2021年中考数学培优 专题讲义 圆内接多边形

圆内接多边形解题关键：抓住点在圆上，即圆上的点到圆心距离为半径这一本质. 【例题讲解】例题 1、如图，三个全等的正方形内接于圆，正方形的边长为 16，求圆的 半径.答案：由题意可知，圆心应该在下面两个正方形的相交边上面，且设定圆 心与上面正方形的距离为 x ，则 BO 16 x ，BC 16 ，AD 8 ，40 16 x，故BC2BO2AD2AO2，则可以得到方程：16（16x）2（16x）282，解之得x3，所以能将其完全覆 盖的圆的最下半径为R2162(16x）25 17 即为所求。例题 2、如图，在半径为 2，圆心角为 60的扇形内接一个正方形，分别求 出以下两种接法的正方形边长.AAFCFCEO60D E BO60D B答案：221 6 337，43-6.例题 3、如图，3 个正方形在O 直径的同侧，顶点 B、C、G、H 都在 O 的直径上，正方形 ABCD 的顶点 A 在O 上，顶点 D 在 PC 上，正方 形 EFGH 的顶点 E 在O 上，顶点 F 在 QG 上，正方形 PCGQ 的顶点 P1 / 7也在O 上.若 BC1，GH2，则 CG 的长为（ ）A. 12 B.5P21C. 6 D.2 2QADFEB COG H答案：C.【巩固练习】1、如图，在以 AB 为直径的半圆中，有一个边长为 1 的正方形 CDEF， 则该圆的半径为.D EA C O F B第1题2、如图，三个相邻的正方形内接于半圆，若小正方形的面积为 16cm2， 则正方形 BEFG 的边长为 .第 2 题3、如图，用 3 个边长为 1 的正方形组成一个轴对称图形，则能将其完2 / 7全覆盖的圆的最小半径为.第 3 题4、如图，用边长为 1 和 3 的两个正方形组成一个图形，则能将其完全 覆盖的圆形纸片的最小半径为.第4题5、如图，正方形 ABCD 的顶点 A、B 和正方形 EFGH 的顶点 G、H 在一个半径为 5cm 的O 上，点 E 、F 在线段 CD 上，正方形 ABCD 的边 长为 6cm，则正方形 EFGH 的边长为 cm.DHEGFCOAB第5题6、如图，已知扇形的圆心角为 2（定值），半径为 R（定值），分别在 图一、二中作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为 1 R2tan，则按图二作出的矩形面积的最大值为（）2A.R2tanB.R2tan 1 C. 1 R2tan 1 D. 1 R2tan2 2 2 23 / 722图1图27 、一种电讯信号转发装置的发射直径为 31km. 现要求：在一边长为 30km 的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置， 使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市.问：（1）能否找到这样的 4 个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后 能达到预设的要求？（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置 后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用 必要的计算、推理和文字来说明你的理由.（下面给出了几个边长为 30km 的正方形城区示意图，供解题时选用）DAA D A D A D A DBC BC BC BC图1图2图3图48、我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖 圆.例如线段 AB 的最小覆盖圆就是以线段 AB 为直径的圆 .（1）请分别作出下图中两个三角形的最小覆盖圆；（要求用尺规作图，4 / 747.8保留作图痕迹，不写作法）（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论；（不 要求证明）（3）某地有四个村庄 E，F，G，H（其位置如图 2 所示），现拟建一个 电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中 转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？ 请说明理由.GH32.449.853.8A80A100504447.135.1FB C B CE5 / 7参考答案1. 答案：5 .22. 答案：8cm.3.答案： 5 17 . 164. 答案：2.5.5. 答案：31.6. 答案：B.7. 答案：（1）将图 1 中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这 4 个 转发装置安装在这 4 个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为 1230215 2 ，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装 4 个这种装置可以达到预设的要求。（2）将原正方形分割成如图 2 中的 3 个矩形，使得 BEDGCG，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设 AEx，则 ED 30x，DH15，由 BEDG，得 x2302152（30x）2，x 225 15=60 4，BE15( )42+30230.231，即如此安装 3 个这种转发装置，也能达到预设要求；要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶6 / 7点，如图 3，用一个直径为 31 的O 去覆盖边长为 30 的正方形 ABCD， 设O 经过 A，B，O 与 AD 交于 E，连结 BE，则 AE31230261151 AD，2这说明用两个直径都为 31 的圆不能完全覆盖正方形 ABCD。所以，至少要安装 3 个这种转发装置，才能达到预设要求。8.答案：（1）图略；（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外 接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边 （直角或钝角所对的边）为直径的圆。（3）此中转站应建在EFH 的外接圆圆心处（线段 EF 的垂直平分线与线 段 EH 的垂直平分线的交点处）。理由如下：由 HEF HEG GEF 47.835.182.9， FHE50.0，EFH47.1，故EFH 是锐角三 角形，所以其最小覆盖圆为EFH 的外接圆，设此外接圆为O，直线 EG 与O 交于点 E，M，则EMFEHF50.053.8EGF，故点 G 在O 内，从而O 也是四边形 EFGH 的最小覆盖圆，所以中转站建在 EFH 的外接圆圆心处，能够符合题中要求。7 / 7