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第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B （小学高年级组）一、填空题（每小题10份，共80分）、818411. 计算：57.6 x + 28.8 x -14.4 x 80 +12-=.552【难度】【考点】计算：提取公因数【答案】12：【解析】2. 甲、乙、丙、丁四人共植树60棵.已知，甲植树的棵数是其余三人的二分之一，乙植 树的棵数是其余三人的三分之一，丙植树的棵数是其余三人的四分之一，那么丁植树 棵.【难度】【考点】应用题：分数应用题【答案】13【解析】甲=总数的三分之一=20,乙=总数的四分之一=15,丙=总数的五分之一=12,所以丁=60-20-15-12 = 13 （棵）3. 当时间为5点8分时，钟表面上的时针与分针成 度的角.【难度】【考点】行程：时钟问题【答案】106【解析】5点时，时针分针夹角150度，每分钟追赶6-0.5 = 5.5度，所以8分钟追赶5.5x8 = 44度， 所以成150-44 = 106度4. 某个三位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是 6的倍数，那么这个数最小为.【难度】【考点】数论：余数、最小公倍数【答案】122【解析】这个三位数减去2得到3、4、5、6的公倍数，取三位数120，所以最小值为122.5. 贝塔星球有七个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国.对于一种这样的星球局势，共可以组成 个两两都是友国的三国联盟.【难度】【考点】计数：组合计数【答案】7【解析】用A ,A ,A , A ,A , A ,A这7个点代表七个国家，用虚线连接表示敌国关系，用实线连接表 -12.3, 456 .7示友国关系.则每个国家连出2条虚线，4条实线.共7 x 2 + 2 = 7条虚线，其余为实线.首先说明这7个点必然由7条虚线依次连接为一个闭合回路.A必与两个点连接虚线，不妨记为A ,A，而A必然再与一个点连接虚线，记为A ;2A虚线连接A3，否则寸剩下3个点互为敌国关系； 4A4虚线连接A5，否则剩下两个点无法由2条虚线连接；A5虚线连接A6，最后A只能虚线连接A .最终连线图品下.71只要选出的三个点没有任何两个相邻则满足条件.有135, 136, 146, 246, 247, 257,357，这7种.(为了直观我们用1,2,3,4,5,6,7分别代表A , A , A , A , A , A , A )12345676. 由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656,则这些四位数中最大的是，最小的是.【难度】【考点】数论:位值原理【答案】9421, 1249【解析】设其中最小的四位数为abed，一共可组成4 x 3 x 2 x 1 = 24个不同的四位数，由于每个数字在每位上均出现6次，则24个数和为6x(a + b + e + d)x1111 = 106656,则四个数字之和为16,所以最大和最小的可能为，9421和1249、8521和1258、8431和1348、7621和1267、 7531 和 1357、7432 和 2347、6541 和 1456、6532 和 2356.7.见右图，三角形ABC的面积为1, DO: OB = 1:3, EO: OA = 4:5，则三角形DOE的面 积为.【难度】【考点】几何：等积变形【答案】旦135【解析】设三角形DOE的面积为4x，由比例关系不难得出图中另三块的面积分别为5兀12兀15x ,再设三角形DCE的面积为y ,则有 CE = y = y+4 x+5x, BE 4x +12x12x + 15x 得 y =144 x11则三角形doe411的面积为4 + 5 +12 +15 +些=135 .118. 三个大于1000的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么这3个数之积的末尾3位数字有 种可能数值.【难度】【考点】组合：分类讨论数论综合【答案】4【解析】设三个数的个位分别为a,b,c(1) 如果a,b,e都相等，则只能都为0;(2) 如果a,b,e中有两个相等， a,a,c且a e，则有 e + a = a,a + a = 10 + e，则 a = 5,e = 0 ; 如果a,b,c都不相等，设a b c，则c + b = 10 + a,c + a = 10 + b，则c = 10，与c为数字矛 盾；综上三个数的个位分别为0, 0, 0或0, 5, 5;如果都为0,则乘积末尾3位为000;如果为0, 5, 5 如果个位为0的数，末尾3位都为0,则乘积末尾3位为000； 如果个位为0的数，末尾2位都为0,则乘积末尾3位为500或000； 如果个位为0的数，末尾1位为0设末尾两位为万，设另外两个末尾2位为后,房，则a5 x b5 = 100ab + 50 (a + b )+25，若(a + b)为奇数，则乘积末尾3位为75 ；若(a + b)为偶数则乘积为25,在乘上0，无论c为多少，末尾三位只有000, 250, 500, 750这4种.综 上，积的末尾3位有000, 500, 250, 750这4种可能.二、解答下列各题(每题10分，共40分，要求写出简要过程)9. 将的某两位数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由.【难度】【考点】数论：完全平方数【答案】不能【解析】原数的数字和为1 + 2 + 3 + + 9 +1 + 0 +1 +1 = 48 ,为3的倍数，而交换数字位置不会改变数 字和，所以无论怎么调整得到的数一定为3的倍数；而一个平方数如果为3的倍数，则 一定为9的倍数，而48不是9的倍数，所以无法通过交换数字位置得到一个完全平方 数.10. 如右图所示，从长、宽、高为15, 5, 4的长方体中切走一块长、宽、高为j ,5, x的长 方体(X ,y为整数)，余下部分的体积为120,求x和j .【难度】【考点】几何：长方体正方体【答案】x = 3 , j = 12【解析】解得 xj = 36 ； 36 = 1x 36 = 2 x 18 = 3 x 12 = 4 x 9 = 6 x 6,因为 x，J 为整数，且 x 4, j 15 ,所以 x = 3 , j = 12 .11. 圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同 时回到出发点时，甲跑了 23圈，乙跑了 13圈.不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子 位置追上乙多少次？【难度】【考点】行程问题：环形跑道【答案】5次【解析】设每两面旗子间距离为1,即跑道周长为2015 .因为v甲 :匕=23:13 ,设v甲=23 x , v乙=13x ,甲要追上乙则需比乙多跑n圈，(23x-13x)t = 2015n , 10xxt = 2015n，即甲追上乙时所花时间t =四主，则甲追上乙时，所走路程为23xx蛭=类世n ；要恰好在旗子位置追上，2 x2 x2则所走路程一定为整数，即n为偶数，所以n = 2,4,6,8,10 （最多多跑10圈）；综上所 述，甲正好在旗子位置追上乙5次.12. 两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜，10 平后多得2分者胜,两人的得分总和都是31分，一人赢了第一局并且赢得了比赛，那 么第二局的比分共有多少种可能？【难度】【考点】组合：体育比赛【答案】8【解析】设赢的为甲，输的为乙.甲第一局获胜，如果第二局又胜则直接获胜总分一定比乙多不 符合题意，所以甲第二局输第三局赢.甲第一、三局都赢，则一、三局至少会比乙多得4分，所以乙第二局至少赢甲4分及以 上，所以只能以11分取胜.所以第二局的比分可以为：0:11, 1:11, 2:11 7:11，共8种.（乙在第二局赢了多少分， 甲都可以通过一、三局赢回多少分使两人总分才目同，所以甲在第二局得分从07都可能； 例如三局比分分别为20:18、0:11、11:2） 三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13. 如右图所示，点M是平行四边形ABCD的边CD上的一点，且DM : MC = 1:2，四边形 EBFC为平行四边形，FM与BC交于点G.若三角形FCG的面积与三角形MED的面积之 差为13 cm2,求平行四边形ABCD的面积.【难度】【考点】几何：蝴蝶模型【答案】60【解析】连接BD令S = aFEM则 S = S= 2a, S= 4a14. 设一家之言、言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一四个成语中的每个汉字代表11个 连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数.如 果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则行可以代表的数最大是多少【难度】【考点】组合：最值构造【答案】8【解析】经观察不难发现其中“一”，“言”，“举”，“知”，“行”，各出现两次，其它汉字 只有一次.令这五个汉字所代表的数依次为a,b,c,d,e （均为正整数），设11个连续自然数为G+1）,G+2）, ., G+11），则（x +1） + （x + 2） + （x +11） + a + b + c + d + e = 21 x 4 ，即 11x + a + b + c + d + e = 18，贝x = 0，且a + b + c + d = + 2b 3f 伞 10 日时，e 最大为 8，11 个数 为1到11.可构造出“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”分别为“3，5, 11，2”，“2，10，8，1”，“1，9，7，4”，“4，8，6，3”.综上，“行”可代表的数最大为8.
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