2021年中考数学 锐角三角函数及其应用 专题训练

1 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！2021 中考数学 锐角三角函数及其应用 专题训练一、选择题1.sin60的值等于( )A.12B.22C.32D. 32.（2020 玉林）sin45的值是（ ）1 2 3A B C D1 2 2 23.如图，平面直角坐标系中，P 经过三点 A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点 D是P 上的一动点，当点 D 到弦 OB 的距离最大时，tanBOD 的值是( )A.2B.3 C.4 D.54.（2020 凉山州）如图所示，ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则 tanA 的值为（ ）ABCAB2C2 D 225.22(2019 江苏苏州)如图，小亮为了测量校园里教学楼 AB的高度，将测角仪 CD 竖直放置在与教学楼水平距离为 18 3 m的地面上，若测角仪的高度为 1.5 m ，测得教学楼的顶部 A处的仰角为 30 ，则教学楼的高度是 AD30CB书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！A 55.5 mB 54 mC 19.5 mD 18 m6.如图，在ABC 中，ABAC，BC12，E 为 AC 边的中点，线段 BE 的垂直平分线交边 BC 于点 D.设 BDx，tanACBy，则( )A. xy23 B. 2xy2 9 C. 3xy215 D. 4xy2217.(2019浙江金华) 如图，矩形ABCD的对角线交于点O已知AB=m ，BAC=，则下列结论错误的是ABDC=BBC=mtanCAO =m2sinaDBD =mcos a8.（2020湘西州）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，矩形的另一个顶点 D 在 y 轴的正半轴上，矩形的边 ABa， BCb，DAOx，则点 C 到 x 轴的距离等于（ ）Aacosx+bsinx Bacosx+bcosx Casinx+bcosx Dasinx+bsinx 二、填空题9.如图，人字梯 AB，AC 的长都为 2 米，当 =50时，人字梯顶端离地面的高度AD 是 tan501.19).米 ( 结果精确到 0.1 m ，参考数据 :sin500 .77 ， cos500 .64 ，2 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！10.1已知 ，均为锐角，且满足 |sin | （tan1）20 ，则 _11.如图是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图所示的几何图形，已知 BC BD 15 cm ， CBD 40 ，则点 B 到 CD 的距离为 _cm(参考数据：sin200.342，cos200.940，sin400.643，cos40 0.766.结果精确到 0.1 cm，可用科学计算器)12.如图，航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 30 ，测得底部 C的俯角为 60，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离 AD 为 90 米，那么该建筑 物的高度 BC 约为_米(精确到 1 米，参考数据： 31.73)13.(2019浙江衢州)如图，人字梯 AB，AC的长都为 2 米，当 =50时，人字梯顶端离地面的高度 AD 是_米(结果精确到 0.1m参考数据：sin50 0.77，cos500.64，tan501.19)O O 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！14.（2020 杭州）如图，已知AB是 的直径，BC与 相切于点B，连接AC，OC若sin BAC =13，则tan BOC =_AOCB15.如图，AB6，O 是 AB 的中点，直线 l 经过点 O，1120，P 是直线 l上一点 APB 为直角三角形时，AP_三、解答题16.如图，大楼 AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼 DE，在小楼的顶端 D 处测得障碍物边缘点 C 的俯角为 30，测得大楼顶端 A 的仰角为 45(点 B、 C、E 在同一水平直线上)，已知 AB80 m，DE10 m，求障碍物 B、C 两点间的距离(结果精确到 0.1 m，参考数据： 21.414， 31.732)17.如图，大海中某灯塔 P 周围 10 海里范围内有暗礁，一艘海轮在点 A 处观察灯塔 P 在北偏东 60方向，该海轮向正东方向航行 8 海里到达点 B 处，这时观察 灯塔 P 恰好在北偏东 45方向如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由(参考数据： 31.73)2 18.(2019书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！铜仁)如图，A、B 两个小岛相距 10km ，一架直升飞机由 B 岛飞往 A 岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的 hkm，当直升机飞到 P 处时，由 P 处测得 B 岛和 A 岛的俯角分别是 45和 60，已知 A、B、P 和海平面上一点 M 都在同一个平面上，且 M 位于 P 的正下方，求 h(结果取整数， 31.732)2021 中考数学 锐角三角函数及其应用 专题训练-答案一、选择题1. 【答案】2. 【答案】CB3【解析】sin60 .【解析】根据特殊角的三角形函数值可知 sin4522，故选择 B3. 【答案】B 解析如图所示，当点 D 到弦 OB 的距离最大时，DEOB 于 E 点， 且 D，E，P 三点共线.连接 AB，由题意可知 AB 为P 的直径，A(8，0)，OA=8 ， B(0 ， 6) ， OB=6 ， OE=BE= OB=3 ， 在 Rt AOB 中 ，AB= =10，BP= AB= 10=5，在 Rt PEB 中，PE= =4，DE=EP+DP=4+5 =9，tanDOB= = =3，故选 B.4. 【答案】A【解析】如答图，连接 BD（D、E均为格点），则 DBDE2 CG书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！EADBC由勾股定理，得 DB 2，AD22在 RtADB 中，tanADB 2 1= = ，AD 2 2 2故选 A5. 【答案】C【解析】过 D作 DE AB交 AB于 E，DE =BC =18 3 ，在Rt ADE中，tan30 =AEDE， AE =18 3 33=18(m)， AB =18 +1.5 =19.5(m)，故选 CADC30EB6. 【答案】B 【解析】连接 DE，过点 A 作 AFBC，垂足为 F，过 E 作 EGBC， 垂足为 G.ABAC，AFBC，BC12，BFFC6，又E 是 AC 的中点，1 EGEGBC，EGAF，CGFG CF3，在 Rt CEG 中，tanC ，EG CGtanC3y；DGBFFGBD63x 9x，HD 是 BE 的垂直平分线，BDDEx，在 Rt EGD 中，由勾股定理得，ED2DG2EG2，x2(9x)2(3y)2，化简整理得，2xy29.7. 【答案】C【解析】A、四边形ABCD是矩形，ABC=DCB=90，AC=BD，AO=CO， BO=DO，AO=OB=CO=DO，DBC=ACB，由三角形内角和定理得：BAC=BDC=，故本选项不符合题意；B、在RtABC中，tan =BCm，即BC=mtan，故本选项不符合题意；2 2 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！C、在RtABC中，AC =m m ，即AO =cos a 2cosa，故本选项符合题意；D、四边形ABCD是矩形，DC=AB=m，BAC=BDC=，在RtDCB中，BD =故选C8. 【答案】mcos aA，故本选项不符合题意；【解析】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角函数定义等知识；熟练 掌握矩形的性质和三角函数定义是解题的关键作 CEy 轴于 E，如图：四边 形 ABCD 是矩形，CDABa，ADBCb，ADC90，CDE+ADO 90，AOD90，DAO+ADO90 ，CDEDAOx，sinOD DEDAO = ，cosCDE = ，ODADsinDAObsinx，DEDcos AD CDCDEacosx，OEDE+ODacosx+bsinx，点 C 到 x 轴的距离等于acosx+bsinx；因此本题选 A二、填空题9. 【答案】1.5 解析 由三角函数的定义得 :sin=sin50= =0.77 ，所以AD20.77=1.541.5(米).10. 【答案】75 【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的1和又为零，于是它们都为零根据题意，得|sin |0， （tan1）20， 1则 sin ，tan 1，又因为 、 均为锐角，则 30，45，所以 304575.11. 【答案】14.1 【解析】如解图 ，过点 B 作 BECD 于点 E，BC BD15cm，CBD40，CBE20，在 RtCBE 中，BEBCcosCBE15 0.94014.1(cm)12. 【答案】208【解析】在 RtABD 中，BDAD tanBAD90 tan301 BC 1 ，因此本题答案为 1 1 1 2 13 4 3书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！30 3，在 RtACD 中，CDAD tanCAD90tan6090 3，BCBD CD30 390 3120 3208(米)1.513. 【答案】【解析】sin =214. 【答案】2ADAC，AD=ACsin20.771.5，故答案为：1.5【解析】本题考查了锐角三角函数的意义，切线的性质，因为BC与O相切于点B，所以ABBC，所以ABC90在RtABC中，因为sinBAC ，所以3 设BCx ，则AC3x在Rt AC 3ABC中，由勾股定理得直径ABAC2-BC2 (3x ) 2 -x 2 2 2 x ，所以半径OB 2 x 在RtOBC中，tanBOCBC x 2 2 OB 2 x 2 215. 【答案】3或 3 3 或 3 7【解析】如解图，点 O 是 AB 的中点，AB6，AOBO3.当点 P 为直角顶点，且 P 在 AB 上方时，1120 ， AOP 60，AOP 是等边三角形，AP OA3；当点 P 为直角顶点，且 P 在 AB 下方时，AP BP 62323 3；当点 A 为直角顶点时，AP3AO tanAOP 3 33 3；当点 B 为直角顶点时，AP BP 62（3 3）23 7.综上，当APB 为直角三角形时，AP 的值为 3 或 3 3 或3 7.三、解答题16. 【答案】解：如解图，过点 D 作 DFAB，垂足为点 F，则四边形 FBED 为矩形，(1 分)FDBE，BFDE10，FDBE，(2 分)CEAC 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！第 12 题解图由题意得：FDC30，ADF45，FDBE，DCEFDC30，(3 分)在 RtDEC 中，DEC90，DE10，DCE30，DEtanDCE ，(4 分)10CE 10 3，(5 分)tan30在 RtAFD 中，AFD 90，ADFFAD45，FDAF，又AB80，BF10 ，FDAFABBF801070，(6 分)BCBECEFDCE7010 352.7(m)(7 分)答：障碍物 B、C 两点间的距离约为 52.7 m(8 分)17. 【答案】解：不会有触礁危险理由如下：如解图，过点 P 作 PCAB，由题意可得，PAB30，PBC45，(2 分) 设 PCx ，则 BCx ，PC x 3tanPACtan30 ，8x8 3解得 x 4 3410.9210，(4 分)3 3不会有触礁的危险(6 分)18. 【答案】由题意得，A=30，B=45，AB=10km，在 RtAPM 和 RtBPM 中，tanA= h 3AM= = h，BM=h， 3 3h h= 3 ，tanB= =1， AM BM书山有路勤为径，学海无涯苦作舟！AM+BM=AB=10，解得 h=155 3 6 答：h 约为 6km33h+h=10，