2013年高中数学 暑期特献 重要知识点 隐函数的求导、微分

2013年高中数学 暑期特献 重要知识点 隐函数的求导、微分若已知F(x,y)=0，求时，一般按下列步骤进行求解：a)：若方程F(x,y)=0，能化为的形式，则用前面我们所学的方法进行求导；b)：若方程F(x,y)=0，不能化为的形式，则是方程两边对x进行求导，并把y看成x的函数，用复合函数求导法则进行。例题：已知，求解答：此方程不易显化，故运用隐函数求导法.两边对x进行求导， ，故= 注：我们对隐函数两边对x进行求导时，一定要把变量y看成x的函数，然后对其利用复合函数求导法则进行求导。例题：求隐函数，在x=0处的导数解答：两边对x求导，故，当x=0时，y=0.故。有些函数在求导数时，若对其直接求导有时很不方便，像对某些幂函数进行求导时，有没有一种比较直观的方法呢？下面我们再来学习一种求导的方法：对数求导法对数求导法对数求导的法则：根据隐函数求导的方法，对某一函数先取函数的自然对数，然后在求导。注：此方法特别适用于幂函数的求导问题。例题：已知x0，求此题若对其直接求导比较麻烦，我们可以先对其两边取自然对数，然后再把它看成隐函数进行求导，就比较简便些。如下解答：先两边取对数： ，把其看成隐函数，再两边求导因为，所以例题：已知，求此题可用复合函数求导法则进行求导，但是比较麻烦，下面我们利用对数求导法进行求导解答：先两边取对数再两边求导因为，所以函数的微分学习函数的微分之前，我们先来分析一个具体问题：一块正方形金属薄片受温度变化的影响时，其边长由x0变到了x0+x，则此薄片的面积改变了多少？解答：设此薄片的边长为x，面积为A，则A是x的函数： 薄片受温度变化的影响面积的改变量，可以看成是当自变量x从x0取的增量x时，函数A相应的增量A，即：。从上式我们可以看出，A分成两部分，第一部分是x的线性函数，即下图中红色部分；第二部分即图中的黑色部分，当x0时，它是x的高阶无穷小，表示为：由此我们可以发现，如果边长变化的很小时，面积的改变量可以近似的用地一部分来代替。下面我们给出微分的数学定义：函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，x0及x0+x在这区间内，若函数的增量可表示为，其中A是不依赖于x的常数，是x的高阶无穷小，则称函数在点x0可微的。叫做函数在点x0相应于自变量增量x的微分，记作dy，即：=。通过上面的学习我们知道：微分是自变量改变量x的线性函数，dy与y的差是关于x的高阶无穷小量，我们把dy称作y的线性主部。于是我们又得出：当x0时，ydy.导数的记号为： ，现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为：由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。微分形式不变性 什么是微分形式不边形呢？ 设，则复合函数的微分为： ， 由于，故我们可以把复合函数的微分写成 由此可见，不论u是自变量还是中间变量，的微分dy总可以用与du的乘积来表示， 我们把这一性质称为微分形式不变性。 例题：已知，求dy 解答：把2x+1看成中间变量u，根据微分形式不变性，则 通过上面的学习，我们知道微分与导数有着不可分割的联系，前面我们知道基本初等函数的导数公式和导数 的运算法则，那么基本初等函数的微分公式和微分运算法则是怎样的呢？ 下面我们来学习基本初等函数的微分公式与微分的运算法则基本初等函数的微分公式与微分的运算法则 基本初等函数的微分公式 由于函数微分的表达式为：，于是我们通过基本初等函数导数的公式可得出基本初等函数微分的公式，下面我们用表格来把基本初等函数的导数公式与微分公式对比一下：(部分公式)导数公式微分公式微分运算法则 由函数和、差、积、商的求导法则，可推出相应的微分法则.为了便于理解，下面我们用表格来把微分的运算法则与导数的运算法则对照一下：函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则 复合函数的微分法则就是前面我们学到的微分形式不变性，在此不再详述。 例题：设，求对x3的导数 解答：根据微分形式的不变性 微分的应用 微分是表示函数增量的线性主部.计算函数的增量，有时比较困难，但计算微分则比较简单，为此我们用函数的微分来近似的代替函数的增量，这就是微分在近似计算中的应用. 例题：求的近似值。 解答：我们发现用计算的方法特别麻烦，为此把转化为求微分的问题 故其近似值为1.025(精确值为1.024695)