用向量计算空间角.ppt

用向量计算空间角,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线 ，我们把直线 和 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。,异面直线所成角的范围是 。,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角；,由定义知，直线与平面所成的角0， ,一、几类空间角的定义及范围,1.异面直线所成角,2.直线和平面所成角,特别地，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0角。,1.求异面直线所成角的公式：,其中 是异面直线 上的方向向量。,2.求线面角大小的公式：,其中 是平面的法向量。,二、空间角的向量计算,如图，设平面的法向量为 ，直线AO与平面所成的角为 .则,点A到平面的距离d为：,例1：如右图，直三棱柱A1B1C1ABC中，BCA=90, 点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成的角的余弦值.,解：,则B,（1,0,0),A（0,1,0）,（1）求异面直线所成的角,所以直线BD1与AF1所成的角的余弦值,设异面直线BD1与AF1所成的角的角为 ，,则,例2：如图，在长方体AC1中，棱AB=BC=3，棱BB1=4，点E是CC1的中点 。 求ED与平面A1B1C所成角的大小的正弦值.,B1,A1,D1,C1,C,D,E,A,由题意知：,=（3，0，0）；,设平面A1B1C的法向量为 =（x，y，z）则,令z=3，则 =（0，4，3），,（2）求直线和平面所成的角,B,D （0，3，0）； E （3，3，2）； A1（0，0，4）； B1（3，0，4）； C （3，3，0）。,=（3，0，2）,设DE与面A1B1C所成角为 ，则,Sin =|cos|=,即 ED与平面A1B1C所成角的大小为,在二面角的棱上任取一点，过这点在二面角的两个面内做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。,二面角的范围是0，,（1） 二面角及二面角的平面角：,从一条直线出发的两个半平面构成的图形叫二面角。,二面角的大小可用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。,3.二面角：,cos =,如图1中，cos=,图2中, cos=,（2）求二面角大小的公式：,其中 分别是二面角的两个半平面的法向量。,用向量法求空间角回避了在空间图形中寻找线线角、线面角、二面角的平面角这一难点。体现了向量思想在立体几何中的重要地位，更体现了“借数言形”的数学思想。,注意：建立坐标系后各个点的坐标要写对，计算要准确。,二面角余弦值 的正负取决于二面角是锐二面角还是钝二面角.,例3：长方体AC1中，棱AB=BC=3，BB1=4。 求二面角 B1A1CC1的余弦值。,x,y,z,解：如图，建立空间直角坐标系.,D （0，3，0）； A1（0，0，4）； B1（3，0，4）； C （3，3，0）； C （3，3，0）； D1（0，3，4）.,=（3，0，0）；,令z=3，则x=0,y=4,平面A1B1C的法向量为 =（0，4，3）,设平面A1B1C的法向量为 =（x，y，z）则,又平面A1 C1C的法向量为,又所求二面角为锐二面角,故二面角B1A1CC1的大小为,练习：,如图，已知：直角梯形OABC中，OABC， AOC=90，SO平面OABC，且 OS=OC=BC=1，OA=2.求： OS与平面SAB所成角的正弦值； 二面角BASO的余弦值; 异面直线SA和OB所成角的余弦值.,则A（2，0，0）；,于是我们有,=（2，0，-1）；,=（-1，1，0）；,=（1，1，0）；,=（0，0，1）；,B（1，1，0）；,令x=1，则y=1，z=2；,从而,设面SAB的法向量,显然有,所以直线SA与OB所成角的余弦值为,.由知面SAB的法向量 =（1，1，2）,又OC面AOS，, 是面AOS的法向量，,令,则有,由于所求二面角为锐二面角,二面角BASO的余弦值为,z,O,x,y,1.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，ABCD,ABAD,AB=4，AD= ，CD=2，PA平面ABCD,PA=4. （1）求证：BD平面PAC; （2）点Q为线段PB的中点，求直线QC与平面PAC所成角的正弦值.,z,O,x,y,2.如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角A-A1D-B的余弦值.,z,x,y,3.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD与平面D1C1CD垂直,且D1DC=60,DC=DD1=2,DA= , ADC=90,求异面直线A1C与AD1所成角的余弦值。,4.如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A底面ABCD，ABDC, ABAD,AD=DC=1,AA1=AB=2，E为棱的中点. （1）证明：B1C1CE ； （2）求二面角B1-CE-C1的正弦值； （3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为 ， 求线段AM的长.,z,x,y,