2013年高中数学 基础能力训练（20）

数学能力训练（20）1抛物线上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 _2已知圆，与抛物线的准线相切，则 _3如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数a的取值范围是 4对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；（1）焦点在y轴上； （2）焦点在x轴上；（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5；（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）其中适合抛物线y2=10x的条件是(要求填写合适条件的序号） _5已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线上，ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；（2）求线段BC中点M的坐标；（3）求BC所在直线的方程. 6已知抛物线y=ax21上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点，求a的取值范围.7抛物线x2=4y的焦点为F，过点(0，1)作直线L交抛物线A、B两点，再以AF、BF为邻边作平行四边形FARB，试求动点R的轨迹方程. 8已知抛物线C：，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线（1）若C在点M的法线的斜率为，求点M的坐标（x0，y0）；（2）设P（2，a）为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由. 答案1. ; 2. 2; 3. ; 4. （2），（5）;5解析：（1）由点A（2，8）在抛物线上，有，解得p=16. 所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）.（2）如图，由于F（8，0）是ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且，设点M的坐标为，则，解得，所以点M的坐标为（11，4）（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：由消x得，所以，由（2）的结论得，解得因此BC所在直线的方程为：6解析：设在抛物线y=ax21上关于直线x+y=0对称的相异两点为P(x,y),Q(y,x)，则 ，由得x+y=a(x+y)(xy),P、Q为相异两点，x+y0，又a0，代入得a2x2axa+1=0，其判别式=a24a2(1a)0，解得7解析：设R(x,y),F(0,1), 平行四边形FARB的中心为，L:y=kx1,代入抛物线方程得x24kx+4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=4，且=16k2160，即|k|1 ，C为AB的中点. ，消去k得x2=4(y+3),由 得，故动点R的轨迹方程为x2=4(y+3)( )8 解析：（1）由题意设过点M的切线方程为：，代入C得，则，即M（1，）（2）当a0时，假设在C上存在点满足条件设过Q的切线方程为：，代入，则，且若时，由于， 或 ；若k=0时，显然也满足要求有三个点（2，），（2，）及（2，），且过这三点的法线过点P（2，a），其方程分别为：x2y22a0，x2y22a0，x2.当a0时，在C上有一个点（2，），在这点的法线过点P（2，a），其方程为：x2.