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2019-2020学年苏教版数学精品资料3.2导数的运算32.1常见函数的导数问题1：函数f(x)x，f(x)x3的导数？提示：(1)f(x)x，1，当x0时，f(x)1.(2)f(x)x3，3x23xx(x)2，当x0时，f(x)3x2.问题2：函数f(x)x1，f(x)x2的导数？提示：(1)f(x)，当x0时，f(x)x2.(2)f(x)，当x0时，f(x)2x3.问题3：由问题1、问题2，能否得到f(x)x的导数？提示：f(x)x11常见函数的导数公式(1)(kxb)k(b为常数)；(2)c0(c为常数)；(3)x1；(4)(x2)2x；(5).2基本初等函数的求导公式(1)(x)x1(为常数)；(2)(ax)axln_a(a0，且a1)；(3)(logax)logae(a0，且a1)；(4)(ex)ex；(5)(ln x)；(6)(sin x)cos_x；(7)(cos x)sin_x.基本初等函数的导数公式可分为以下五类：第一类为常数函数，C0(C为常数)，可记为常数函数的导数为0；第二类为幂函数，(xn)nxn1(注意幂指数n可推广到全体实数)；第三类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数；第四类为指数函数，y(ax)axln a，当ae时，ex的导数是(ax)的一个特例；第五类为对数函数，y(logax)，也可记为(logax)logae，当ae时，ln x的导数是(logax)的一个特例利用公式求导数例1求下列函数的导函数：(1)y2x；(2)ylog2x；(3)y； (4)y2sin cos .思路点拨解答本题，可根据所给函数，选择合适的导数公式求导，不具备基本初等函数特征的函数，应先变形，然后求导精解详析(1)y(2x)2xln 2；(2)y(log2x)；(3)y()(x)x；(4)y(2sin cos)(sin x)cos x.一点通求简单函数的导函数有两种基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可简化运算过程、降低运算难度解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导1下列结论中不正确的是_(1)若y3，则y0；(2)(sin )cos ；(3)()；(4)若yx，则y1.解析：(1)正确；(2)sin ，而()0，不正确；对于(3)，()(x)x，正确；(4)正确答案：(2)2求下列函数的导数(1)f(x)logx； (2)f(x)2x；(3)ylog2x2log2x; (4)y2sin .解：(1)f(x)(logx).(2)2xx，f(x)xlnxln 2.(3)ylog2x2log2xlog2x，y(log2x).(4)y2sin2sin2sincossin x，y(sin x)cos x.求切线的方程例2已知曲线方程yx2，求：(1)曲线在点A(1,1)处的切线方程；(2)过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程思路点拨(1)点A在曲线上，故直接求导数，再求直线方程；(2)B点不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程精解详析(1)y2x，当x1时，y2，故过点A(1,1)的切线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)B(3,5)不在曲线yx2上，可设过B(3,5)与曲线yx2相切的直线与曲线的切点为(x0，y0)y2x，当xx0时，y2x0.故切线方程为yx2x0(xx0)又直线过B(3,5)点，5x2x0(3x0)即x6x050.解得x01或x05.故切线方程为2xy10或10xy250.一点通(1)求切线方程是导数的应用之一，有两种情况：求曲线在点P处的切线方程，P为切点，在曲线上；求过点P与曲线相切的直线方程，P不一定为切点，不一定在曲线上(2)求曲线上某点(x0，y0)处的切线方程的步骤：求出f(x0)，即切线斜率；写出切线的点斜式方程；化简切线方程(3)求过点P与曲线相切的直线方程的步骤：设出切点坐标为(x0，y0)；写出切线方程yy0f(x0)(xx0)；代入点P的坐标，求出方程3已知直线yxa与曲线yln x相切，则a的值为_解析：设切点为P(x0，y0)，y，由题意得1，x01，点P的坐标为(1,0)，把点P的坐标代入直线yxa，得a1.答案：14求过点(1，1)与曲线f(x)x32x相切的直线方程解：设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为kf(x0)3x2.切线方程为yy0(3x2)(xx0)(x0，y0)在曲线上，y0x2x0.又(1，1)在切线上，将式和(1，1)代入式得1(x2x0)(3x2)(1x0)解得x01或x0.故所求的切线方程为y1x1或y1(x1)，即xy20或5x4y10.导数的综合应用例3求曲线y和yx2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积思路点拨解答本题，应先通过解方程组求得两曲线的交点坐标，再对函数求导，写出切线方程，进而求出两切线与x轴的交点坐标，即可求得所求三角形的面积精解详析由解得交点为(1,1)y，曲线y在(1,1)处的切线方程为y1x1，即yx2.又y(x2)2x，曲线yx2在(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.yx2与y2x1和x轴的交点分别为(2,0)，.所求面积S1.一点通利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积有关的问题，解题的关键是正确确定切点的位置，进而确定切点坐标5点P是曲线f(x)ex上任意一点，求点P到直线yx的最小距离解：根据题意设平行于直线yx的直线与曲线f(x)ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与yx距离最近的点，如图则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即f(x0)1.f(x)(ex)ex，ex01，得x00，代入yex，得y01，即P(0,1)利用点到直线的距离公式得距离为.6若曲线yx在点(a，a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值解：yx (x0)，故在点(a，a处的切线的斜率ka，所以切线方程为yaa (xa)，易得切线在x轴，y轴上的截距分别为3a，a，所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S3aaa18.a64.1利用常见函数导数公式时，要抓住公式特点，熟记公式，要注意符号及相互关系：如(sin x)cos x，(cos x)sin x.2求切线方程：(1)求过点P的曲线的切线方程时应注意，P点在曲线上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的(2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：切点坐标满足曲线方程；切点坐标满足对应切线的方程；切线的斜率是曲线在此切点处的导数值对应课时跟踪训练(十七) 1已知f(x)，则f(1)_.解析：f(x)(x3)3x4，f(1)3.答案：32给出下列命题：若y，则y0；若y3x，则y3；若y，则y；若y3，则y3x.其中正确的为_解析：由常见函数的导数公式，易知正确，错误中yx，中y3xa(a为常数)答案：3函数f(x)xa，aQ，若f(1)4，则a的值是_ 解析：f(x)axa1，f(1)a(1)a14.a4.答案：44在曲线f(x)上有一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135，则P点坐标为_解析：f(x).曲线在点P处的切线的倾斜角为135，tan 1351.x38.x2.当x2时f(2)1.P点坐标为(2,1)答案：(2,1)5已知直线ykx是曲线yln x的切线，则k的值等于_解析：y(ln x)，设切点坐标为(x0，y0)，则切线方程为yy0(xx0)即yxln x01.由ln x010，知x0e.k.答案：6已知曲线yx3，求：(1)曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)过点P(1,0)的曲线的切线方程解：y3x2.(1)当x1时，y3，即在点P(1,1)处的切线的斜率为3，切线方程为y13(x1)，即3xy20.(2)设切点坐标为(x0，y0)，则过点P的切线的斜率为3x，由直线的点斜式，得切线方程yx3x(xx0)，即3xxy2x0.P(1,0)在切线上，3x2x0.解之得x00或x0.当x00时，切线方程为y0.当x0时，切线方程为27x4y270.7已知曲线y在点P(1,1)处的切线与直线m平行，且距离等于，求直线m的方程解：y，曲线在P(1,1)处的切线的斜率为k3，切线方程为y13(x1)，即3xy40.设直线m的方程为3xyb0，由平行线间的距离公式得，|b4|10，b6或b14，故所求的直线m的方程为3xy60或3xy140.8直线l1与曲线y相切于点P，直线l2过P且垂直于l1且交x轴于Q点，又作PK垂直于x轴于点K，求KQ的长解：如图，设P(x0，y0)，则kl1f(x0)，直线l1与l2垂直，则kl22 ，直线l2的方程为yy02 (xx0)，点P(x0，y0)在曲线y上，y0.在直线l2的方程中令y0，则2 (xx0)xx0，即xQx0.又xKx0，|KQ|xQxKx0x0.32.2函数的和、差、积、商的导数高铁是目前非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷设一高铁走过的路程s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为sf(t)2t2，求它的瞬时速度，即求f(t)的导数根据导数的定义，就是求当t0时，所趋近的那个定值，运算比较复杂而且，有的函数如ysin xln x等很难运用定义和直接利用公式求导数问题：是否有更简捷的方法求ysin xln x的导数呢？提示：利用求导运算法则设两个函数分别为f(x)和g(x)两个函数的和的导数f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数的差的导数f(x)g(x)f(x)g(x)常数与函数的乘积的导数Cf(x)Cf(x)(C为常数)两个函数的积的导数f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数的商的导数(g(x)0)1公式(logax)，(ax)axln a记忆较难，要区分公式的结构特征，找出它们的差异去记忆2f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；，避免与f(x)g(x)f(x)g(x)混淆利用求导法则直接求导数例1求下列函数的导数：(1)f(x)x；(2)f(x)sin xcos x；(3)f(x)；(4)f(x)exsin x.思路点拨这些函数都是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时可直接利用四则运算法则和基本初等函数的导数公式求导精解详析(1)f(x)(x)(4x2)x8x3.(2)f(x)(sin xcos x)(sin x)(cos x)cos xsin x.(3)f(x).(4)f(x)(exsin x)(ex)sin xex(sin x)exsin xexcos xex(sin xcos x)一点通理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件，若运算过程中出现失误，其原因主要是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法则另外，在求导过程中对符号判断不清，也是导致出错的原因之一1求下列函数的导数：(1)yx53x35x26；(2)y(2x23)(3x2)；(3)y.解：(1)y(x53x35x26)(x5)(3x3)(5x2)65x49x210x.(2)法一：y(2x23)(3x2)(2x23)(3x2)4x(3x2)3(2x23)18x28x9.法二：y(2x23)(3x2)6x34x29x6，y18x28x9.(3)法一：y.法二：y1，y.2求下列函数的导数：(1)f(x)x3cos x；(2)f(x)xln x；(3)f(x).解：(1)f(x)3x2sin x；(2)f(x)xln xx(ln x)ln x1；(3)f(x).导数的简单应用例2已知f(x)是一次函数，x2f(x)(2x1)f(x)1，求f(x)的解析式思路点拨根据题意设出f(x)的解析式，用待定系数法求解精解详析由f(x)为一次函数可知f(x)为二次函数设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb.把f(x)，f(x)代入方程x2f(x)(2x1)f(x)1中，得x2(2axb)(2x1)(ax2bxc)1，即(ab)x2(b2c)xc10.因为方程对任意x恒成立，则有ab，b2c，c10，解得a2，b2，c1，f(x)2x22x1.一点通根据题意巧设函数的解析式是解决此类问题的关键设出解析式后，再利用条件到关于参数的方程或方程组求解另外，正确的运算是解题成功的保障3设函数f(x)aexbln x，且f(1)e，f(1)，求a，b的值解：f(x)(aex)(bln x)aex.解得所以a，b的值分别为1,0.4偶函数f(x)ax4bx3cx2dxe的图像过点P(0,1)，且在x1处的切线方程为yx2，求yf(x)的解析式解：由f(x)是偶函数，易知bd0，即f(x)ax4cx2e.则f(x)4ax32cx.函数在x1处的切线方程为yx2，4a2c1，切点坐标为(1，1)ace1.又函数f(x)的图像过点P(0,1)e1.由解得故f(x)x4x21.导数的综合应用例3已知抛物线C1：yx22x和C2：yx2a，如果直线l同时是C1和C2的切线，那么称l是C1和C2的公切线当a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程思路点拨分别设出切点，求出两抛物线C1，C2的切线方程，使其表示同一条直线，即可找到解题的突破口精解详析函数yx22x的导数y2x2.曲线C1在点P(x1，x2x1)的切线方程是y(x2x1)(2x12)(xx1)，即y(2x12)xx，函数yx2a的导数y2x，曲线C2在点Q(x2，xa)的切线方程是y(xa)2x2(xx2)，即y2x2xxa，若直线l是过P和Q的公切线，则式和式都是l的方程，消去x2得2x2x11a0，当判别式442(1a)0，即a时，解得x1，此时点P与Q重合即当a时，C1和C2有且仅有一条公切线，由得公切线方程为yx.一点通利用导数研究曲线的切线时，一定要熟练掌握以下两个问题：(1)切点既在曲线上，又在切线上，即切点坐标既满足函数关系式，也满足切线方程；(2)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标5已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_解析：如图，易知抛物线yx2上的点P(4,8)，Q(2,2)，且yx，则过点P的切线方程为y4x8，过点Q的切线方程为y2x2，联立两个方程解得交点A(1，4)，所以点A的纵坐标是4.答案：46设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120，求f(x)的解析式解：方程7x4y120可化为yx3.点(2，f(2)既在曲线上，又在切线上，当x2时，y.又f(x)a，于是有解得故f(x)x.对导数几何意义综合应用的几点认识(1)导数几何意义的综合应用题目的解题关键还是求函数在某点处的导数，即切线的斜率，注意与相关知识的结合，如函数、方程、不等式等(2)导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何的知识相联系对应课时跟踪训练(十八) 1(广东高考)若曲线yax2ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a_.解析：因为y2ax，依题意得y|x12a10，所以a.答案：2函数f(x)在x2处的导数为_解析：f(x)，f(x)，f(2)0.答案：03已知f(x)x22fx，则f_.解析：f(x)2x2f，令x，则f2f，f.答案：4(江西高考)若曲线yx1(R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则_.解析：由题意yx1，在点(1,2)处的切线的斜率为k，又切线过坐标原点，所以2.答案：25已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是_解析：因为y1，所以1tan 0，所以0)，M为直线y2p上任一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列解：由题意设A，B，M(x0，2p)由x22py，得y，则y，所以kMA，kMB.因此直线MA的方程为y2p(xx0)直线MB的方程为y2p(xx0)又A，B分别在直线MA，MB上，所以2p(x1x0)，2p(x2x0)，由得x1x2x0，因此x0，所以A，M，B三点的横坐标成等差数列
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