2021版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.5椭圆教师用书文新人教版

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.5椭圆教师用书文新人教版2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 椭圆教师用书 文 新人教版1椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系a2b2c2【知识拓展】点P(x0，y0)和椭圆的关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内1.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()(5)1(ab)表示焦点在y轴上的椭圆()(6)1(ab0)与1(ab0)的焦距相等()1(教材改编)椭圆1的焦距为4，则m等于()A4 B8 C4或8 D12答案C解析由题意知或解得m4或m8.2(2015广东)已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4,0)，则m等于()A2 B3 C4 D9答案B解析由题意知25m216，解得m29，又m0，所以m3.3(2016全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案B解析如图，由题意得，|BF|a，|OF|c，|OB|b，|OD|2bb.在RtFOB中，|OF|OB|BF|OD|，即cbab，解得a2c，故椭圆离心率e，故选B.4已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析由题意知c1，e，所以a2，b2a2c23.故所求椭圆方程为1.5(教材改编)已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为_答案或解析设P(x，y)，由题意知c2a2b2541，所以c1，则F1(1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y1，把y1代入1，得x，又x0，所以x，所以P点坐标为或.题型一椭圆的定义及标准方程命题点1利用定义求轨迹例1(2016济南模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆答案A解析由条件知|PM|PF|.|PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|.P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆命题点2利用待定系数法求椭圆方程例2(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为_(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(，)，则椭圆的方程为_答案(1)y21或1(2)1 解析(1)若焦点在x轴上，设方程为1(ab0)，椭圆过P(3,0)，1，即a3，又2a32b，b1，方程为y21.若焦点在y轴上，设方程为1(ab0)椭圆过点P(3,0)1，即b3.又2a32b，a9，方程为1.所求椭圆的方程为y21或1.(2)设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0且mn)椭圆经过点P1，P2，点P1，P2的坐标适合椭圆方程则两式联立，解得所求椭圆方程为1.命题点3利用定义解决“焦点三角形”问题例3已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_.答案3解析设|PF1|r1，|PF2|r2，则2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，又r1r2b29，b3.引申探究1在例3中增加条件“PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程解由原题得b2a2c29，又2a2c18，所以ac1，解得a5，故椭圆方程为1.2在例3中条件“”、“PF1F2的面积为9”分别改为“F1PF260”“3”，结果如何？解|PF1|PF2|2a，又F1PF260，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2，即(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2，所以3|PF1|PF2|4a24c24b2，所以|PF1|PF2|b2，又因为|PF1|PF2|sin 60b2b23，所以b3.思维升华(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a|F1F2|这一条件(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式(3)当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等(1)已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)(2017大庆质检)设F1、F2分别是椭圆y21的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使()0(O为坐标原点)，则F1PF2的面积是()A4 B3 C2 D1答案(1)D(2)D解析(1)设圆M的半径为r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a16,2c8，故所求的轨迹方程为1.(2)()()0，PF1PF2，F1PF290.设|PF1|m，|PF2|n，则mn4，m2n212,2mn4，mn1.题型二椭圆的几何性质例4(1)已知点F1，F2是椭圆x22y22的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|的最小值是()A0 B1 C2 D2(2)(2016全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左，右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A. B. C. D.答案(1)C(2)A解析(1)设P(x0，y0)，则(1x0，y0)，(1x0，y0)，(2x0，2y0)，|22.点P在椭圆上，0y1，当y1时，|取最小值2.故选C.(2)设M(c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以，a3c，e.思维升华(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系(2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2b2c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围(2016江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_答案解析联立方程组解得B，C两点坐标为B，C，又F(c,0)，则，又由BFC90，可得0，代入坐标可得c2a20，又因为b2a2c2.代入式可化简为，则椭圆离心率为e.题型三直线与椭圆例5(2016天津)设椭圆1(a)的右焦点为F，右顶点为A.已知，其中O为原点，e为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率解(1)设F(c,0)，由，即，可得a2c23c2.又a2c2b23，所以c21，因此a24.所以椭圆的方程为1.(2)设直线l的斜率为k(k0)，则直线l的方程为yk(x2)设B(xB，yB)，由方程组消去y，整理得(4k23)x216k2x16k2120.解得x2或x.由题意得xB，从而yB.由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，有(1，yH)，.由BFHF，得0，所以0，解得yH.因此直线MH的方程为yx.设M(xM，yM)，由方程组消去y，解得xM.在MAO中，MOAMAO|MA|MO|，即(xM2)2yxy，化简得xM1，即1，解得k或k.所以直线l的斜率为或.思维升华(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| (k为直线斜率)提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式(2016唐山模拟)已知椭圆1(ab0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e，直线l交椭圆于M，N两点(1)若直线l的方程为yx4，求弦|MN|的长；(2)如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式解(1)由已知得b4，且，即，解得a220，椭圆方程为1.则4x25y280与yx4联立，消去y得9x240x0，x10，x2，所求弦长|MN|x2x1|.(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知2，又B(0,4)，(2，4)2(x02，y0)，故得x03，y02，即Q的坐标为(3，2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x26，y1y24，且1，1，以上两式相减得0，kMN，故直线MN的方程为y2(x3)，即6x5y280.8高考中求椭圆的离心率问题考点分析离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法典例1(2015福建)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析左焦点F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.设M(0，b)，则，1b2.离心率e ，故选A.答案A典例2(12分)(2016浙江)如图，设椭圆y21(a1)(1)求直线ykx1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围规范解答解(1)设直线ykx1被椭圆截得的线段为AM，由得(1a2k2)x22a2kx0，2分故x10，x2，因此|AM|x1x2|.4分(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|AQ|.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k10，k20，k1k2.5分由(1)知|AP|，|AQ|，故，所以(kk)1kka2(2a2)kk0.7分由k1k2，k10，k20得1kka2(2a2)kk0，因此1a2(a22)，因为式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1，所以a.因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a，10分由e，得0e.所以离心率的取值范围是(0，12分1“2m6”是“方程1表示椭圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析若1表示椭圆，则有2m6且m4.故“2m4k0，即4k5时，a3，c29(4k)5k，解得k.当94k，即k5时，a，c2k5，解得k21，故选D.3(2017沈阳质检)若对任意kR，直线ykx10与椭圆1恒有公共点，则实数m的取值范围是()A(1,2 B1,2)C1,2)(2，) D1，)答案C解析联立直线与椭圆的方程，消去y得(2k2m)x24kx22m0，因为直线与椭圆恒有公共点，所以16k24(2k2m)(22m)0，即2k2m10恒成立，因为kR，所以k20，则m10，所以m1，又m2，所以实数m的取值范围是1,2)(2，)4.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子：a1c1a2c2；a1c1a2c2；a1c2.其中正确式子的序号是()A B C D答案D解析观察图形可知a1c1a2c2，即式不正确；a1c1a2c2|PF|，即式正确；由a1c1a2c20，c1c20，知，即a1c2，即式正确，式不正确故选D.5(2016贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A1 B. C2 D2答案D解析设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以2cb1，bc1，而2a222(当且仅当bc1时取等号)，故选D.*6.(2016合肥模拟)已知两定点A(2,0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：yx3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为()A. B. C. D.答案B解析由题意知，椭圆C的离心率e，求e的最大值，即求a的最小值，由于A，B两点是椭圆的焦点，所以|PA|PB|2a，即在直线l上找一点P，使|PA|PB|的值最小，设点A(2,0)关于直线l：yx3的对称点为Q(x0，y0)，则解得即Q(3,1)，则|PA|PB|QB|，即2a，a，e，故选B.7若椭圆1(a0，b0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2y24的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为_答案1解析设切点坐标为(m，n)，则1，即m2n2n2m0.m2n24，2mn40，即直线AB的方程为2xy40.直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，2c40，b40，解得c2，b4，a2b2c220，椭圆方程为1.8已知P为椭圆1上的一点，M，N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则|PM|PN|的最小值为_答案7解析由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|PF2|10，从而|PM|PN|的最小值为|PF1|PF2|127.9(2017石家庄质检)椭圆y21的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是_答案(，)解析设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，则(x，y)，(x，y)F1PF2为钝角，0，即x23y20，y21，代入得x2310，x22，x2.解得xb0)的离心率等于，其焦点分别为A，B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在ABC中，的值等于_答案3解析在ABC中，由正弦定理得，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|CB|2a，而|AB|2c，所以3.11如图，椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，右顶点，上顶点分别为A，B，且|AB|BF|.(1)求椭圆C的离心率；(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆C于P，Q两点，OPOQ，求直线l的方程及椭圆C的方程解(1)由已知|AB|BF|，即a，4a24b25a2,4a24(a2c2)5a2，e.(2)由(1)知a24b2，椭圆C：1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为y22(x0)，即2xy20.由消去y，得x24(2x2)24b20，即17x232x164b20.3221617(b24)0，解得b.x1x2，x1x2.OPOQ，0，即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0，5x1x24(x1x2)40.从而40，解得b1，满足b.椭圆C的方程为y21.12(2015安徽)设椭圆E的方程为1(ab0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程解(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM，从而，进而得ab，c2b，故e.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为1，点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上，且kNSkAB1，从而有解得b3.所以a3，故椭圆E的方程为1.*13.如图，已知椭圆M：1(ab0)的左，右焦点分别为F1(2,0)，F2(2,0)在椭圆M中有一内接三角形ABC，其顶点C的坐标为(，1)，AB所在直线的斜率为.(1)求椭圆M的方程；(2)当ABC的面积最大时，求直线AB的方程解(1)由椭圆的定义知2a，所以a26，所以b2a2c22.所以椭圆M的方程为1.(2)由题意设直线AB的方程为yxm，由消去y，得2x22mx3m260，因为直线AB与椭圆M交于不同的两点A，B，且点C不在直线AB上，所以解得2m2且m0.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2m，x1x2，y1x1m，y2x2m.所以|AB|2.点C(，1)到直线yxm的距离d.于是ABC的面积S|AB|d|m|，当且仅当|m|，即m时“”成立所以当m时，ABC的面积最大，此时直线AB的方程为yx，即xy0.45