资源描述
有理数的概念一、本节学习指导本节知识点比较多,同学们要认真学习并加以总结,用自己的语言来理解部分知识是有助于我们记忆的。对于本节的知识如果一时记不住也不要急,毕竟我们才刚刚进入初级数学的学习。本节有配套学习视频。二、知识要点1、正数和负数(1)、大于0的数叫做正数。(2)、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。(3)、数0既不是正数,也不是负数,0是正数与负数的分界。(4)、在同一个问题中,分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。2、有理数(1)凡能写成分数形式的数,都是有理数,整数和分数统称有理数.注意:0即不是正数,也不是负数;-a不一定是负数,如:-(-2)=4,这个时候的a=-2。 p不是有理数;(2)有理数的分类:(3)自然数0和正整数; a0 a是正数; a0 a是负数;a0a是正数或 0是非负数; a0a是负数或0a是非正数.3、数轴【重点】(1)、用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴。它满足以下要求: 在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点; 通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向; 选取适当的长度为单位长度,直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示 1,2,3;从原点向左,用类似的方法依次表示-1,-2,-3(2)、数轴的三要素:原点、正方向、单位长度。(3)、画数轴的步骤:一画(画一条直线并选取原点);二取(取正反向);三选(选取单位长度);四标(标数字)。数轴的规范画法:是条直线,数字在下,字母在上。注意:所有的有理数都可以用数字上的点表示,但是数轴上的所有点并不都表示有理数。(4)、一般地,设a是一个正数,则数轴上表示数a的点在原点的右边,与原点的距离是a个单位长度;表示数-a的点在原点的左边,与原点的距离是a个单位长度。4、相反数(1)、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 注意:a的相反数是-a;a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是-(a+b)=-a-b; 非零数的相反数的商为-1; 相反数的绝对值相等。(2)、一般地,设a是一个正数,数轴上与原点的距离是a的点有两个,他们分别在原点的两侧,表示a和-a,我们说这两点关于原点对称。(3)、a和-a互为相反数。0的相反数是0,正数的相反数是负数,负数的相反数是正数。相反数是它本身的数只有0。(4)、在任意一个数前面添上“-”号,新的数就表示原数的相反数。(5)、若两个数a、b互为相反数,就可以得到a+b=0;反过来若a+b=0,则a、b互为相反数。(6)、多重符号的相乘由“-”的个数来定:若“-”的个数为偶数,相乘结果为正数;若“-“的个数为奇数,化简结果为负数。比如:-24(-3)(-1)(-5),首先由4个负号,所以最终结果是正数,再算数字相乘得到1205、绝对值(1)、绝对值的定义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作|a|。(2)、正数的绝对值等于它本身;0的绝对值是0(或者说0的绝对值是它本身,或者说0的绝对值是它的相反数);负数的绝对值等于它的相反数;(注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;)。0是绝对值最小的数。(3)、绝对值可表示为:或;(4)、;(5)、任何数的绝对值总是非负数(非负数是正数或0),即|a|0。(6)、互为相反数的两个数的绝对值相等。绝对值相等的两个数可能是互为相反数或者相等。(7)、有理数比大小: 正数比0大,0大于负数,正数大于负数; 两个负数比较,绝对值大的反而小; 数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;(8)、比较两个负数的大小的步骤如下: 先求出两个数负数的绝对值; 比较两个绝对值的大小; 根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断。三、经验之谈:本节我们要理解很多的名词概念,希望同学们多读几遍。其次我们还要重点理解正数和负数的关系,以及对绝对值几何意义,还有数轴的画法。总之本节我们要认真学习。有理数的运算一、本节学习指导有理数的运算和我们小学学习的四则运算很相似,运算规律都一样,不同的是有负数参与,所以相对要复杂一些,本节要多加练习。本节有配套学习视频。二、知识要点1、有理数的加法(1)、有理数加法法则: 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加; 异号两数相加,取绝对值较大加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值; 一个数与0相加,仍得这个数.(2)、加法计算步骤:先定符号,再算绝对值。(3)、有理数加法的运算律: 加法的交换律:a+b=b+a; 加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).(4)、为了计算简便 ,往往会采取以下方法:互为相反的两个数,可以先相加;符号相同的数,可以先相加;分母相同的数,可以先相加;几个数相加能得到整数,可以先相加。2、有理数的减法(1)、有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).(有理数减法运算时注意两“变”:减法变加法;把减数变为它的相反数.) 注:有理数的减法实质就是把减法变加法。3、有理数的乘法(1)、有理数乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数同零相乘都得零;(2)、一个数同1相乘,结果是原数;一个数同-1相乘,结果是原数的相反数。(3)、乘积为1的两个数互为倒数;注意:0没有倒数;若ab=1a、b互为倒数。(4)、几个不是偶的数相乘,积的符号由负因式的个数决定。负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数是,积是负数。(5)、有理数乘法的运算律: 乘法的交换律:ab=ba; 乘法的结合律:(ab)c=a(bc); 乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac.4、有理数的除法(1)、有理数除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数。(2)、有理数除法符号法则:两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得0。(3)、乘除混合运算的步骤:先把除法转化为乘法;确定积的符号;运用乘法运算律和乘法法则进行计算得出结果。5、有理数的乘方(1)、求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。在an 中,a叫做底数,n叫做指数。(2)、an表示的意义是n个a相乘。如:2=222=8(3)、分数的乘方,在书写时一定要把整个分数用小括号括起来。如:(1/2)(4)、负数的乘方,在书写时一定要把整个负数(连同负号)用小括号括起来。(5)、10的几次方,幂的结果中1后面就有几个0。如:105 =100000 (6)、负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。显然,正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。1的任何次幂都是1。-1的奇数次幂是-1,-1的偶数次幂是1。6、科学记数法(1)、把一个大于10数表示成a10n 的形式(其中a是整数数位只有一位的数,而且 1a10,n是正整数),使用的是科学计数法。(2)、用科学记数法表示一个n位整数,其中10的指数是n-1。例:240 000 000用科学计数法记为2.41087、近似数(1)、接近实际数字,但是与实际数字还是有差别,这个数是一个近似数。(2)、精确度:近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示。(3)、利用四舍五入法得到的近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。(4)、从一个数的左边的第一个非0数字起,到末尾数字止,所有的数字都是这个数的有效数字。(5)、解题技巧:近似数精确到哪一位,只需看这个数的最末一位在原数的哪一位。当四舍五入到十位或十位以上时,应先用科学记数法表示这个数,再按要求取近似数。(6)、a10n中有效数字是指a的有效数字。7、等于本身的数汇总: 相反数等于本身的数:0 倒数等于本身的数:1,-1 绝对值等于本身的数:正数和0 平方等于本身的数:0,1 立方等于本身的数:0,1,-1.第二章 整式的加减1单项式:表示数字或字母乘积的式子,单独的一个数字或字母也叫单项式。2单项式系数:单项式中不为零的数字因数,叫单项式数字系数,简称单项式的系数;3.单项式的次数:单项式中所有字母的指数的和,叫单项式的次数.4多项式:几个单项式的和叫做多项式。5多项式的项与项数:多项式中每个单项式叫多项式的项; 不含字母的项叫做常数项。多项式里所含单项式的个数就是多项式的项数;6多项式的次数:多项式里,次数最高项的次数叫多项式的次数;常数项的次数为0注意:(若a、b、c、p、q是常数)ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式.7.多项式的升幂排列:把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大排列起来,叫做按这个字母的升幂排列。多项式的降幂排列:把一个多项式的各项按某个字母的指数从大到小排列起来,叫做按这个字母的降幂排列。(注意:多项式计算的最后结果一般应该进行升幂(或降幂)排列.整式:单项式和多项式统称为整式,即凡不含有除法运算,或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式.整式分类: .( 注意:分母上含有字母的不是整式。)同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.合并同类项法:各同类项系数相加,所得结果作为系数,字母和字母指数不变。去括号的法则:(原理:乘法分配侓)(1)括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项的符号都不变;(2)括号前面是“”号,把括号和它前面的“”号去掉,括号里各项的符号都要改变。.添括号的法则:()若括号前边是“+”号,括号里的各项都不变号;()若括号前边是“-”号,括号里的各项都要变号. 整式的加减:进行整式的加减运算时,如果有括号先去括号,再合并同类项;整式的加减,实际上是在去括号的基础上,把多项式的同类项合并. 整式加减的步骤:(1)列出代数式;(2)去括号;(3)添括号(4)合并同类项。整式的加减:一找:(划线);二“+”(务必用+号开始合并)三合:(合并)一元一次方程知识点汇总【知识点归纳】一、方程的有关概念1.方程:含有未知数的等式就叫做方程.2. 一元一次方程:只含有一个未知数(元)x,未知数x的指数都是1(次)的方程叫做一元一次方程.3方程的解:使方程中等号左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解. 注: 方程的解和解方程是不同的概念,方程的解实质上是求得的结果,它是一个数值(或几个数值),而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程. 方程的解的检验方法,首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值,其次比较两边的值是否相等从而得出结论.二、等式的性质等式的性质(1):等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子),结果仍相等.用式子形式表示为:如果a=b,那么ac=bc等式的性质(2):等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等. 用式子形式表示为:如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c0),那么=三、移项法则:把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项四、去括号法则 依据分配律:a(b+c)=ab+ac 1. 括号外的因数是正数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同2. 括号外的因数是负数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变五、解方程的一般步骤1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)2. 去括号(按去括号法则和分配律)3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边,其他项都移到方程的另一边,移项要变号)4. 合并(把方程化成ax = b (a0)形式)5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a(或乘未知数的倒数),得到方程的解x=).六、用方程思想解决实际问题的一般步骤1. 审:审题,分析题中已知什么,求什么,找:明确各数量之间的关系;2. 设:设未知数(可分直接设法,间接设法), 表示出有关的含字母的式子;3. 列:根据题意列方程;4. 解:解出所列方程, 求出未知数的值;5. 检:检验所求的解是否是方程的解,是否符合题意;6. 答:写出答案(有单位要注明答案).七、有关常用应用题类型及各量之间的关系1. 和、差、倍、分问题(增长率问题): 增长量原有量增长率 现在量原有量增长量(1)倍数关系:通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,几分之几,增长率,减少,缩小”来体现.(2)多少关系:通过关键词语“多、少、大、小、和、差、不足、剩余”来体现.审题时要抓住关键词,确定标准量与比校量,并注意每个词的细微差别.2. 等积变形问题:(1)“等积变形”是以形状改变而体积不变(等积)为前提,是等量关系的所在.常用等量关系为: 形状面积变了,周长没变; 原料体积成品体积.(2)常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但体积不变 圆柱体的体积公式 V=底面积高Shr2h 长方体的体积 V长宽高abc3. 劳力调配问题:从调配后的数量关系中找等量关系,要注意调配对象流动的方向和数量.这类问题要搞清人数的变化,常见题型有:(1)既有调入又有调出;(2)只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;(3)只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变4. 数字问题: 要正确区分“数”与“数字”两个概念, 同一个数字在不同数位上,表示的数值不同,这类问题通常采用间接设法,常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系列方程.列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式,一个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和.(1)要搞清楚数的表示方法:一般可设个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c,十位数可表示为10b+a,百位数可表示为100c+10b+a(其中a、b、c均为整数,且0a9, 0b9, 1c9).(2)数字问题中一些表示:两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;偶数用2n表示,连续的偶数用2n+2或2n2表示;奇数用2n+1或2n1表示.5. 工程问题(生产、做工等类问题): 工作量工作效率工作时间 合做的效率各单独做的效率的和. 一般情况下把总工作量设为1,完成某项任务的各工作量的和总工作量1.分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。工程问题常用等量关系:先做的+后做的=完成量6.行程问题:利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得布列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础.(1)行程问题中的三个基本量及其关系:路程=速度时间 .要特别注意:路程、速度、时间的对应关系(即在某段路程上所对应的速度和时间各是多少)(2)基本类型有单人往返 各段路程和总路程 各段时间和总时间 匀速行驶时速度不变相遇问题(相向而行):快行距慢行距原总距 两者所走的时间相等或有提前量.追及问题(同向而行);快行距慢行距原总距 两者所走的时间相等或有提前量.环形跑道上的相遇和追及问题:同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程;同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程.行程问题可以采用画示意图的方法来帮助理解题意,并注意两者运动时出发的时间和地点.航行问题: 顺水(风)速度静水(风)速度水流(风)速度; 逆水(风)速度静水(风)速度水流(风)速度.水流速度=(顺水速度逆水速度)抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静速)不变的特点考虑相等关系即顺水逆水问题常用等量关系:顺水路程=逆水路程考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题 将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析,一切就一目了然.常见的还有:相背而行;行船问题;环形跑道问题7. 商品销售问题:(1);(2)商品销售额商品销售价商品销售量;(3)商品销售利润(销售价成本价)销售量;(4)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原标价的80%出售关系式:商品售价=商品标价折扣率.8. 银行储蓄问题: 顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数(存期),利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税. 利息=本金利率期数 本息和=本金+利息 利息税=利息税率(20%)(3) 利润100% 注意利率有日利率、月利率和年利率: 年利率月利率12日利率365.9.溶液配制问题: 溶液质量溶质质量溶剂质量 溶质质量溶液中所含溶质的质量分数.常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系,分析时可采用列表的方法来帮助理解题意.10.年龄问题: 大小两个年龄差不会变;主要等量关系:抓住年龄增长,一年一岁,人人平等.11.时钟问题: 将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究 通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。常用数据: 时针的速度是0.5/分 分针的速度是6/分 秒针的速度是6/秒12.配套问题: 这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系13.比例分配问题: 各部分之和=总量比例分配问题的一般思路为:设其中一份为x ,利用已知的比,写出相应的代数式.14.比赛积分问题: 注意比赛的积分规则,胜、负、平各场得分之和=总分15.方案选择问题: 根据具体问题,选取不同的解决方案几何图形初步知识点总汇一、知识结构框图二、具体知识点梳理(一)几何图形(是多姿多彩的)立体图形:棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.1、几何图形平面图形:三角形、四边形、圆等.主(正)视图-从正面看;2、几何体的三视图 侧(左)视图-从左面边看;俯视图-从上面看.(1)会判断简单物体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图.(2)能根据三视图描述基本几何体或实物原型.3、立体图形的平面展开图(1)同一个立体图形按不同的方式展开,得到的平面图形不一样的.(2)了解直棱柱、圆柱、圆锥的平面展开图,能根据展开图判断和制作立体模型.4、点、线、面、体(1)几何图形的组成点:线和线相交的地方是点,它是几何图形最基本的图形.线:面和面相交的地方是线,分为直线和曲线.面:包围着体的是面,分为平面和曲面.体:几何体也简称体.(2)点动成线,线动成面,面动成体.(二)直线、射线、线段1、基本概念图形直线射线线段端点个数无一个两个表示法直线a直线AB(BA)射线AB线段a线段AB(BA)作法叙述作直线AB作直线a作射线AB作线段a作线段AB、连接AB延长叙述不能延长反向延长射线AB延长线段AB反向延长线段BA2、直线的性质经过两点有一条直线,并且只有一条直线. 简称:两点确定一条直线.3、画一条线段等于已知线段 (1)度量法 (2)用尺规作图法4、线段的大小比较方法 (1)度量法 (2)叠合法5、线段的中点(二等分点)、三等分点、四等分点等定义:把一条线段平均分成两条相等线段的点叫做线段的中点.图形: A M B符号:若点M是线段AB的中点,则AM=BM=AB,AB=2AM=2BM.6、线段的性质:两点的所有连线中,线段最短.简称:两点之间,线段最短.7、两点的距离:连接两点的线段长度叫做这两点的距离.8、点与直线的位置关系 (1)点在直线上; (2)点在直线外.(三)角1、角:由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.2、角的表示法(四种):1 ; ; ; .3、角的度量单位及换算4、角的分类:锐角、直角、钝角、平角、周角.5、角的比较方法 (1)度量法 (2)叠合法6、角的和、差、倍、分及其近似值7、画一个角等于已知角(1)借助三角尺能画出15的倍数的角,在0180之间共能画出11个角.(2)借助量角器能画出给定度数的角.(3)用尺规作图法,可以作出任意给定的角.8、角的平线线定义:从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线.图形: 符号: 9、互余、互补(1)若1+2=90,则1与2互为余角.其中1是2的余角,2是1的余角.(2)若1+2=180,则1与2互为补角.其中1是2的补角,2是1的补角.(3)余(补)角的性质:同(等)角的余角相等. 同(等)角的补角相等.10、方向角(1)正方向;(2)北(南)偏东(西)方向;(3)东(西)北(南)方向.
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