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2015届高三年级第三次四校联考 数学试题(理)(满分150分,考试时间120分)第卷(选择题 60分)一、选择题(51260分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1. 已知集合,则 A.B. C. D. 2. 复数(为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是 A. B. C. D.3. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A. B. C. D.4. 等比数列的前项和为,若, ,则 A.31 B. 36 C. 42 D.485. 设,其中实数满足,若的最大为,则的最小值为A. B. C. D.6. 有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流,则每个班至少去一名的不同分派方法种数为A. B. C. D.7. 执行如图的程序框图,则输出的值为A. 2016B. 2 C. D.8. 若的展开式中含有常数项,则的最小值等于 A. B. C. D. 9. 已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,把函数的图象沿轴向左平移个单位,得到函数的图象.关于函数,下列说法正确的是A. 在上是增函数 B. 其图象关于直线对称C. 函数是奇函数 D. 当时,函数的值域是10. 函数的图象大致为11. 在正三棱锥中,是的中点,且,底面边长,则正三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.12. 过曲线的左焦点作曲线的切线,设切点为M,延长交曲线于点N,其中有一个共同的焦点,若,则曲线的离心率为 A. B. C. D.第卷(非选择题 90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13. 已知,则_.14. 设随机变量,若,则_.15. 函数,若方程恰有四个不相等的实数根,则实数的取值范围是_.16. 设数列的前项和为,且,为等差数列,则 的通项公式_.三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分12分)在中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,面积为S,已知 (1)求证:成等差数列; (2)若 求.18.(本小题满分12分)甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个,其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.(1)若左右手各取一球,求两只手中所取的球颜色不同的概率;(2)若左右手依次各取两球,称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球的成功取法次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.19. (本小题满分12分)直三棱柱 中,分别是、 的中点,为棱上的点.(1)证明:; (2)是否存在一点,使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为?若存在,说明点D的位置,若不存在,说明理由.20. (本小题满分12分)椭圆的上顶点为是上的一点,以为直径的圆经过椭圆的右焦点(1)求椭圆的方程;(2)动直线与椭圆有且只有一个公共点,问:在轴上是否存在两个定点,它们到直线的距离之积等于1?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,说明理由21. (本小题满分12分)函数,若曲线在点处的切线与直线垂直(其中为自然对数的底数).(1)若在上存在极值,求实数的取值范围;(2)求证:当时,.请考生在(22).(23).(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑22(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲 如图所示,已知圆外有一点,作圆的切线,为切点,过的中点,作割线,交圆于、两点,连接并延长,交圆于点,连接交圆于点,若.(1)求证:;(2)求证:四边形是平行四边形.23(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,圆C的参数方程以O为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆C的极坐标方程;(2)直线的极坐标方程是,射线与圆C的交点为O、P,与直线的交点为Q,求线段PQ的长24(本小题满分10分)选修45:不等式选讲设=. (1)求的解集;(2)若不等式对任意实数恒成立,求实数的取值范围.2015届高三年级第三次四校联考理科数学参考答案一、选择题(每小题5分,共60分) 1-5: CABAA 6-10:ABCDD 11-12:BD二、填空题(每小题5分,共20分)13. 14. 15. 16. 三、解答题:17.解:(1)由正弦定理得:即 2分即 4分 即成等差数列。 6分(2) 8分又 10分由(1)得: 即 12分18.解:(1)设事件为“两手所取的球不同色”, 则 4分(2) 依题意,的可能取值为0,1,2左手所取的两球颜色相同的概率为 6分右手所取的两球颜色相同的概率为 7分 10分012所以的分布列为: 12分19. (1)证明: , 又 面 又面 2分 以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 则, 设 , 且,即: 5分 6分(2)假设存在,设面的法向量为 , 则 即: 令 . 8分 由题可知面的法向量 9分 平面与平面 所成锐二面的余弦值为 即: 或 (舍) 11分 当点为中点时,满足要求. 12分20.解:(1),由题设可知,得 1分又点P在椭圆C上, 3分联立解得, 4分故所求椭圆的方程为 5分(2)当直线的斜率存在时,设其方程为,代入椭圆方程,消去y,整理得()方程()有且只有一个实根,又,所以得 8分假设存在满足题设,则由对任意的实数恒成立,所以, 解得,当直线的斜率不存在时,经检验符合题意.总上,存在两个定点,使它们到直线的距离之积等于1. 12分21.解:(1) 由已知 得 2分 当为增函数; 当时,为减函数。 是函数的极大值点 4分 又在上存在极值 即 故实数的取值范围是 5分(2) 即为 6分 令 则 再令 则 在上是增函数 在上是增函数 时, 故 9分令则 即上是减函数时, 11分所以, 即 12分22. 证明:(1)是圆的切线, 是圆的割线, 是的中点, ,又, , 即., , ,. 5分 (2),即, ,是圆的切线,即, 四边形PMCD是平行四边形. 10分23.解:(1)圆C的普通方程为,又所以圆C的极坐标方程为 5分(2)设,则由 解得 7分设,则由解得 9分所以 10分24.解: (1)由得:或或3分解得所以的解集为 5分 (2) 当且仅当时,取等号. 8分由不等式对任意实数恒成立,可得解得:或. 故实数的取值范围是 10分
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