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2.5平面向量应用举例2.5.12.5.1平面几何的向量方法平面几何的向量方法平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 向量概念和运算，都有明确的物理背景和向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为量的运算就可以完全转化为“代数代数的计算，的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。的方便。由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、类似、长度、夹角都可以由向量的线性全等、类似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因而，利用向量方法运算及数量积表示出来，因而，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。可以解决平面几何中的一些问题。问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？长度与两条邻边长度之间的关系吗？,ACABAD ,DBABAD ABCD猜测：猜测：2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？类比猜想，平行四边形有相似关系吗？例例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC知：平行四边形ABCD。求证：222222BDACDACDBCABbADaAB,解：设解：设 ，那么，那么 baDBbaACaDAbBC;,分析：因为平行四边形对边平行且相分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设等，故设 其它线段对应向其它线段对应向量用它们表示。量用它们表示。bADaAB,)(2222222baDACDBCAB2222babaBDAC222222222222bababbaabbaa222222BDACDACDBCAB你能总结一下利用向量法解决平面几何问题你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？的基本思路吗？（1建立平面几何与向量的联系，用向量表建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2通过向量运算，研究几何元素之间的关通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3把运算结果把运算结果“翻译成几何元素。翻译成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：简述：形到向量简述：形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形例例2 如图，如图，ABCD中，点中，点E、F分别分别是是AD、DC边的中点，边的中点，BE、BF分分别与别与AC交于交于R、T两点，你能发现两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？之间的关系吗？ABCDEFRT猜测：猜测：AR=RT=TC解：设解：设 那么那么,A Ba A DbA Rr A Cab 由于由于 与与 共线，故设共线，故设ARAC(),rn ab nR 又因为又因为 共线，共线，所以设所以设E RE B与与12()ERmEBm ab 因为因为 所以所以A RA EE R 1122()rbm ab 1122()()n abbm ab 因因此此ABCDEFRT102()()mnm anb 即即,a b由由于于向向量量不不共共0102nmmn 线，线，1 1解解 得得：n n=m m=3 3111333,ARACTCACRTAC 所所以以同同理理于于是是故故AT=RT=TCABCDEFRT练习、证明直径所对的圆周角练习、证明直径所对的圆周角是直角是直角ABCO如下图，知 O，AB为直径，C为 O上任意一点。求证ACB=90分析：要证分析：要证ACB=90，只须证向，只须证向量量 ，即，即 。CBAC 0CBAC解：设解：设 那么那么 ，由此可得：由此可得：bOCaAO,baCBbaAC,babaCBAC2222baba022rr即 ，ACB=900CBAC考虑：能否用向量考虑：能否用向量坐标形式证明？坐标形式证明？ab（1建立平面几何与向量的联系，用向量表建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2通过向量运算，研究几何元素之间的关通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3把运算结果把运算结果“翻译成几何元素。翻译成几何元素。小结：小结：用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：作业：作业：课本课本P125 1,2
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