高数(大一上)

浙江工商大学200 3/2004 学年第一学期期末考试试卷课程名称：高等数学 (上)考试方式：闭卷完成时限： 120 分钟班级：学号：姓名：得分：.一、填空 ( 每小题 3 分，满分 15 分)1、 lim3x252sinx5x3x2、设 f( 1)A ，则 limf (1)f( 2h1)h0h3、曲线x2et在 t0 处切线方程的斜率为ye t4f ( x)0, f (0)1, f (1)e, f ( 2)21 f (2x)连续可导，且e， 0 f (2 x)、已知 f (x)dx、已知f ( x)ex，则 f(0)51x 2二、单项选择 ( 每小题 3 分，满分 15 分)1、函数 f (x)x sin x ，则 ()A、当 x时为无穷大B、当 x时有极限C、在 (,) 内无界D、在 (,) 内有界、已知 f (x)ex ,x1，则f ( x) 在x1处的导数()2ln x,x1A、等于 0B、等于 1C、等于 eD、不存在3、曲线 yxe x 的拐点是 ()、B、x 2 C、 (1,e1 )D 、 ( 2,2e2)A x 14、下列广义积分中发散的是 ()1 dx1A、 0 sin xB 、 0dxdxdx1 xC 、 0 1 x3 / 2D 、 2 x ln 2 x5、若 f ( x) 与 g(x) 在 (,) 内可导， f ( x)g ( x) ，则必有 ()A、 f (x)g( x)B、 f( x) g (x)limf ( x)limg(x)Dx0f ( x)dxx0g(x)dx、 0C、 x x0x x00三、计算题 （每小题 7 分，共 56 分）答题要求：写出详细计算过程1、求 limx 2 (e2 xe x )x 0(1 cos x) sin x2、求 lim arcsin( x2x x)x3、设 yy( x) 由 xy3xy0 确定，求 dy |x 0 。4、求函数f (x)arctan(2x39x212x10) 的单调区间。5、 f ( x)ln( x21) ，求 f ( n) ( x)arctan xdx6、求2)3 / 2(1x3| x24x 4 |dx7、求 18、在曲线 y1x2 上求一点，使该点切线被两坐标轴所截的线段最短。四、应用题( 满分8 分)答题要求：写出详细计算过程一个圆锥形的容器，顶朝上，底边半径1 米，高2 米，盛满水，要将水全部抽出底面需要做多少功？五、( 本题满分 6 分 ) 设 f ( x) 是 (,) 上非负连续的偶函数，且当 x0 时，f ( x) 单调增加。(1)对任意给定的常数 a b ，求常数b，使得 ( x ) f (x ) dx 0a(2)证明 (1) 中所得的是惟一的。答题要求：写出详细过程。浙江工商大学200 4/2005学年第一学期期末考试试卷课程名称：高等数学 ( 上)考试方式：闭卷完成时限： 120 分钟班级：学号：姓名：得分：.一、填空 ( 每小题 2 分，满分 20 分)、 f ( x) 的定义域为(1,2) ，则f (x1) 的定义域为122、 limxsin xx2x113(1ax) x ,x0在x 0处连续，则 a、函数 f ( x)2,x04、 d(tan ex )5、设 yln x ，则 y( n)、设函数 f ( x) 在x x0处可导，则 limf (x0 ) f (x0 2h)6hh 07、已知f ( x)dxsin xC ，则 f (x)1x ln( x21) dx8、 219、 yy2 yxex 的特解形式 ( 不必精确计算 ) 为210、已知 yx2dt ，则 y |x 1et0二、单项选择 ( 每小题 3 分，满分 15 分)、函数 f (x)x | x | 在x 0处()1A、连续且可导B、连续不可导C、可导不连续D、不连续且不可导2、当 x0 时，变量 1 cosx 是 x 2 的 ()A、等价无穷小B 、同阶无穷小但不等价 C 、高阶无穷小D 、低阶无穷小3、曲线 yx36x 211 在 (0,2)内的一段弧是 ()A、上升，凹的B、上升，凸的C 、下降，凹的D、下降，凸的4、广义积分1xk1dx 是收敛的，则 k 满足 ()A、 k2B 、 k2 C 、 k1D 、 k15、设在区间0,1 上 f(x)0 ，由中值定理，必有 ()A、 f(1)f(0)f (1)f (0)B、 f (1)f (1)f (0)f (0)C、 f (1)f (0)f (1)f (0)D、 f (1)f (0)f (1)f (0)三、计算题 （每小题 6 分，共 36 分）答题要求：写出详细计算过程1、求 xlim (xxx )2、求 limln xln( ex1)x 0223、利用变换 yz(x)ex 求微分方程 y4xy( 4x21) y3ex 的通解。1x4、求(ln xxe)dxln 21dx5、ex0x 2,x046、设 f ( x)，求f (x 2)dx0,x01四、计算下列各题 ( 每小题 7 分，满分 14 分 ) 答题要求：写出详细计算过程1D由y x, y x所围成，求D的面积，并求D绕 x 轴旋转一、设平面图形2周所形成的体积。xex sin t102、求曲线y t 32t在 t0 处的切线方程。五、 ( 本题满分 9 分)答题要求：写出详细计算过程试确定 a,b, c 的值，使抛物线 y ax 2bxc 满足： (1) 过点 (0,0) 和 (1,1) ；(2) 曲线向上凸； (3) 与 x 轴所围的面积最小。六、 ( 本题满分 6 分)设 f (x) 是 0,) 上连续，单调非减且f (x)0 ，试证1xnf (t)dtx0函数 F (x)xt) 上连续且单调非减 ( 其中 n 0 ) 。00x，在 0,0答题要求：写出详细过程。浙江工商大学2005 /2006学年第一学期期末考试试卷课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120 分钟班级名称：学号：姓名：一、填空（每小题2 分，满分 20 分）1 limx(x21x 21)xx2 limxce, 则 c =xxc3函数 f ( x)sin 2xx0，在 (,) 处连续，则 a =xax04设 ycos x 2cos2 xtan，则 dy45设 f ( x)x(arcsin xarccos x), 则 f(2 )2已知曲线 yax 2bx 在 x=1处取到极值，则 a、b 应满足条件67已知fxxx3 e3 xc ，则f（）=( )dx38e x x2 dx09设 f （x）在 0, 1存在二阶连续导数， 且 f ( 0) 0, f (1)11，则 f ( x) f ( x) dx010微分方程 2 y4 y xe 2 x 的特解形式 y*_二、单项选择（每小题3 分，满分 15 分）11 f (x)xcosx ,x0, 则 x = 0 是 f （x）的（）。ln(1x),x0.（A）连续点（B）可去间断点（C）无穷间断点（D）跳跃间断点2当 x0 ，下列无穷小中与 x 不等价的是（）。（A） tan x （ B）ex1（ ） 1 x 1（ ）ln( x 1)CD3曲线 yxex 的拐点是（）。（A）2（ B）2e2（ ）( 2, 2e2)（ ）( 2,2e2)CD4、若 y1 , y2 , y3 是微分方程 yp( x) yq( x) yf ( x) 三个线性无关的解，C1 , C2 是任意常数，则该方程的通解为()(A) C1 y1C 2 y2y3(B)C1 ( y1y2 )C 2 ( y1y3 )y1(C) C1 ( y1y2 )C 2 ( y1y3 )(D)C1 ( y1y2 )C2 ( y1y3 )y15设两曲线y= f （ x）与 y =g（ x）相交于两点（ x1， y1）和（ x2 ， y2 ），且f (x) 0, g (x)0 ，则此两曲线所围平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积为（）。（A）x22 dxf ( x) g(x)x1x2f ( x)2g( x) 2 dx（B）x1x22x22xdxxdx（C）f(g()x1)x1（D）x2f ( x) 2g ( x) 2dxx1三、计算下列各题（每小题6 分，满分 42 分）1 求ln xlim1)x 0 ln( ex 设limx2ax b5 ，求 a，b 的值。21xx 1x1t 2，求dyd 2 y3 已知tt 2dx,2ydx4 设 xyln yln x0 ，求 dydx5 求ln(1x2 )dx3xdx6 求1x 247、求微分方程xyy 的通解。四、应用题（每小题9 分，满分 18 分）1 求抛物线 y x 2 4x 3 及其在点（ 0， 3）和（ 3， 0）处的切线围成图形的面积。2 设圆锥体的母线长a 为常数，试确定其高h，使圆锥体体积达到最大。五、证明题（本题满分5 分）设 f (x) 在,内具有连续的二阶导数，且f (0)0 ，试证：f (x)x0g( x)xf (0)x0具有连续的一阶导数。浙江工商大学2006/2007 学年第一学期期末考试试卷课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120 分钟班级名称：学号：姓名：一、填空（每小题2 分，满分 20 分）1设函数 f (x) 的定义域为 (0,1) 则 f (e x ) 的定义域为2 limn2n1n2n2设函数f (x)sin ax ,x0 在x0处连续，则 a=3x1aex ,x04已知 f ( x)x arctan x2 ，则 f (1)5设 yln(1x) ，则 y( n)6 (3xx cosx) / xdx7已知 f(x)exln x ，则 f （x）=8微分方程 yy1 的通解为x t29设 y2 edt ，则 yx10设 f ( x) 二阶可导， f (0) 0, f (a)a_f (a) 1 ，则 xf ( x)dx0二、单项选择（每小题3 分，满分 15 分）1当 x0 时， 2 (cosxcos 2x) 是 x 2 的（）3（A）高阶无穷小（B）同阶无穷小，但不是等价无穷小（C）低阶无穷小（D）等价无穷小2设 yesin2 x ，则 dy（）（ ） ex dsin2 x（B） esin 2xd sin2x（ ） esin 2xsin 2xdsinx （D）esin2 x dsinxAC3设函数f (x)二阶可导，f ( x)f ( x) ，且当 x(0,), f ( x)0 ， f ( x)0 ，则当 x (,0)，曲线 yf( x) （）（A）单调上升，曲线是凸的（ B）单调下降，曲线是凸的（C）单调上升，曲线是凹的（ D）单调下降，曲线是凹的4、在区间 1,1 上满足拉格朗日中值定理条件的是()(A)yln (1x)(B)ysin xx(C)yx21(D)y| x |5下列广义积分收敛的是（）（A）1（ ）11ln xdxBdx001 x11dx11（C）（ D） 0 (1 x)2 dx0 1 x三、计算下列各题（每小题6 分，满分 42 分）4 求 limsin x 42ln(1 x2 )x 0 x25 若x t ln(1 t ) ，求 y arctant2dydy,2。6 (1) 讨论函数 g ( x)xe x 21, x0 在 x0处的可导性；sin x,x0(2) 在 g( x) 的可导点求其导数。4 求曲线 yxex 在拐点处的切线方程。5 求xex dxex16 设 yex 是 xyP( x) yx 的一个解，求此微分方程满足y |x ln 20 的解。2x,x07、已知 f (x) 1x，求2x0f ( x 1)dx1,0x四、应用题（每小题9 分，满分 18 分）3 设区域 D 由曲线 ysin x ，及直线 xt, x2t, y0 所围成，其中 0t/ 2(1) 问 t 为何值时， D 的面积最大？(2) 求此时该区域绕 x 轴旋转的旋转体体积。4 底边为正方形的正四棱锥容器，顶点朝下，底边长为 2 米，高为 2 米，盛满水，要将水全部抽出底面，需做多少功？五、证明题（本题满分5 分）1b函数 f ( x) 在 a, b 上连续，在 (a, b) 内二阶可导，且 f (a) f (b)f (t )dt ，ba a试证：存在一点(a, b) ，使得 f ( ) 0 。浙江工商大学2007/2008 学年第一学期期末考试试卷课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120 分钟班级名称：学号：姓名：一、填空（每小题3 分，满分 15 分）10 ， f (x) 在 (1设 f ( x)xsin x ,x, ) 内连续，则 aacos x2 ,x02如果 f ( x) 为偶函数，且 f(0) 存在，则 f(0)3 dx2sin(t 2 )dtx4(e x2sin xx 2 )dx5微分方程设 y4ysin 2x 的特解形式 y二、单项选择（每小题3 分，满分 15 分）1当 x0 时，下列无穷小与x 不等价的是（）（A）ln (1tanx)（ B） 1 x 1（C）1 x1x（D） earcsinx112已知 f (x)ex，则 x0 是函数 f (x) 的（）（A）无穷型间断点（ B）有限跳跃间断点（C）可去间断点（ D）振荡间断点3设函数 f (x) 二阶可导，且f ( x)3，则 x0 ，则是 f ( x) 的（）limx0 ln(1xsin x)（A）极大点（B）极小点（ C）驻点（ D）拐点的横坐标ln x4、若x是 f ( x) 的一个原函数，则xf (x) dx()(A) 1 ln xC(B)1C(C)xln xxC(D)1 2ln xCx2xx5 设 在 区 间 a, b上 f ( x)0, f( x)0, f(x)0，令S1bf ( x) dx ，aS2 f (b)(ba) ， S31 f (a)f (b)(ba) 则（）2（A）S1S2S3（ ）S2S1S3B（C） 312（ ）S231SSSDSS三、计算下列各题（每小题7 分，满分 49 分）x17 求limx1 x1ln x8 设 yy(x) 是由 x2 y e2 ydysin y 所确定的隐函数，求。dx 已知x f(t )，且 f (t) 存在且不为零，求 dyd 2 y。9tf (t)f (t )dx,2ydx10求函数 f ( x)xe x 的凹或凸的区间及拐点。5 求xex dxex26、设函数 f ( x)xe x2,x041x 0 ，计算f (x 2)dx,111cos x7设函数 (x) 具有二阶连续导数，且 (0)0 ，并满足方程x2t2 (t)dt( x) 3 ( x) ，te0求(x) 。四、综合应用题（每小题8 分，满分 16 分）1. 平面上通过已知点 P(1,4) 引一直线，要使它在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和为最小，求此直线方程。2.求曲线yx 22x, y0, x1, x3所围成的平面图形的面积S ，并求该平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积V y 。五、证明题（本题满分5 分）函数 f ( x) 在区间a,b 上具有二阶导数，且 f (b)0，而( )(xa) 2( )，F xf x试证：存在一点(a, b) ，使得 F ( ) 0 。浙江工商大学2008/2009 学年第一学期期末考试试卷课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120 分钟班级名称：学号：姓名：一、填空（每小题3 分，满分 15 分）(13x) 2csc x ,x00 点连续，则 a1已知 f ( x)a,x在 x02曲线 yxe x 的拐点是1arcsin x)dx3(x 214 已知 f (ex )2xe x ，且 f (1)0 ，则 f ( x)5微分方程设 2 y3 yy0的通解是二、单项选择题（每小题3 分，满分 15 分）1 f ( x0 )0 是函数 f (x) 在 x0 点取得极值的（）A. 充分条件B.必要条件C. 充分必要条件D.既非充分又非必要条件2 lim1x x2（）xxA. 1B.1C. 1或 1D.不存在xcos 2tdt(0 t) 的弧长为（3曲线段 y）02A. 1B.2C.2D. 224下列广义积分收敛的是（）A.ln xB.1C.1D.1xdxx ln x dxx(ln x) 2dxx ln x dxeeee5. 若 y1 , y2 , y3 是微分方程 yp( x) yq( x) yf ( x) 三个线性无关的解，C1 , C2 是任意常数，则该方程的通解为 ()A.C1 y1 C 2 y2y3B.C1 ( y1y2 ) C 2 ( y1y3 ) y1C.C1 ( y1y2 )C 2 ( y1 y3 )D. C1 ( y1y2 ) C2 ( y1y3 ) y1三、计算题（一）（每小题 6 分，满分 24 分）11求 limcos x1x2x tan xx 012设 yy( x) 是由 exysin xy0 确定，求 y (0), y (0) 。1,0x213 已知 f ( x)4x22,2x，求定积分f ( x 1) dx 。1x00214求微分方程 xyyx4 ( x0) 满足 y(1)0 的特解。四、计算题（二）（每小题 8 分，满分 24 分）e2 x ,x01、设函数y f ( x)x0 ，(1) 讨论函数f ( x)在 x0 处的连续性； (2)x 1,函数 f ( x)在何处取得极值，为什么？2已知函数 f (x) 满足方程 f ( x) 3x1 x212 ( x) dx，试求 f (x) 。f0xet21 f ( x)3设 f ( x)dt ，求0dx 。1x五、应用题（每小题8 分，满分 16 分）1. 假定足球门的宽度为 4 米，在距离右门柱 6 米处，一球员沿垂直于底线的方向带球，问：他在离底线多远的地方射门将获得最大的射门张角？4x2.过点 (4,2) 作抛物线 yx 的切线，该切线与抛物线yx 及 y 轴围成平面图形，(1) 求该平面图形的面积；(2) 求该平面图形绕 x 轴旋转而成立体的体积。六、证明题（ 6 分）函数f ( x)在区间 0,1 上可微，满足f (x)(0,1) 且 f (x)1,x 0,1，证明：在(0,1)内有且仅有一个，使得 f ( )。03 04 浙江工商大学高等数学（上）参考答案一、 1、63、14、15、-12、2A25二、1、C2、D3、D4、A5、A三、1、6，2 、，3 、 dy |x 0(ln 31)dx ，4、,1, 3, 单6调增加， 1,3单调减少，5、(1) n 1 (n1)! (x11) n1，( x 1) nx arctan x1C ，7、1，816、1 x2、( 2, )。1 x22四、五、g (kJ)3a b203 04 浙江工商大学高等数学（上）参考答案一、 1、(0, 2),2、0,3、ln2,( 1)n1 (n1)!， 5 、xn4、x 2 x， 6 、e sec e dx2 f ( x0 )7、 cos x ，8、4，9、yx(ax b)ex10. 2/e二、 ABDBB三、1、1/2 ， 2、1， 3 、(C1 cosx C2 sin x 3)ex24、 12xxexexC2ln5、 2/ 26、222)(83四、 1、A1/6, V2 /152、 y2ex2e五、 a= 2, b=3, c=00506 浙江工商大学高等数学 （上）参考答案一、1 ；2.1 ；3. 2；24.2( x sin x 2cos x sin x)dx ；5.；6. 2a b 0 ；27.3x 2e3x (1 x) ；8.1； 9.1； 10.yx(ax b)e 2 x .32二、1.A2.C3.D4.B5.B.三、 1. 原式 = limex1/ x1)(3 ) lim e x ex11（6 分）x0/(exx0x2. lim (x2axb)1ab0（2 分）x 1limx2axblim2xa( 2a)5（5 分）1x1x 1x1联立解得a= ，b= 6.（6分）73.dy12t11，（3 分）dx2t2td 2 y(11)12t（6 分）dx22t4t 34. 方程两边对 x 求导得 yxyy / y1 / x0,（4 分）yy(6分)x5.原式x ln(12)(1x 2 )1分)x21x 2dx(3x ln(12)2x2arctanxC分)x(66.2d (4 x2 )3 d (x 24)（4 分）原式 =4 x 22 2x21241213=(4 x 2 ) 2( x 24) 2(53)（6 分）217.yC1 ln | x |C2四、 1. 抛物线在点（ 0， 3）的切线为 y = 4x3，在点（ 3，0）的切线为 y = 2x+6，两切线的交点为 ( 3 , 3) 。2（5 分）所求面积3x 23x 2A= 2 (4 x3)(4x3) dx2x6)(4x 3) dx3 (02= 94（9 分）2. 圆柱体体积V( a2h2 )h（3 分）=3由 V(a 23h2 )0，得驻点 ha，（7 分）33由 V2 h0 ，知当 ha， Vmax2a 3（9 分）393五、证 x0 ， g (0)lim g (x)g (0)lim f (x)xf (0)x0x0x0x2lim f( x)f(0)1 f(0) ；