2013年高中数学 暑期特献 重要知识点 数列、函数的极限

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数列的极限我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。 、数列:若按照一定的法则,有第一个数a1,第二个数a2,依次排列下去,使得任何一个正整数n对应着一个确定的数an,那末,我们称这列有次序的数a1,a2,an,为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。第n项an叫做数列的一般项或通项.注:我们也可以把数列an看作自变量为正整数n的函数,即:an=,它的定义域是全体正整数 、极限:极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的。例:我们可通过作圆的内接正多边形,近似求出圆的面积。设有一圆,首先作圆内接正六边形,把它的面积记为A1;再作圆的内接正十二边形,其面积记为A2;再作圆的内接正二十四边形,其面积记为A3;依次循下去(一般把内接正62n-1边形的面积记为An)可得一系列内接正多边形的面积:A1,A2, A3,An,它们就构成一列有序数列。我们可以发现,当内接正多边形的边数无限增加时,An也无限接近某一确定的数值(圆的面积),这个确定的数值在数学上被称为数列A1,A2,A3,An, 当n(读作n趋近于无穷大)的极限。注:上面这个例子就是我国古代数学家刘徽(公元三世纪)的割圆术。 、数列的极限:一般地,对于数列来说,若存在任意给定的正数(不论其多么小),总存在正整数N,使得对于nN时的一切不等式都成立,那末就称常数a是数列的极限,或者称数列收敛于a .记作:或注:此定义中的正数只有任意给定,不等式才能表达出与a无限接近的意思。且定义中的正整数N与任意给定的正数是有关的,它是随着的给定而选定的。、数列的极限的几何解释:在此我们可能不易理解这个概念,下面我们再给出它的一个几何解释,以使我们能理解它。数列极限为a的一个几何解释:将常数a及数列在数轴上用它们的对应点表示出来,再在数轴上作点a的邻域即开区间(a-,a+),如下图所示: 因不等式与不等式等价,故当nN时,所有的点都落在开区间(a-,a+)内,而只有有限个(至多只有N个)在此区间以外。注:至于如何求数列的极限,我们在以后会学习到,这里我们不作讨论。 、数列的有界性:对于数列,若存在着正数M,使得一切都满足不等式M,则称数列是有界的,若正数M不存在,则可说数列是无界的。定理:若数列收敛,那末数列一定有界。注:有界的数列不一定收敛,即:数列有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件。例:数列 1,-1,1,-1,(-1)n+1, 是有界的,但它是发散的。函数的极限前面我们学习了数列的极限,已经知道数列可看作一类特殊的函数,即自变量取 1内的正整数,若自变量不再限于正整数的顺序,而是连续变化的,就成了函数。下面我们来学习函数的极限.函数的极值有两种情况:a):自变量无限增大;b):自变量无限接近某一定点x0,如果在这时,函数值无限接近于某一常数A,就叫做函数存在极值。我们已知道函数的极值的情况,那么函数的极限如何呢 ?下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念!、函数的极限(分两种情况)a):自变量趋向无穷大时函数的极限定义:设函数,若对于任意给定的正数(不论其多么小),总存在着正数X,使得对于适合不等式 的一切x,所对应的函数值都满足不等式 那末常数A就叫做函数当x时的极限,记作:下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下:数列的极限的定义函数的极限的定义存在数列与常数A,任给一正数0,总可找到一正整数N,对于nN的所有都满足则称数列,当x时收敛于A记:。存在函数与常数A,任给一正数0,总可找到一正数X,对于适合的一切x,都满足,函数当x时的极限为A,记:。从上表我们发现了什么 ?试思考之b):自变量趋向有限值时函数的极限。我们先来看一个例子.例:函数,当x1时函数值的变化趋势如何?函数在x=1处无定义.我们知道对实数来讲,在数轴上任何一个有限的范围内,都有无穷多个点,为此我们把x1时函数值的变化趋势用表列出,如下图:从中我们可以看出x1时,2.而且只要x与1有多接近,就与2有多接近.或说:只要与2只差一个微量,就一定可以找到一个,当时满足定义:设函数在某点x0的某个去心邻域内有定义,且存在数A,如果对任意给定的(不论其多么小),总存在正数,当0时,则称函数当xx0时存在极限,且极限为A,记:。注:在定义中为什么是在去心邻域内呢?这是因为我们只讨论xx0的过程,与x=x0出的情况无关。此定义的核心问题是:对给出的,是否存在正数,使其在去心邻域内的x均满足不等式。有些时候,我们要用此极限的定义来证明函数的极限为 A,其证明方法是怎样的呢? a):先任取0; b):写出不等式;c):解不等式能否得出去心邻域0,若能; d):则对于任给的0,总能找出,当0时,成立,因此
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