第四章叠加定理、戴维宁定理和诺顿定理

第四章电路定理一. 教授教养根本请求1. 懂得叠加定理的概念，实用前提，圈练运用叠加定理剖析电路.2. 控制戴维宁定理和诺顿定理的概念和运用前提，并能运用定理剖析求解具体电路.二. 教授教养重点与难点1. 教授教养重点：叠加定理.戴维宁定理和诺顿定理.2. 教授教养难点：各电路定理运用的前提.电路定理运用中受控源的.本章;其它章;的接洽：.电路定理是电路理论的主要构成部分，本章介绍的叠加定理.戴维 宁定理和诺顿定理实用于所有线性电路问题的剖析，对于进一步进修后续课程起着主要感化，为求解电路供给了另一类剖析办法.四.学时安插总学时：6教学内容学时1.叠加定理和替代定理22.戴维宁定理.诺顿定理和最大功率传输定理23.特勒根定理.互易定理和习题2五.教授教养内容4.1叠加定理表述为：在线性电路中，任一歧路的电流（或电压）都可以 算作是电路中每一个自力电源单独感化于电路时，在该歧路产生的电流 （或电压）的代数和.图4.1所示电路 运用结点法：（+ %）%=d +乌_ G?电w 1 G3uS3 .危 1 解得结点电位：冬勺+纨Gt + GJG弓=(rai-= (2+G32 52 q+G q+G,以上各式标明：结点电压和各歧路电流均为各自力电源的一次函数, 均可算作各自力电源单独感化时 ，产生的响应之叠加，即暗示为:叫1 =*辎昨W +叼叱3 =+就约）+讪h =址S1 +此就时+方3就S3 =芹+必+1羿=+e2w52 +c3m 53式中a,a,a ,b ,b ,b和c,c,c是与电路构造和电路参数有关的123123123系数.1）叠加定理只实用于线性电路.这是因为线性电路中的电压和电 流都与鼓励（自 力源）呈一次函数关系.2）当一个自力电源单独感化时，其余自力电源都等于零（幻想电压源短路，幻想电流源开路）.如图4.2所示.三个电源配合感化、单独感化+吃单独感化43单独感化3）功率不克不及用叠加定理盘算（因为功率为电压和电流的乘积, 不是自力电源的一次函数）.4）运用叠加定理求电压和电流是代数目的叠加，要特殊留意各代 数目的符号.即留意在各电源单独感化时盘算的电压.电流参考偏向是否 一致，一致时相加，反之相减.5）含受控源（线性）的电路，在运用叠加定理时，受控源不要单独感 化,而应把受控源作为一般元件始终保消失电路中，这是因为受控电压源 的电压和受控电流源的电流受电路的构造和各元件的参数所束缚.6) 叠加的方法是随意率性的，可以一次使一个自力源单独感化，也 可以一次使几个自力源同时感化，方法的选择取决于剖析问题的便利.例4 1求图示电路的电压U.例41图解：运用叠加定理求解.起首 画出分电路图如下图所示当12V电压源感化时，运用分压道理有： 9当3A电流源感化时，运用分流公式得：畔 *3)必如 贝，所求电压：U =例4 2盘算图示电路的电压u .例4 2图解：运用叠加定理求解.起首 画出分电路图如下图所示当 3A 电流源感化时：+=其余电源感化时： 冲=笆口2)3,3) = 2点提习=6舟-=则所求电压：政= )+/)= 9 + S = l斤本例解释：叠加方法是随意率性的，可以一次一个自力源单独感 化,也可以一次几个自力源同时感化，取决于使剖析盘算轻便.例4 3盘算图示电路的电压u电流i .例4 3图解：运用叠加定理求解.起首 画出分电路图如下图所示当 10V 电源感化时：泸=3-扑傩+1)解 得: = 1A(1)=lx + 2i=3i(1) = 6E当5A电源感化时，由左边回路的KVL：护（泸）4洲解得：舟）=廉=-2泸= -2-L） = 2k所 以 ：卜好+必=6 + 2 =职i =，饵+丫小=2+（-1） =L4留意：受控源始终保消失分电路中.例4 4封装好的电路如图，已知下列试验数据：当吟二1匕二项时, 响应i=2A,当吟二-比、二2时，响应i=lA,例4 4图解：依据叠加定理，有： ：二虹+格丹M +Aj 2代入试验数据，得：%-知=1 =1 是七本例给出了研讨鼓励和响应关系的试验办法5. 齐性道理由以上叠加定理可以得到齐性道理.齐性道理表述为：线性电路中，所有鼓励（自力源）都增大（或减小） 同样的倍数,则电路中响应（电压或电流）也增大（或减小）同样的倍数.当 鼓励只有一个时，则响应与鼓励成正比.例45 求图示电路的电流i,已知：R=2Q R=1Q R=1Q u =51VL12S例4 5图解：采取倒推法：设i =1A .则各歧路电流如下图所示,此时电源电压为：= 347依据齐性道理：当电源电压为：财=51矿时，知足关系:4.2替代定理替代定理表述为：对于给定的随意率性一个电路，若某一歧路电压 为u.电流为i,那么这条歧路就可以用一个电压等于u的自力电压源, kkk或者用一个电流等于七的自力电流源，或用R=uk/ik的电阻来替代，替代 后电路中全体电压和电流均保持原有值(解答独一).以上表述可以用图 4.3来暗示.图4.3替代定理u,电流为i,在歧路k串入极性相反,电压值为u的两个电压源如图4.5 kkk所示，则依据等效的思惟，图4.5对外可以等效为图4.6所示的电路，即 电压为*的歧路可以用电压为*的幻想电压源替代.替代定理的准确性可作如下解释：替代前后KCL,KVL关系雷同，其余歧路的u. i关系不变.k歧路用幻想电压源七替代后，其余歧路电压保持不变(KVL)，是以 其余歧路电流也不变，故第k条歧路ik也不变(KCL).同理k歧路用幻想 电流源ik替代后，其余歧路电流不变(KCL),是以其余歧路电压不变，故第 k条歧路七也不变(KVL).1) 从理论上讲，替代定理实用于线性电路，也实用于非线性电路.2) 替代后电路必须有独一解，即替代后不克不及形成电压源回路和电流源节点.3) 替代后其余歧路及参数不克不及转变.例4-6若要使图示电路中的电流广时，试求电阻Rx .例4-6图解：因为& =叽,为防止求解庞杂的方程,运用替代定理，把10V电 压源和3Q电阻串联歧路用电流为I的电流源替代，电路如图(b)所示. 然后运用叠加定理,分电路图如图(c).(d)所示.例4-6图(b)例4-6图(c)例4-6图(d)工 WC7= /X1- /X0.5 = 0 1/= 0 8/z由图得：C7 = - xi 7x1 = -0 075/ = -0 6/r25 S】U =U= (08 -0 6) rx = 0 2心Rx = U= = 0.2Q是以八例4-7求图示电路中的电流I1例4-7图(a)运用替代定理，图(a)简化为图(b)所示的电路，然后运用叠加定理1 6 2+4 6例4-7图(b)4.3gw戴戴维宁定理和诺顿定理戴维宁定理表述为：任何一个线性含源一端口收集，对外电路来说, 总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效替代；此电压源的电压等 于外电路断开时一端口收集端口处的开路电压uoc，而电阻等于一端口的 输入电阻(或等效电阻Req).以上表述可以用图4.7来暗示.图4.7戴维宁定理这里给出戴维宁定理的一般证实.图4.8(a)为线性有源一端口收集 A与负载收集N相连，设负载上电流为i,电压为u.依据替代定理将负载 用幻想电流源i替代，如图4.8(b)所示.替代后不影响A中遍地的电压和电流.由叠加定理u可以分为两部 分，如图4.9所示，即：说二”+必个中M是A内所有自力源配合感化时在 端口产生的开路电压，”是仅由电流源i感化在端口产生的电压，即： 二%,探=一是以直=必+/二电-知上式暗示的电路模子如图4.10所示.这就证清楚明了戴维宁定理是准确的.b3. 运用戴维宁定理要留意的问题1) 含源一端口收集所接的外电路可所以随意率性的线性或非线性电 路，外电路产生转变时，含源一端口收集的等效电路不变.2）当含源一端口收集内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包 含在被化简的统一部分电路中.3）开 路 电 压 u 的 盘 算 oc戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压uoc, 电压源偏向与所求开路电压偏向有关.盘算uoc的办法视电路情势选择前 面学过的随意率性办法，使易于盘算.4）等 效 电 阻 的 盘 算等效电阻为将一端口收集内部自力电源全体置零（电压源短路，电流 源开路）后，所得无源一端口收集的输入电阻.经常运用下列三种办法盘算：5）当收集内部不含有受控源时可采取电阻串并联和一 Y交换的办 法盘算等效电阻；6）外加电源法（加电压求电流或加电流求电压）.如图4.11所示.图4.11用外加电源法求戴维宁等效电阻则帽7）开路电压，短路电流法.即求得收集A端口间的开路电压后，将端口 短路求得短路电流，如图4.12所示.n硅率则： 强以上办法中后两种办法更具有一般性.例4-10 盘算图示电路中Rx分离为1.2Q.5.2Q时的电流I ;例 4-10 图（a）解：断开Rx歧路，如图(b)所示，将其余一端口收集化为戴维宁等效电 路：例 4-10 图（b） 例 4-10 图（c）1) 求开路电压Uoc门 r7 z 1Qx4 10 x6 工= U, + CT, = += 4 +6 = 2V如 l 4+64 + 62) 求等效电阻孔.把电压源短路，电路为纯电阻电路，运用电阻串.并 联公式，得:7? = 4/6 + 4r/6 = 48Q3) 画出等效电路，接上待求歧路如图(d)所示,例 4-10 图（d）Rx=1.2QI%-AR 4S+12 3 己q 上Rx二5.2。U22：:0 M例4-11盘算图示电路中的电压U。;例 4-11 图（a）解：运用戴维宁定理.断开3。电阻歧路，如图(b)所示，将其余一端口收 集化为戴维宁等效电路：1) 求开路电压Uoc7 =67+37 = 97 = 9x5/9 = 9K2) 求等效电阻Req办法1：外加电压源如图(c)所示，求端口电压U和电流I0的比值.留意 此时电路中的自力电源要置零.t7=6Z + V = 9Z因为：2R此=6Q所以冬%办法2：求开路电压和短路电流的比值.把电路断口短路如图(d)所示.留意此时电路中的自力电源要保存.对图(d)电路右边的网孔运用KVL,有:67+37 = 0所以 I =0 ,乌匚= 9/6 = 15/1U 9反花= d = =6Q 则咬农153) 画出等效电路，如图(e)所示,解得:例 4-11 图（b）例 4-11 图（c）例 4-11 图(d)例 4-11 图(e)留意：盘算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法照样开路.短路法,要具体问题具体剖析，以盘算轻便为好.例4-12 求图示电路中负载Rl消费的功率.例 4-12 图(a)解：运用戴维宁定理.断开电阻RL地点歧路，如图(b)所示，将其余一 端口收集化为戴维宁等效电路.起首运用电源等效变换将图(b)变成图 (c).例 4-12 图（b）例 4-12 图（c）1) 求开路电压U由 KVL 得：10011+20011+10031=40 解得：卒0 1，=100=102) 求等效电阻Req，用开路电压.短路电流法.端口短路，电路如图(d)所示,短路电流为:40/100 = 0445014例 4-12 图(d)3) 画出戴维宁等效电路，接上待求歧路如图(e)所示，则:l 25 +530PL =5* =5x4 = 20son4（*vO+例 4-12 图（e）例4-13电路如图所示，已知开关S扳向1,电流表读数为2A;开关S扳向2,电压表读数为4V;求开关S扳向3后，电压u等于若干？例 4-13 图（a）解：依据戴维宁定理，由已知前提得盘二20 心所以虬等效电路如图（b）所示，例 4-13 图（b）贝|J： 0 = 0+5*1+4 = 18诺顿定理表述为：任何一个含源线性一端口电路,对外电路来说，可 以用一个电流源和电导（电阻）的并联组合来等效置换；电流源的电流等 于该一端口的短路电流，而电导（电阻）等于把该一端口的全体自力电源 置零后的输入电导（电阻）.以上表述可以用图4.13来暗示.图4.13诺顿定理诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到.诺顿等效电 路可采取与戴维宁定理相似的办法证实.须要留意的是：（1）当含源一端口收集A的等效电阻丘判二。时,该收集只有戴维宁 等效电路,而无诺顿等效电路.(2 )当含源一端口收集A的等效电阻五点二00时,该收集只有诺顿等 效电路而无戴维宁等效电路.6. 诺顿定理的运用例4-14 运用诺顿定理求图示电路中的电流I .例 4-14 图（a）解： 求短路电流Isc，把ab端短路，电路如图(b)所示,解得:1224 +12A = = 6A A = 36 A12210所以：，立二-+弓)a 100ifM i 一此 2ft 024V搭U +例 4-14 图（b）(2) 求等效电阻Req，把自力电源置零，电路如图(c)所示.解得： = 10/2 = 167Q(3) 画出诺顿等效电路，接上待求歧路如图(d)所示,运用分流公式 得：z_-96xl67一 4 十 167留意：诺顿等效电路中电流源的偏向.例 4-14 图(c)例 4-14 图(d)例4-15求图示电路中的电压U .例 4-15 图（a）解：本题用诺顿定理求比较便利.因a.b处的短路电流比开路电压轻易求.例 4-15 图（b）例 4-15 图（c）241243x- +求短路电流七,把ab端短路，电路如图(b)所示,解得: =X +x= 3 A* 6/Z6+3 2 3/Z6+6 3+6求等效电阻Req,把自力电源置零，电路如图(c)所示，为简略并联电路.=6/3+6/3/r6+6=4Q（3）画出诺顿等效电路,接上待求歧路如图(d)所示，得：。二(3+访4二1即例 4-15 图（d）4.4 最大功率传输定理大 功 率 传 输 定 理一个含源线性一端口电路，当所接负载不合时，一端口电路传输给负 载的功率就不合，评论辩论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大 功率的值是若干的问题就是最大功率传输定理所要表述的.将含源一端口电路等效成戴维宁电源模子，如图4.14所示.图4.14等效电压源接负载电路由图可知电源传给负载的功率为：虬+功功率P随负载Rl变更的曲线如图4.15所示，消失一极大值点.为了 找这一极大值点，对P求导,且令导数为零，即：解上式得：玦结论：有源线性一端口电路传输给负载的最大功率前提是：负载电 阻Rl等于一端口电路的等效内阻.称这一前提为最大功率匹配前提.将这P =4一前提代入功率表达式中，得负载获取的最大功率为：或4%须 要 留 意 的 是：1）最大功率传输定理用于一端口电路给定，负载电阻可调的情形：2）一端口等效电阻消费的功率一般其实不等于端口内部消费的功率，是以当负载获取最大功率时，电路的传输效力其实不一定是 50%;3）盘算最大功率问题联合运用戴维宁定理或诺顿定理最便利.2. 最大功率传输定理的运用例4-16 图示电路中负载电阻Rl为何值时其上获得最大功率，并求最 大功率.例 4-16 图（a）解：运用戴维宁定理.断开电阻Rl地点歧路，如图(b)所示，将一端口 收集化为戴维宁等效电路.例 4-16 图(b)图(c)1)求 开因例 4-16路为解 得 ： A】二鑫二U6034x20=2x10+2072+10 = 60E2) 求等效电阻Rq,用外加电源法.电路如图(c)所示.E7 = 107 + 20x7/2 = 20/所以：电与或3）由最大功率传输定理得：&二处二2。口时，其上获取最大功率,4.5特勒根定理特勒根定理1表述为：任何时刻,对于一个具有n个结点和b条歧 路的集总电路，在歧路电流和电压取接洽关系参考偏向下,知足:成=o .t-1对图4.16所示电路的图运用KCL,得结点，的电流方程为:b工芝糖止=为上+为+诳is而7把上式中的歧路电压用结点电压暗示有:A22咬WHi +2 +&)+电乂一京 也 +崩)+ 电-if)或写为:fc-1 式中括号内的电流之和分离为结点，,的电流方程，是以得: 2X4 二。*-13.特勒根定理2特勒根定理2表述为：任何时刻,对于两个具有n个结点和b条歧 路的集总电路，当它们具有雷同的图,但由内容不合的歧路构成,在歧路 电流和电压取接洽关系参考偏向下，知足：二赢=。22赢& =*-1.t-1图 4.17 (a)图 4.17 (b)设两个电路的图如图4.17所示，对图(b)运用KCL得三个结点方程为:.iL + z2 4-= 0._ +i5= Q+ij = 0=ih + 站 +/把上式中的歧路电压用图(a)的结点电压暗示有:b愁2边=一电1 +X1 一电*2 +地打3 +3问-电1：庭+电成+(2 一侦总fc-1b岫更+2 +如)+改“一n +is +ij + %(h +ij q或写为:fc-1式中括号内的电流之和分离为图(b)中结点，,的电流方程，是以 得:同理可证：75.运用特勒根定理要留意的问题1) 定理的准确性与元件的特点全然无关，是以特勒根定理对任何线性.非线性.时不变.时变元件的集总电路都实用.定理本质上是功率守恒 的数学表达.2) 电路中的歧路电压必须知足KVL ,歧路电流必须知足KCL ,歧路 电压和歧路电流必须知足接洽关系参考偏向(不然公式中加负号).6.特勒根定理的运用例4-17图示电路中已知：(1) R=R=2Q,Us=8V 时，I=2A ,U =2V ,1212(2) R=1.4Q, R=0.8Q , U =9V 时，I =3A,12s1求此时的U2 .例 4-17解：把(1).(2)两种情形算作是构造雷同，参数不合的两个电路,运用特 勒根定理有：%耳(方) =由(1)得：U=4V, I=2A, U=2V, I=U /R=1A112222由(2)得：Xi=9-3xl4 = 48VnIi =3 A, I2 =Uz2 = (5/4) 5 2代入公式中得：-4x3+2x1.252 =8x2+r2xl解得：金=2 4/L5 = L6M留意：端口电压和电流取接洽关系参考偏向.式中因为U1和I1为 非接洽关系偏向所以取负号.4.6互易定理互易定理表述为：对一个仅含电阻的二端口电路Nr，个中一个端口 加鼓励源，一个端口作响应端口,在只有一个鼓励源的情形下，当鼓励与 响应交换地位时，统一鼓励所产生的响应雷同.互易定理有三种情形：1)情形1对图4.18所示电路取鼓励为电压源,响应为短路电流，则知足:%1 别当七二皿对日寸，有：二弓2) 情形2 对图4.19所示电路取鼓励为电流源,响应为开路电压，则知足：ii i/1.孰= liyl r J顷 lS2当项-lS2时，有：的此3) 情形3 对图4.20所示电路取图(a)鼓励为电流源，响应为短路电流，取图(b)鼓励为电压源，响应为开路电压，则知足： 弓 1US1，弓-:以日J.1当在数值上知足妇=也时，有：约二弓2.互易定理的证实以情形1为例证实互易定理.运用特勒根定理2 :和斟酌到图示电路方框内仅为线性电阻，故标总血0k3,4，b.是以有：bfc-1JLi * =噩 1 1 +2n。nJTk.fKbm爵 +1处 ,t =Ui J. 1 + l2 11 +2 R展史 i.t =。立 7A-3和7fX.JX.=J/1 4 +2 JkfKrt_。JXi2 + Z队上& = i弓+业以2 +7R咨氐ik =0 ft-3A-J故有 :m . 八 .+MjZ3 =M1 Zj +2对图4.18(a)口i 二款si巧二 ，对图(b)鬲二。 ，郊二*以 ，叱 _或 w 511 =代入上式得 ：同理可以证实情形2 和情形3.3运用互易定理要留意的问题1）互易前后应保持收集的拓扑构造不变，仅幻想电源搬移；2）互易前后端口处的鼓励和响应的极性保持一致（要么都接洽关 系，要 么 都 非 接 洽 关 系）;3）互易定理只实用于线性电阻收集在单一电源鼓励下，两个歧路 电 压电 流 关 系.4）含有受控源的收集，互易定理一般不成立.4.互易定理的运用例4-19 求图示电路中的电流I .例 4 19 图（a）解：运用互易定理，把鼓励和响应交换得电路图如图（b）所示.例 4 19 图（b）7 = 2+4/2 4-1/28=2A运 用 分 流21+2 3垃二2+4 3所以: