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第五章第二节,矩阵的相似与对角化,相似矩阵的定义及性质,定义,设 都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵 ，使得,则称矩阵 是矩阵 的相似矩阵，,对 进行运算 称为对 进行相似变换，,可逆矩阵 称为把矩阵 变成矩阵 的相似变换矩阵。,性质1 矩阵的相似关系是一种等价关系,P 可逆,推论：若矩阵 与对角阵 相似，,则 是 的 个特征值。,性质3,性质2、3的逆均不真,利用对角矩阵计算矩阵的幂和矩阵多项式,我们将 A 化为与之 相似的对角形矩阵，它的高次幂就容易表出,利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 .,证明,用相似变换将方阵对角化,定理得证.,注意：,如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 就能对角化,定理2 方阵A的不同特征值所对应的特征向量是线性无关的.,证明 设1, 2, m是A的m个不同的特征值, 1, 2, m依次是与之对应的特征向量, 现要证1, 2,m线性无关.,观察方程组x11+x22+xmm=0.等式两边左乘A:A(x11+x22+xmm)=A0即1x11+2x22+mxmm=0.,x1a1+x2a2+xmam=0.即l1x1a1+l2x2a2+lmxmam=0.一次次地左乘A, 得,把上面m个等式合写成矩阵形式, 即,上式左端第二个矩阵的行列式是范德蒙行列式, 由于li各不相同, 故此行列式不等于零, 因而此矩阵可逆. 在此等式两边 右乘此矩阵的逆矩阵, 有(x1a1,x2a2,xmam)=(0,0,0),即xjaj=0 j=1,m.由于aj0, 故xj=0 所以向量组a1,a2,am线性无关,例1 设矩阵,求: (1) 与A相似的对角矩阵；(2) 相似变换矩阵P；(3) A100 .,因为 ，,解,所以A有两个特征值,(1) 显然，A有三个线性无关的特征向量，所以A与对角矩阵,相似.,(2) 以 作为列向量,得矩阵,不唯一，排列顺序可以不同,因为 ，则,(3),依此类推,得知,又由,例2 已知矩阵,(1) 求x与y; (2)求一个满足 的可逆矩阵P.,（考虑从 着手求参数）,有时可以从迹相等入手,即,由上式得,解,因A与B相似，,故,比较等式两边的系数，得,x=0 y=1,此时,(2) 由B知A的特征值为2,1, ,且分别可求得A的特征向量,以 为列向量作矩阵 则P可逆,且 .,由特征值、特征向量反求矩阵,例3： 已知方阵 的特征值是,相应的特征向量是,解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 是3 阶方阵。,因为 有 3 个不同的特征值，所以 可以对角化。,即存在可逆矩阵 , 使得,其中,求得,因为复根必成对共轭出现, 故l1与l2不可能是复的, 故l1与l2为实根, 由l1l20, 知l1l2. 于是由定理1推论知: 二阶矩阵有二个单根, 则必可对角化.,例 4设二阶矩阵A, |A|0, 证明: A必可 对角化.,证明 |A|=120.,定理4 方阵A的k重特征值0所对应的特征向量至多有k个.,定理5 方阵A可对角化的充要条件是:A的ki重特征值i恰好有ki个线性无关的特征向量.,推论 方阵A可对角化的充要条件是:A的ki重特征值i矩阵i E-A的秩恰好是n- ki.,1、两矩阵等价必相似吗?反之呢? 2、若n阶矩阵A,B相似,则 相似吗?,思考题,2、相似,因为A,B相似,故有满秩矩阵P,使 ,而,思考题解答,1、两矩阵等价,不一定相似.反之,如果 两矩阵相似,一定等价.,课后思考题,思考题解答,
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