的概率. 解:在抛掷2颗骰子的试验中,每颗骰子均可出现1点,2点,6点6种不同的结果,我们把两颗骰子标上记号1,2以便区分,由于1,2号骰子分别有6种不同的结果,因此同时掷两颗骰子的结果共有66=36种,在所有结果中,向上的点数之和为8的结果有(2,6)(,3,5)(,4,4)(,5,3),5(6,2)5种,所以,所求事件的概率为. 365.豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定,其中决定高的基因记为D,决定矮的基因记为d,则杂交所得第一子代的一对基因为Dd,若第二子代的D,d基因的遗传是等可能的,求第二子代为高茎的概率(只要有基因D则其就是高茎,只有两个基因全是d时,才显现矮茎). 解:由于第二子代的D,d基因的遗传是等可能的,可以将各种可能的遗传情形都枚举出来. Dd与Dd的搭配方式共有4种:DD,Dd,dD,dd,其中只有第四种表现为矮茎,故第二子代为高3茎的概率为=0.75. 4答:第二子代为高茎的概率为0.75. 五:几何概型: 1、几何概型的定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability),简称几何概型. 2、 几何概型的基本特点: a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个; b.每个基本事件出现的可能性相等. 3、几何概型的概率公式: 构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)=. 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)4、 古典概型和几何概型的联系与区别: 联系:两种概率模型的每个基本事件的发生都是等可能的; 区别:古典概型的基本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同. 例题: 例1 判断下列试验中事件A发生的概率是古典概型,还是几何概型. (1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率; (2)如下图所示,图中有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率. 解:(1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有66=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型; (2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型. 点评:本题考查的是几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性.而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关. 例2 某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于10分钟的概率. 分析:假设他在060分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但是060分钟之间有无穷个时刻，所以不能用古典概型。因为电台每隔一小时报时一次，他在060之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件 解:设A=等待的时间不多于10分钟，我们所关心的时间A恰好是打开收音机的时刻位于50,60的时间段内，因此有 P(A)=(60-50)/60=1/6 变式训练 1、某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率(假定车到来后每人都能上). 解:可以认为人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为a,则某人到站的一切可能时刻为=(a,a+5),记A=等车时间少于3分钟,则他到站的时刻只能为g=(a+2,a+5)中gg的长度3,的任一时刻,故P(A)=. g,的长度5点评:通过实例初步体会几何概型的意义. 2、 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少, 分析:石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率. 解:记“钻到油层面”为事件A,则P(A)=0.004. 答:钻到油层面的概率是0.004. 几种常见的几何概型: 1.与长度有关的几何概型 例1 有一段长为10米的木棍,现要将其截成两段,要求每一段都不小于3米,则符合要求的截法的概率是多大, 分析:由于要求每一段都不小于3米,也就是说只能在距两端都为3米的中间的4米中截,这是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题. 10,3,32,解:记两段木棍都不小于3米为事件A,则P(A)=. 1052.与面积有关的几何概型 这里有一道十分有趣的题目: 例2 郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛,比赛规则如下:在很远的地方有一顶帐篷,可以看到里面有一张小方几,要将一枚铜板扔到这张方几上.已知铜板的直径是方几3边长的,谁能将铜板整个地落到方几上就可以进行下一轮比赛.郭靖一扔,铜板落到小方几4上,且没有掉下,问他能进入下一轮比赛的概率有多大, 分析:这是一道几何概型问题,在几何概型中,样本空间是问题所涉及的整个几何图形,在本题中,样本空间就是小方几的桌面面积.一个事件就是整个几何图形的一部分,这个事件发生的概率就是这部分面积与整个图形的面积比. 解:不妨设小方几的边长为1,铜板落到小方几上,也就是铜板的中心落到方几上,而要求整个11铜板落到小方几上,也就是要求铜板的中心落到方几中内的一个的小正方形内(如上443图),这时铜板中心到方几边缘的距离?铜板边长的.整个方几的面积为11=1,而中央小正81111116方形的面积为=,所以郭靖进入下一轮比赛的概率为,. 1164416例3 甲、乙两人相约在上午9:00至10:00之间在某地见面,可是两人都只能在那里停留5分钟.问两人能够见面的概率有多大, 解:设甲到的时间为(9+x)小时,乙到的时间为(9+y)小时,则0?x?1,0?y?1. 点(x,y)形成直角坐标系中的一个边长为1的正方形,以(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)为11顶点(如右图).由于两人都只能停留5分钟即小时,所以在|x-y|?时,两人才能会面. 1212111由于|x-y|?是两条平行直线x-y=与y-x=之间的带状区域,正方形在这两个带状区域12121211112是两个三角形,其面积之和为(1-)(1-)=(). 12121223上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。2311232144从而带形区域在这个正方形内的面积为1-()=,因此所求的概率为,. 11441441211.弧长及扇形的面积3.与体积有关的几何概型 例4 在5升水中有一个病毒,现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大, 分析:病毒在这5升水中的分布可以看作是随机的,取得的1升水可以看作构成事件的区域,5升水可以看作是试验的所有结果构成的区域,因此可能用体积比公式计算其概率. (1)三角形的外接圆: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.取出的水的体积1,解:“取出1升水,其中含有病毒”这一事件记作事件A,则P(A)=0.2. 所有水的体积5从而所求的概率为0.2. 现在我们将这个问题拓展一下: 扇形的面积S扇形=LR2例5 在5升水中有两个病毒,现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大, 分析:此题目与上一题有一点区别,即现在在5升水中含有两个病毒,我们不妨将这两个病毒顶点坐标：（，）1分别记作病毒甲和病毒乙.随机地取1升水,由上题我们可知含有病毒甲的概率为,含有病毒5(6)直角三角形的外接圆半径1乙的概率也是,而这两种情况都包括了“既有病毒甲又有病毒乙”的情况,所以应当将这种情5况去掉. (1)如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.（圆心向弦作垂线）解:记“取1升水,含有病毒甲”为事件A;“取1升水,含有病毒乙”为事件B,则“既含有病毒甲又含有病毒乙”为事件AB. 11119，,，,从而所求的概率为P=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.36. 5555254.与角度有关的几何概型 例6 在圆心角为90?的扇形中,以圆心为起点作射线OC,求使得?AOC和?BOC都不小于30?的概率. 三、教学内容及教材分析：解:设事件A是“作射线OC,求使得?AOC和?BOC都不小于30?”.则=90?-30?-30?=30?,a,30:1A,而=90?,由几何概型的计算公式得P(A)=. ,90:3,(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(1)三角形的外接圆: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.注意:在高中数学阶段,我们对于与面积有关的几何概型和与体积有关的几何概型要求重点掌握.这里只是列出了几道与几何概型有关的题目,可以说,在高中数学学习阶段,这四种几何概率模型基本上包括了我们所要学习的几何概型,希望能对大家有一点帮助.