近世代数 第17讲

第17讲交换律、单位元、零因子、整环.(Commutatine Law,unity,divisor of zero and integral domain)讲本讲教学目的和要求:由环的定义，环 + ,. 是在某集合R上定 义了两种代数运算，而这二个运算是通过分配律建立了彼此的联 系.很明显,环中的这两种运算立法机关的要求是很不平衡的.特 别是环中的乘法只要求满足半群一乘法封闭和结合律.所以为环 在乘法方面留下了很大的余地，一旦某些乘法方面再满期点头其 它一些条件，则变成了 一些特殊的类型的环.本节主要介绍交换环 有单位元的环，没有零因子的环和整环，扩大环论的知识面.在学 习方面要求掌握：1、交换环仅是对乘法而言，可交换的一种环.由此可得到什么 新结果.2、有单位元的环(习惯上称心内幺元)具有的一些重要性质.3、零因子的概念以及没有零因子与满足消去律的等价性.4、什么是整环，什么是除环和域，它们之间的差别和联系.本讲的重点和难点:零因子是一个新的概念，要真正了解并掌握它 不是件易事.而”没有零因子”与”有消去律”之间的等价性的证明 是难点.交换环设R;+,.为环，已知R关于加法”+”而言，已可以交换，至于对于乘法” ”,R也有满足交换律的可能(比如数环,多项式环等)，所 以我们有 定义1.如果环R；+,.关于乘法满足交换律:va,b e R都有ab = ba，那么称此环是交换环.例1.易知，在 1中所介绍的所有数环，一元多项式尸司和剩余类环Z都分别是变换环.但n价矩阵环M (F)不是变换环.例2.设环R；+,.的加法群是循环群,那么环F必是变换环.证明：.R;+是循环群，即 R = (a) = na I n e R:.Vx, y e R nx = na, y = ma,:. xy = (na)(ma)=na(ma) = nma2 = nma2, 而 yx = (ma)(na)=ma(na) = mna2 = mna2 = nma2:. xy = yx - 明示1.在第二章中已知:每个阶 5的群必是交换群.而一旦环R中元素个数 3，那么R必是变换环.交换环的性质：设R是交换环.Va,b e R .那么(1) Vn e N,(ab)n = anbnR中满足 :(a 土 b)2 = a 2 土 2ab + b2, a 2 一 b2 = (a + b)(a - b)(a3 土 b3) = (a 土 b)(a2 + ab + b2)(3) R中满足二项式公式:(a + b) n = an + Ci an-ib + C an - 2 b 2 + C&-1 abn-1 + bn无零因子环在1中已知：“ a = 0或力=0 n ab = 0 ”但反之，“ ab = 0 n a = 0或b = 0 ”这样一条普通的计算规则，在一般 的环中未必成立譬如，在剩余类环Z6 =血1,2,3,4,5中.主0,3主0 但 3 = 6 = 0譬如在二阶m2（F）中，A = 0L 0，B =0 ；卜 0， k0 1Jk1 0 J但ab = 10 01 = 0，为什么会发生这种现象？ k 0 0 J定义2.设R为环，如果r中元a丰0,b丰0，但ab = 0，那么称a是R的 一个左零因子,b是R的一个右零因子.（.上例中2，a都是左 零因子，3，b都是右零因子）明示2.在环r中，关于零因子的概念要做如下解释： R中左零因子和右零因子这两个概念是彼此依赖，彼此依 托一“共存亡”：有左零因子有。右零因子.由上可知,欲说明a主0是左零因子，则只需证明存在0主b，使ab = 0 .欲说明a丰0不是左零因子，只需证明任一个0丰b，都有ab丰0 （或一 旦 ab = 0 n b = 0） 若a是R的左零因子，一般a未必同时是R的右零因子.（比 如，在M 2（F）中，0 只是右零因子,不是左零因子,其中, 环R中元素a若既是左零因子,又是右零因子，那么就称a 为零因子.显然，若环R是变换环时，R的每个左(右)零因子都是零因 子.(Z6中，和3都是零因子)定义3.若环R中没有左零因子(自然也就没有右零因子)，那么称R为无零因子环.一个环是否为无零因子环，与环中乘法的一个重要运算规则 一消去律有着密切的联系.复习消去律的概念:设a,b,c e R .左消去律:右消去律: 定理设R是一个环，那么(1) 若R中没有左零因子O R中没有左消去律.(2) 若R中没有右零因子O R中没有右消去律.证明： (n)Va, b, c e R , 如果ab =ac 且a丰0那么a(b - c) = 0 .因为a主0且R中没有左零因子.n b - c = 0 (否则a就成了左零因子) 即b = c由a,b,c的任意性n R中满足左消去律.(u)设0丰a e R，如果ab = 0显然ab = a0, I a主0由左消去律n b = 0，这说明a不是左零因子. 由a的任意性n R中没有左零因子.关于(2),同理可证.利用左，右零因子的“共存亡”的性质.可知 推论：设人是环，那么下列条件是等价的： 人中没有左零因子；人中没有右零因子；人中满足 左消去律；人中满足右消去律.说明：萼“共四”器若R是环，而含如亿睥心0.,于是,可用莉勺性质来刻划R是否 有零因子.结论：人是无零因子环。R.是半群.证明：R是无夸因子环a尹Q,b尹Q.（a,b e k）,都有ab手。即abekck是封闭的o k是半群例3.在阶矩阵环肱（g）,（心2）中.若AcM （g）.那么A是左（右）零 nn因子o|A| = 0.证明：（n）若A是左零因子.omOwBcM（g）.使AB = Q.n如果 I A |w 0 n 8 = 0 习个 /J A1= 0（u） ： I A 1= 0,构造地个齐线性方程组.x J |_0n 二c由方程组的性质n（*）有非零解.V湘即C 1C2=0，令 B =c 0-01c 0-02Cc 0-0n n1AeM (F)n卫 0 n 8 卫 0AB = (Ac.1-o-，,AocL 2 J00)=0CnA是零因子。思考题1：在例3.中，能证明A也必是个右零因子吗?答：能.| A 1=1=A是右零因子例4.剩余类z是无零因子环om为素数.m证明：m为素数是一个乘法群是半群oZ为无零因子mmm环(由结论) 无零因子环的一个重要特性设R+,.是一个无零因子环，那么加群顷,+中每个非零元素的 阶彼此必相同.并且，若有限时必是素数.说明：V0卫”,0卫Z? 6人.且设人0(i )若每个非零元的阶都是无限n它的阶都相同.(ii)右lal二,n 二 + + + = 0 Vn:.0 = (na)b = a(nb)，,/ a # 0. 且r中无零因子.nb0bn. 若b=m则质方，重复上述的证明，同理nm由崩勺任意性n它们的阶都相同.(iii)若r中每个非零元的阶都是n .如果n是合数=其中0 = n(ab) = (n a)(n b)， 但由于0 n , n n n n a 丰 0 且nb丰0,121212进而知n1 a是左零因子，而n2b是右零因子.顼，.n不是合数，又R丰0 n n丰1艮口 n 为素数.例4. z；+,.作为整数环，易知是一个无零因子环.而加群z,+中每个非零元a的阶都是无穷大.例5.剩余类环z7是一个无零因子环,而加群Z7，+是7阶循环 (. 7是素数)，进而知，群中每个非零元的阶为7 思考题2.指出下列哪些元素是给定的环的零因子.在M2(F)中.设A=2 0b=0 01卜=4 2(2) 在z12中，它的全部零因子是哪些.(3) z 11中有零因子吗？答： I A 1=1 C 1= 0 n A, C 是零因子，但B不是.z 12 中的零因子为2,3,4,6,8,9,10(3)z 11中没有零因子.三.有单元的环(幺环)设R;+,.为环,就加法” +”而言.加法群R,+中自然有单位 元,习惯上换为群R,+的零元，并记为.对乘法”而言，R,.中是会有单位元呢？定义4.一个环R+,.中若有元素e，使得.Va e R都有ea = ae = a，那 么称这个元素e叫做环R;+,.的单位元.习惯上，记单位为1 R注意:环中的单位元1R显然不只代表整数1. 并不是每个环都不得有单位元?1的.譬如偶数环2Z .R 环R中若有单位元，那么这个单位元必是唯一的.并且我们规定：ao = 1r ,Va e R 禾口 a-n = (an)t = (at)n 有单位元1的环有时候为了突出单位元，常记为R；+,.,1R 定义5.设R；+,.,1R是一个幺环，如果a e R具有下列条件：毗e R使 ab = ba = 1R那么称a是R中的可逆元.并称b就是a的逆元.注意2:只有在幺环中才能谈论逆元的问题. 既使R;+,.,1r是幺环，也不能保证每个元素都可逆. 在幺环r中，若a可逆，那么a的逆元必是唯一的，习惯上 记为 a-1，显然(a-1)-1 = a .例6.因为偶数环2Z中没有单位元,故2Z中没有谈论逆元的 “资格”. 整数环Z中有单位元1r (整数1).但除了 1外，其余元都 不可逆. 在M (F)中.单位元是E .而A e M (F)可逆ol AX 0. 思考题3.“幺环中必有可逆元”对吗？ 在Fx中，/可逆的充要条件是什么？ 若r = 0-零环，r中有单位元吗？ 若幺环R丰0,那1/ 0对吗？ 左（右）零因子会是可逆元吗？ 0会是可逆元吗？明示:设R;+,.,1r是幺环.那么 若a可逆n a_】也可逆，且（a_ 1）一1 二a 若a和b都是R中元素:那么：a与b都可逆o ab可逆. （ab）-1 = b-1 a t结论2.设R；+,.,1r是个幺环，由R中所有可逆元构成的集合为S = a e R I a可逆 那么S,是一个乘法群.证明：由于1 r本身是可逆的.n 1r e S.即S瑚.（i ） Va, b e S n （ab）-1 = b-1 a-1. ab e S（ii）因为R,.是半群n S满足结合律.（iii）1r e S（） Va e S，则 a-1 的逆元恰是a n a-1 e S .由（i）（iv） n S ,是乘法群.四.整环定义5.设R是环，如果R满足下列条件，则叫作整环.R是交换环，（2） R有单位元，（3） R是无零因子环.例6.整数环Z，多项式环,模?剩余类环Zp （P为素数）都是整环.而不是整环的有:偶数环（无1R）.矩阵环M （F）（不变 换且有零因子），Z （m为合数，有零因子）。