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第一讲 有理数的巧算,数的运算和表达式,所有内容来自网路，如果有损你的版权，请告诉我,我立即改正。谢谢！,要求,有理数运算是中学数学中一切运算的基础它要求： 在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算 要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,1括号的使用,在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单,由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化,注意: 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算,(2),注意: 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算,例2,计算下式的值： 211555+445789+555789+211445 分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算,211555+445789+555789+211445,解 原式=(211555+211445) +(445789+555789) =211(555+445)+(445+555)789 =2111000+1000789 =1000(211+789) =1000000 说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧,例3 计算：S=1-2+3-4+(-1)n+1n,分析 不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”如果按照将第一、第二项，第三、第四项，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法 解 S=(1-2)+(3-4)+(-1)n+1n 下面需对n的奇偶性进行讨论： 当n为偶数时，上式是n2个(-1)的和，所以有 s=-n/2 当n为奇数时，上式是(n-1)2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1n=n，所以有,例4 在数1，2，3，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？,分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性在1，2，3，1998中有19982个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1 现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然: n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 这启发我们将1，2，3，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即 (1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(1993-1994-1995+1996) -1997+1998=1 所以，所求最小非负数是1 说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化,2用字母表示数,我们先来计算(100+2)(100-2)的值： (100+2)(100-2)=100100 -2100+2100 - 22 =100100 + (-2100+2100) - 22 =1002-22 这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为 (a+b)(a-b)=a2 -ab+ab -b2=a2 - b2 于是我们得到了一个重要的计算公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算,例5 计算 30012999的值,解 30012999=(3000+1)(3000-1) =30002-12=8999999,例6 计算 1039710009的值,解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9) =(1002-9)(1002+9) =1004-92=99999919,例7 计算,分析与解 直接计算繁仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)应用平方差公式化简得 n2-(n2-12)=n2-n2+1=1， 即原式分母的值是1，所以原式=24690,例8 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1),分析 式子中2，22，24，每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续运用(a+b)(a-b)=a2-b2了 解 原式= (2-1) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)= =(232-1)(232+1) =264-1,例9 计算,分析 在前面的例题中，应用过公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 这个公式也可以反着使用，即 a2-b2=(a+b)(a-b),例10 计算,我们用一个字母表示它以简化计算,3观察算式找规律,例11 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分 87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88 分析与解 若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算所以总分为 9020+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3) +2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1) +2+5+(-2) =1800-1=1799， 平均分为 90+(-1)20=89.95,例12 计算1+3+5+7+1997+1999的值,分析 观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法 解 用字母S表示所求算式，即 S=1+3+5+1997+1999 再将S各项倒过来写为 S=1999+1997+1995+3+1 将，两式左右分别相加，得 2S=(1+1999)+(3+1997)+(1997+3)+(1999+1) =2000+2000+2000+2000(500个2000) =2000500 从而有 S=500000 说明 一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=1999-1997，都等于2),，这一列数叫等差数列，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决。一般有公式:（第一项+ 最后一项） 2 项数,例13 计算 1+5+52+53+599+5100的值,分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算 解 设 S=1+5+52+599+5100， 所以 5S= 5+52+53+5100+5101 得 4S=5101-1， 说明 如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)这一列数叫等比数列，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决一般有公式: S=A1*(Rn-1)/(R-1) A1 :首项 R:比例 n:项数,例14 计算：,分析 一般情况下，分数计算是先通分本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式 来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法 解 由于 所以 说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用,练习一 计算下列各式的值：,(1)-1+3-5+7-9+11-1997+1999 (2)11+12-13-14+15+16-17-18+99+100 (3)19911999-19902000 (4)4726342+4726352-472633472635-472634472636(5)1+4+7+244,练习二 计算平均分：,某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分 81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85,
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