资源描述
用向量计算空间角,直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线 ,我们把直线 和 所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。,异面直线所成角的范围是 。,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角;,由定义知,直线与平面所成的角0, ,一、几类空间角的定义及范围,1.异面直线所成角,2.直线和平面所成角,特别地,一条直线垂直于平面,则它们所成的角是直角; 一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0角。,1.求异面直线所成角的公式:,其中 是异面直线 上的方向向量。,2.求线面角大小的公式:,其中 是平面的法向量。,二、空间角的向量计算,如图,设平面的法向量为 ,直线AO与平面所成的角为 .则,点A到平面的距离d为:,例1:如右图,直三棱柱A1B1C1ABC中,BCA=90, 点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点,若BC=CA=CC1,求BD1与AF1所成的角的余弦值.,解:,则B,(1,0,0),A(0,1,0),(1)求异面直线所成的角,所以直线BD1与AF1所成的角的余弦值,设异面直线BD1与AF1所成的角的角为 ,,则,例2:如图,在长方体AC1中,棱AB=BC=3,棱BB1=4,点E是CC1的中点 。 求ED与平面A1B1C所成角的大小的正弦值.,B1,A1,D1,C1,C,D,E,A,由题意知:,=(3,0,0);,设平面A1B1C的法向量为 =(x,y,z)则,令z=3,则 =(0,4,3),,(2)求直线和平面所成的角,B,D (0,3,0); E (3,3,2); A1(0,0,4); B1(3,0,4); C (3,3,0)。,=(3,0,2),设DE与面A1B1C所成角为 ,则,Sin =|cos|=,即 ED与平面A1B1C所成角的大小为,在二面角的棱上任取一点,过这点在二面角的两个面内做垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。,二面角的范围是0,,(1) 二面角及二面角的平面角:,从一条直线出发的两个半平面构成的图形叫二面角。,二面角的大小可用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度。,3.二面角:,cos =,如图1中,cos=,图2中, cos=,(2)求二面角大小的公式:,其中 分别是二面角的两个半平面的法向量。,用向量法求空间角回避了在空间图形中寻找线线角、线面角、二面角的平面角这一难点。体现了向量思想在立体几何中的重要地位,更体现了“借数言形”的数学思想。,注意:建立坐标系后各个点的坐标要写对,计算要准确。,二面角余弦值 的正负取决于二面角是锐二面角还是钝二面角.,例3:长方体AC1中,棱AB=BC=3,BB1=4。 求二面角 B1A1CC1的余弦值。,x,y,z,解:如图,建立空间直角坐标系.,D (0,3,0); A1(0,0,4); B1(3,0,4); C (3,3,0); C (3,3,0); D1(0,3,4).,=(3,0,0);,令z=3,则x=0,y=4,平面A1B1C的法向量为 =(0,4,3),设平面A1B1C的法向量为 =(x,y,z)则,又平面A1 C1C的法向量为,又所求二面角为锐二面角,故二面角B1A1CC1的大小为,练习:,如图,已知:直角梯形OABC中,OABC, AOC=90,SO平面OABC,且 OS=OC=BC=1,OA=2.求: OS与平面SAB所成角的正弦值; 二面角BASO的余弦值; 异面直线SA和OB所成角的余弦值.,则A(2,0,0);,于是我们有,=(2,0,-1);,=(-1,1,0);,=(1,1,0);,=(0,0,1);,B(1,1,0);,令x=1,则y=1,z=2;,从而,设面SAB的法向量,显然有,所以直线SA与OB所成角的余弦值为,.由知面SAB的法向量 =(1,1,2),又OC面AOS,, 是面AOS的法向量,,令,则有,由于所求二面角为锐二面角,二面角BASO的余弦值为,z,O,x,y,1.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,ABAD,AB=4,AD= ,CD=2,PA平面ABCD,PA=4. (1)求证:BD平面PAC; (2)点Q为线段PB的中点,求直线QC与平面PAC所成角的正弦值.,z,O,x,y,2.如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点,求二面角A-A1D-B的余弦值.,z,x,y,3.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD与平面D1C1CD垂直,且D1DC=60,DC=DD1=2,DA= , ADC=90,求异面直线A1C与AD1所成角的余弦值。,4.如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A底面ABCD,ABDC, ABAD,AD=DC=1,AA1=AB=2,E为棱的中点. (1)证明:B1C1CE ; (2)求二面角B1-CE-C1的正弦值; (3)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为 , 求线段AM的长.,z,x,y,
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