带电物体在电场中的综合计算

带电物体在电场中的综合计算【学习目标】1、进一步强化对静电场的认识，理解静电场力的性质和能的性质；2、能够熟练地解决带电粒子在恒定的电场以及一些变化的电场中的加速和偏转问题；3、能够熟练地解决带电物体在静电场和重力场所构成的复合场中的运动问题。【要点梳理】知识点一：带电粒子在电场中的加速运动要点诠释：(1) 带电粒子在任何静电场中的加速问题，都可以运用动能定理解决，即带电粒子在电场中通过电势差为uab的 两点时动能的变化是AE，则qU =AE = 1 mv2 1 mv2kAB k 2221(2) 带电粒子在静电场和重力场的复合场中的加速，同样可以运用动能定理解决，即11W + mghAB + qUAB = AEk =万mv2 - mv2(W为重力和电场力以外的其它力的功)(3) 带电粒子在恒定场中运动的计算方法带电粒子在恒力场中受到恒力的作用，除了可以用动能定理解决外还可以由牛顿第二定律以及匀变速直线运动的 公式进行计算。知识点二：带电粒子在偏转电场中的运动问题(定量计算通常是在匀强电场中，并且大多数情况是初速度方向与电场线方向垂直)要点诠释：(1) 运动性质：受到恒力的作用，初速度与电场力垂直，做类平抛运动。(2) 常用的关系：偏转电场强度：E = U，粒子的加速度：a =四，粒子在偏转电场中运动时间：t =上(U为偏转 dmdv0电压，d为两平行金属板间的距离或沿着电场线方向运动的距离，L为偏转电场的宽度(或者是平行板的长度)，v 为经加速电场后粒子进入偏转电场时的初速度。)带电粒子离开电场时：qUL沿电场线方向的速度是Vy = at = mdv ;0垂直电场线方向的速度七=v0v qUL合速度大小是：v = ：v2 + v2 方向是：tan0 = = d-01 qUL离开电场时沿电场线方向发生的位移J at 2 =-2 2mdv20知识点三：带电微粒或者带电物体在静电场和重力场的复合场中运动时的能量守恒要点诠释：(1) 带电物体只受重力和静电场力作用时，电势能、重力势能以及动能相互转化，总能量守恒，即E,重+ E,电+ E = K (恒定值)(2) 带电物体除受重力和静电场力作用外，如果还受到其它力的作用时，电势能、重力势能以及动能之和发生变 化，此变化量等于其它力的功，这类问题通常用动能定理来解决。【典型例题】类型一：带电粒子在匀强电场中的加速例1、如图所示，平行板电容器两极板间有场强为E的匀强电场,且带正电的极板接地.一质量为m电荷量为+q的带 电粒子(不计算重力)从x轴上坐标为x处静止释放.(1) 求该粒子在x处的电势能Epx0;(2) 试从牛顿第二定律出发，证明该带电粒子在极板间运动过程中，其动能与电势能之和保持不变.【解析】：(1)带电粒子从O点移到x0点电场力所做的功为：W电=qEX0电场力所做的功等于电势能增加量的负值，故有：w电=-Gpx0 - 0 )联立得：Epx0 = -qEX0(2)方法一:在带电粒子的运动方向上任取一点，设坐标为x,由牛顿第二定律可得qE = ma由运动学公式得v2 = 2a(x- x )， 工0联立式求得E虹=2 mv2 = qE(x - x ),粒子在任意点的电势能为E = -qEx ,px所以粒子在任意一点的动能与电势能的和为E = E + E = qE (x - x )+(-qEx)=-qEx = EEpx0为一常数，故粒子在运动过程中动能与电势能之和保持不变方法二:在x轴上任取两点x、x，速度分别为v、v .F = qE = ma,1212v2 - v2 = 2a (x - x ),联立得mv2 - mv2 = qE(x - x ),2121222121所以 2 mv2 + (-qEx ) = 2 mv2 + (-qEx ),即Ek2 + Ep2 = Ek1 + Ep1，故在其运动过程中，其动能和电势能之和保持不变.【点评】讨论带电粒子在电场中的直线运动问题(加速或减速)经常用到的方法是：能量方法一一能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现.(2) 功能关系一一动能定理,注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有功，判断选用分阶段还是全程使用动能定 理.(3) 动力学方法一一牛顿运动定律和匀变速直线运动公式的结合，注意受力分析要全面,特别是重力是否需要考查的 问题;其次是注意运动学公式的矢量性.举一反三【变式】（2015巴蜀中学期末考）如图所示，从F处释放一个无初速度的电子向B板方向运动，指出下列对电子 运动的描述中哪项是错误的（）A. 电子到达B板时的动能是EeB. 电子从B板到达C板动能变化量为零C. 电子到达D板时动能是3EeD. 电子在A板和D板之间做往复运动A H C Df U j【答案】C类型二：带电粒子在匀强电场中的偏转例2、（2016湛江一模）如图所示，平行板电容器充电后形成一个匀强电场，大小保持不变。让不计重力的相同带电粒子。、b以不同初速度，先、后两次垂直电场射入，。、b分别落到负极板的中央和边缘，则（）Q 粒子加速度较大B. b粒子的电势能变化量较大C. 若仅使。粒子初动能增大到原来的2倍，则恰能打在负极板的边缘D. 若仅使。粒子初速度增大到原来的2倍，则恰能打在负极板的边缘【答案】ABC【解析】加速度a =竺，a、b两个粒子相同，电场强度E相同，则加速度相同，故A错误；电场力做功W = qEy， m可见，电场力做功相同，由能量守恒可知，两次的电势能增量相同，故B错误；若粒子a的初动能增大到原来的2 倍，由动能的定义式气=2mv2知a粒子的初速度增大到原来的、2倍，粒子在电场中做类平抛运动，a粒子到达 下极板的时间不变，水平位移变为原来的、2倍，a粒子没有打到负极板的边缘，故C错误；若仅使a粒子初速度 增大到原来的2倍，粒子到达下极板的时间不变，水平位移变为原来的2倍，则恰能打在负极板的边缘，故D正 确。【点评】本题是类平抛运动的类型，运用牛顿第二定律、运动学公式和动能定理结合分析，即可求解。举一反三【高清课程：带电物体在电场中的综合计算】【变式】如图，有三个质量相等分别带正电、负电和不带电小球，从平行板电场中P点以相同初速垂直于E进入 电场，它们分别落到A、B、C点，则：A. 落到A点的小球带正电，落到B点的小球不带电；B. 三小球在电场中运动时间相等；C. 三小球到达正极板时的动能关系是：EA E EkcD. 三小球在电场中运动的加速度关系是：aA aB ac【答案】A类型三：带电物体在匀强电场与重力场的复合场中的运动情况分析例3、质量为m的带电小球用绝缘丝线悬挂于O点，并处于水平向左的大小为E的匀强电场中，小球静止时丝线 与铅垂线间的夹角为。，如图所示，求：（1）小球带何种电荷电荷量是多少（2）若将丝线烧断，则小球将做什么运动（设电场区域足够大）E【答案】（1）负，m !崩（2）初速度为零的匀加速直线运动E【解析】（1）小球受到的电场力一定是水平向右，与场强的方向相反，所以小球带负电。小球受力如图所示：由共点力平衡条件得，qE = mg tan0所以带电小球所带的电荷量q = 竺竺E（2）小球受到重力和电场力的合力F合与小球静止时线的拉力大小相等方向相反，是一个恒力。当烧断丝线 合时，小球在恒力作用下由静止开始运动，做初速度为零的匀加速直线运动。【点评】带电物体在匀强电场和重力场的复合场中运动时，将两个恒力归并成为一个恒力，对分析运动情况特别方 便，要注意运用这个方法。举一反三【高清课程：带电物体在电场中的综合计算】例7【变式1】真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场。在电场中，若将一个质量为m、带正电的小球由静止释放，运动中小球的速度与竖直方向夹角为37。(取sin37 0=，cos37 0=。现将该小球从电场中某点以初速度v竖直向上抛出。求运动过程中：(1) 小球受到的电场力的大小及方向；(2) 小球从抛出点至最高点的电势能变化量A.B.C.D.Ek = Ep - Ep + 急=(-1 x 10-4 - 4 x 10-5 + 2 x 10-4)J = 6 x 10-5 J【点评】在静电场中运动的电荷它的机械能和电势能之和保持不变，即能量守恒，由此出发分析问题时比较方便。举一反三【变式】如图所示，一个绝缘光滑半圆轨道放在竖直向下的匀强电场中，场强为E，在其上端，一个质量为m，带 电量为+q的小球由静止下滑，则()小球运动过程中机械能守恒小球经过最低点时速度最大小球在最低点对球的压力为(mg + Eq)小球在最低点对球的压力为3(mg + Eq)【答案】(1) 3mg水平向右 (2) AE = -Eqx=9mv24320类型四：在重力场和静电场中的能量转化和守恒例4、如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，且相邻两等势面的电势差相等，一个正电荷在等势面13上时具有动能J时，其动能大小，它运动到等势面U1时，速度为零，令U2=0，那么该点电荷的电势能为是多少(设整个运动过程中只有电场力做功)田 U? %.【答案】BD类型五：带电小球在电场和重力场中的圆周运动例5、(2015宁德市期末考)如图所示，水平向右的匀强电场中，用一根长为l的细线吊着一质量为m，电荷量为q的小球。现将小球拉到与竖直方向成30角后静止释放，已知电场强度=骨，重力加速度为g，求：小球经过最低点时速度的大小;(2)小球经过最低点时对细线拉力的大小;【答案】E = 6x 10-5J小球向左运动到最高点时细线与竖直方向的夹角e为多大【解析】电荷在U3等势面时具有动能J，而在 叭等势面时v=0,所以动能为零，由动能定理得又由于-qU 13 = 0 - Ek =-2 x 10-4J 所以 qU13 = 2 X10-4JU12 = U 23 且匕2 +气3= U13所以U = U = 3。， e所以 qU =K0 = 1x10-4 J。233应八2 (1 一) glT=(3 3)mge=90【解析】(1)小球开始摆动做圆周运动，重力、电场力对小球做正功.由动能【答案】v=T=(3 一定理有:mgl(1 cos30)+EZsin30 =2mv230 /又由于 =U -U且U = 0 所以气=qU2 -qU23 =-1x10-4J解得：v=2 (1一) gl(2)由圆周运动知识，在最低点时，根据牛顿第二定律有:即 Ep3 = 1X10 -4JV2Tmg=mlmg*设电荷在电场中P点时具有的电势能为J,在电荷由等势面运动到p点的过程中应用能量守恒定律得Ep + Ek = Ep3 + Ek3所以电荷在P点的动能为:2 3T=(3 3 )mg(2)物体m停止运动前，它所通过的总路程为多少由牛顿第三定律，小球经对细线拉力广=(3一平)mg(3) 小球向左运动到最高点时，由动能定理有： qEl(sin30+sin3)mgl(cos30cos。)=0 解得：。=90【点评】分清物体受力情况及运动状态，然后运用动能定理求速度，根据牛顿定律就拉力是此类问题常用的思路。类型六：运用力的独立作用原理解决带电物体在复合场中的运动问题A.粒子在B点的速度等于v0B.粒子在B点的速度等于2%C.两极板间的电势差u = 0 q离相等的实线可能是电场线，也可能是等势面以下判断正确的是()例6、如图所示，一个带正电的微粒，电荷量为q，质量为m，以竖直向上的初速度v0在平行板电容器两板正中间 的A点进入场强为E的匀强电场中，正好垂直打到B点，且AC=BC，则()Ev2D.两极板间的电势差U0g【答案】ACD【解析】带电微粒在竖直方向和水平方向上皆做匀变速直线运动，设微粒达到B点经历的时间是t，AC=BC=h，则: 在水平方向上h = 1 v t ；在竖直方向上：h = 1 v t，比较可见：v = v ；又在水平方向上v2 = 2ah，在竖直方2 B2 0B 0B向上：v2 = 2gh，比较得到水平方向上电场力产生的加速度a = g，即罪-=g，而h = V0,整理得u = mv0， 02hm2gq选项AC正确；厂 Ev 2又U = Ex 2h将h代入得到u = i，所以选项D正确。g【点评】根据物体的受力情况，将其所做的运动分解为两个或几个熟悉的、简单的运动求解，是解决问题的技术和 技巧。类型七：静电场场力做功与路径无关例7、一个质量为m、带电量为一q的物体，可以在水平轨道Ox上运动，轨道O端有一与轨道垂直的固定墙。轨道处于匀强电场中，电场强度大小为E，方向沿Ox轴正方向。当物体m以初速度v0从七点沿x轴正方向运动时，【答案】W = Eqx x =蜡捋电 02 f【解析】小物体受到的电场力F = -qE，大小不变，方向指向墙壁；摩擦力的方向总是与小物体运动的方向相反。不管开始时小物体是沿x轴的正方向还是负方向运动，因为f V qE，经多次碰撞后，如果小球处在Ox轴的某点，总会向O点加速运动的，所以小物体最终会静止在O点。在这一过程中，摩擦力所做负功使物体的机械能1 mv2和20电势能qEx变为零。据此可求得总路程s。0(1)滑块从x0到O点电场力做功为W电W电=Eqx0(2)滑块运动过程中摩擦力总与其运动方向相反，对m做负功，而电场力在滑块停在O点时做功仅为Eqx0。设 滑块通过的总路程为x，则根据动能定理得：Eqx - fx = 0 -1 mv2.x =叫 + 2%0202f【点评】(1)本题是电势能与机械功能结合的综合题，属难题，疑难点有二：其一，小物体最后停在何处；其二， 小物体碰多少次无法确定。用动力学、运动学求解好像无从下手。(2)要认识物体的运动过程必须进行受力分析：如小物体运动时所受合力为qE + f 或qE - f，而方向总是指向O点来确定，不论碰墙次数多少，最后总是停于O点。(3) 用动能定理来列方程求路程s特别方便，其关键是理解并能灵活运用静电场力功和滑动摩擦力功的特点。【巩固练习】一、选择题：1、(2016河南模拟)电子只在电场力作用下从a点运动到点的轨迹如图中虚线所示，图中一组平行且距受到轨道大小不变的摩擦力f的作用，且f V Eq，设物体与墙面碰撞时机械能无损失，且电量不变，求:小物体： x 0位置运动至与墙面碰撞时电场力做了多少功A. 无论图中的实线是电场线还是等势面，a点的电势都比b点低B. 无论图中的实线是电场线还是等势面，a点的电场强度都比b点小C. 如果图中的实线是等势面，电子在。点的动能较在b点小D. 如果图中的实线是电场线，电子在。点的动能较在b点小2、如图所示，实线为电场线，虚线为等势面.一个正电荷在等势面L3时，动能为E = 20J；运动到L1时，动能 为心=4J.若以L2为零势面，且不计空气阻力和重力，则当电荷的电势能Ep = 4J时，其动能为（）A、Ek= 10JB、Ek= 16JC、Ek= 4jD、Ek= 8J3、如图所示，带正电的点电荷固定于Q点，电子在库仑力的作用下，做以Q为焦点的椭圆运动.M、P、N为椭圆 上的三个点，P点是椭圆上距离Q点最近的点.电子在从M经P到达N点的过程中（）子（重力不计）从坐标原点O由静止释放，粒子沿x轴运动，电场中P、Q两点的坐标分别为1 mm、4mm。下列 说法正确的是A. 粒子经过P点和Q点时，加速度大小相等、方向相反B. 粒子经过P点与Q点时，电场力做功的功率相等C. 粒子经过P点与Q点时，动能相等D. 粒子在P点的电势能为正值二、解答题：1、（2015宁德市期末考）如图所示的匀强电场中，有a、b、c三点，ab距离为=5cm，bc距离为2= 12cm，其 中ab沿电场方向，bc与电场方向成60角。一个电荷量为=4x10-8 C的正电荷从a点移到b点，电场力做功 为 W.=x10-7 J，求：ab（1） a、b两点的电势差Uab；A、速率先增大后减小B、速率先减小后增大C、电势能先减小后增大D、电势能先增大后减小（2）匀强电场的场强E； 电荷从b点移到c点，电场力做功Wbc4、一带电粒子射入一固定在O点的点电荷的电场中，粒子运动轨迹如图中虚线abc所示，图中实线是同心圆弧，表示电场的等势面.不计重力.可以判断（）A、此粒子一直受到静电排斥力作用B、粒子在b点的电势能一定大于在a点的电势能C、粒子在b点的速度一定大于在a点的速度D、粒子在a点和c点的速度大小一定相等2、如图所示，一个电子以4 x 106m/ s的速度沿与等势面平行的方向从M点进入一个有界的匀强电场，从N点 射出电场时与电场强度方向成150角，试求M、N两点间的电势差U冲（电子质量为m = 9.1 x 10-31 kg ）5、（2015资阳市期末考）有一静电场，其电势随坐标的改变而改变，变化的图线如图所示。若将一带负电的粒3、两块平行金属A、B彼此平行放置，板间距离为d,两板分别带有等量异种电荷，且A板带正电，B板带负电，两板正中间有一带负电的油滴P，当两板水平放置时，油滴恰好平衡，若把两板倾斜 ，如图所示，把油滴从P点静止释放，油滴可以打在金属板上，问：（1）两板倾斜后，油滴将怎样运动打在哪个金属板上（2）油滴打在金属板上时的速率是多少6、在方向水平的匀强电场中，一不可伸长的不导电线细的一端系着一个质量为m的带电小球，另一端固定于O点， 把小球拉起直至细线与场强平行，然后无初速释放.已知小球能摆到最低点的另一侧，线与竖直方向的最大夹角为。（如图所示），求小球经过最低点时细线对小球的拉力.4、（2016唐山校级期末）如图所示，在E = 103V/m的水平向左匀强电场中，有一光滑半圆形绝缘轨道竖直放置， 轨道与一水平绝缘轨道MN连接，半圆轨道所在竖直平面与电场线平行，其半径R = 40cm，一带正电荷q = 10pC 的小滑块质量为m = 40g，与水平轨道间的动摩擦因数=，取g = 10m/s2，求：（1）要小滑块能运动到圆轨道的最高点L，滑块应在水平轨道上离N点多远处释放（2）这样释放的滑块通过P点时对轨道压力是多大（P为半圆轨道中点）7、在电场强度为E的匀强电场中，有一条与电场线平行的直线，如图X11-8中虚线所示.直线上有两个静止的 小球A和B（均可视为质点），两小球的质量均为m，A球带电量为+q，B球不带电.开始时两球相距L，在电场力 的作用下，A球开始沿直线运动，并与B球发生正对碰撞，碰撞中A、B两球的总动能无损失.设每次碰撞后A、 B两球速度互换，碰撞时，A、B两球间无电荷转移，且不考虑重力及两球间的万有引力，不计碰撞时间，问：（1）A球经过多长时间与B球发生第一次碰撞（2）再经过多长时间A球与B球发生第二次碰撞5、如图所示的装置中，平行板电场中有一质量为m，带电量为q的小球，用长L的细线拴住后在电场中处于平衡 位置，此时线与竖直方向的夹角为a，两板间的距离为d，求：（1）小球带何种电荷（2）两板间的电势差是多少（3）把线拉成竖直向下的位置，放平后小球到达平衡位置时的速度为多大解析：(1)设a、b两点的电势差为Uab，有:U - Wa.ab q（2） E djab =1解得：Wbc =X1O-7J2、U =mn解析，(1)两板水平时【答案与解析】一、选择题：1、【答案】D【解析】如果图中的实线是电场线，电子所受的电场力水平向右，电场方向水平向左，则。点的电势比b点 低，从。点运动到b点电场力做正功，动能增大，电子在。点的动能较在b点小，故D正确；电场线的疏密程度 可以表示电场强度的大小，故两点的电场强度相同，故B错误；如果图中的实线是等势面，由于电场线与等势面 垂直，电子所受电场力方向向下，电场方向向上，则肱点的电势都比b点高，从。点运动到b点电场力做负功，动 能减小，电子在。点的动能较在b点大，故A、C错误。2、D解析：设两相邻等势面的电势差为，电荷的电量为q.根据仅在电场力作用下，电荷的电势能与动能之和(E)保 o持不变，有 E Ek3 qU0 Ek + qU0 E + Ep ,从而可得E 1 x (E + E ) - E 8J .所以正确选项为D.K 2 KK 3P3、AC解析：电子从M到P点的过程受到静电引力的作用，电场力做正功，电势能减少动能增加，从P到N点的过程引 力做负功，电势能增加动能减少.所以电势能先减少后增加，选项C正确；电子的动能先增大而后减小，即速率先 增加后减小，选项A正确.4、ABD解析：(1)粒子运动的轨迹说明，粒子进入电场后，由a至b速度减小，由b至c反向速度增加，说明带电粒子受 到电荷电场斥力作用，A选项是正确的.(2) 粒子由a至b受斥力作用，一定是克服电场力做功，或说电场力做负功根据电场力做功特点，粒子的动能转化为势能，Epb 一定大于Epa.所以B选项也是正确的.(3) 根据上面所分析的粒子由a至b动能转化为势能的结论，vb 一定小于v., C选项是错误的.(4) 根据能量守恒定律E. + Epa= 除+ Epa和c同处一等势面，E眈Ep.，所以E& E. .D选项也是 正确的.5、AC解析：沿着电场线方向电势降低，由图知：0-2mm内，电场线沿x轴负方向，粒子所受电场力方向沿x轴正方向； 0-6mm内电场线沿x轴正方向，粒子所受电场力方向沿x轴负方向做减速运动，加速度沿x轴负方向；图像斜率 大小等于场强E，则可知P点场强大于Q点场强，粒子在P点的加速度大于在Q点的加速度，加速度方向相反， 故A错误，粒子经过P点与Q点时，电势相等，则其电势能相等。由能量守恒知动能相等，故C正确。粒子经过 P点与Q点时，速率相等，但电场力不同，根据功率公式P=Fv知，电场力做功功率不等，故B错。在P点，由电势能公式E q甲，因q V 0,9 0，故E Um可知 U mn =-.3、 (1)匀加速直线运动(2) 2gd油滴恰好平衡，mg 冬；倾斜600后，带电油滴受力如图所示，d油滴受到恒定的合力F,其大小等于mg，从静止做匀加速直线运动，加速度大小为g,方向与A板成300角.d(2)由图可见，油滴到达A板的距离是l d，由v2 2al得到油滴达到金属板上的速度是v =(斯 sin 3004、【答案】(1) 20m(2)【解析】(1)滑块刚能通过轨道最高点条件是mg = m,所以 v = （Rg = 2m/sRc 1由能量守恒定律得Eqs R mgS + - mv2 + mg 2 R2m 解之得s=_(2)滑块过P点时，由能量守恒定律得7、t1 =2mLEqt2 = 22mLEqv = %. 2gL(1 一 cos a) / cos a解析:(1)由牛顿第二定律：Eq=ma2 mv 2 + mgR + EqR = 2 mv2 得 v 2 = v 2 + 2 g + -!- J R由牛顿第二定律得N Eq =竺R所以N = 3 (mg + Eq )= 1.5N所以t =12mLEq则 U = mgd tan a / q .(2)设再经t2时间A、B第二次相碰则 XA=XB（3）小球从竖直向下的位置到达平衡位置的过程中，根据动能定理有: qEL sin a = -mgL（1- cos a） = 2 mv2而XA1=at 22x = vtv = at1将 qE = mgtana 代入解得：v = (2gL(1 cos a) / cos a2cos 0、6、侦（3 -房商）mg解析：设带电小球带有正电荷电量为q，如果小球能沿圆孤运动到B点而速度再度变为零，则电场方向应向右，设 场强为E，则在A、B两点间应用动能定理得：2所以t2mLEq=22解析：（1）由小球的受力可知，小球带负电.（2） qE = q = mgtana ,d-q Wg质 Ekb Eka设细线长为 Z 则有：qEl(1+ sin0) + mgl cos0 = 0cos 0qE=房函mg(1)再在A、C两点间应用动能定理得：-qU + W = 1 mv2 - 0a。 gm 2 c(2).,.- qEl + mgl = mv 22 c在C点对带电小球进行受力分析，并由牛顿第二定律得:v 2T mg = ma = m 了2cos 0、 )mg 1 + sin 0把（1）（2）两式代入得: T = mg + 2(-qEl + mgl)/1 = (3 -