第三章 代数式

第3章代数式本章导读学习目标学习目标双向细目表了解理解掌握应用1.代数式、代数式的值的概念与意义V2.用代数式表示简单问题的数量关系V3.解释一些简单代数式的实际背景或儿何意义V4.单、多项式及系数、次数与项数等相关概念V5.运用合并同类项、去括号法则进行化简V6.求代数式的值V7 .根据代数式的值推断有关问题反映的规律知识树第3章代救式3.1字母表示数学习目标学习日标了解理解掌握应用1.在现实情境中字母表示数的意义V2.用字母表示一些简单问题中的数量关系和变化规律V3.初步了解从具体到抽象的不完全归纳法V1. 请用字母写出路程、速度（平均速度）、时间的关系公式2. 张强比王华大3岁.当张强8岁时，王华的年龄是 岁；当张强a岁时，王华的年龄是 岁.想一想小明今天上午在校园内捡到一个钱包，钱包内有人民币若干元，请失主到德育处认领。问：这里为什么要用若干元，而不写清具体的数目，可不可以用一个字母来表示？如果可以，那么这个字母将表示什么意义？填一填你能迅速解决下列问题吗？然后说出你的方法。用同样大小的正方形纸片，按以下方式拼大正方形。第一个图形有1个小正方形;第二个图形有（） 第四个图形有（）个小正方形个小正方形议一议（1）第n个图形有儿个小正方形？（2）第2个图形比第1个多儿个小正方形？（3）第3个图形比第2个多儿个小正方形？（4 ）第n个图形比第n T个多儿个小正方形？第三个图形有（）个小正方形;I典例训练I1 （1）现在有3位同学，每两个人需要握一次手，则一共需要握 次（2）如果现在有4位同学，每两个人需要握一次手，则一共需要握 次手,（3）如果有5位同学，每两个人需要握一次手，则一共需要握 次手，（4）如果有n个同学，每两个人需要握一次手，则一共需要握 次手。2用字母表示数（1）比a小1的数： （2）比a大7的数： （3）减去a的差是6的数3观察月历涂色方框中的四个数有什么关系？（1）我圈出四个数，丢了三个，看日历，你能说 出另外三个吗？变一下，你再说一下试试。（2）你发现这四个日期有什么联系吗？（3）你能想办法简明地表示这四个日期之间的关 系吗？达标测诫1. （ 2009株洲）孔明同学买铅笔m支，每支0.4元，买练习本n本，每本2元.那么他买铅笔和练习本一共花了 元.2. （2009邵阳） 受甲型H1N1流感的影响，猪肉价格下降了 30%,设原来猪肉价格为a元/千克，则现在的猪肉价格为 元/千克。3. 三个连续的整数中，n是中间的一个，则另外两个数为, .4. （2009云南）一筐苹果总重x千克，筐本身重2千克，若将苹果平均分成5份，则每份重 千克.5. 某城市5年前人均年收入为n元，预计今年人均年收入是5年前的2倍多500元，那么今年人均年收入将达 元；6. 小明在电脑上每分钟录入汉字50个，小明的妈妈每分钟录入汉字40个，如果要录入x个汉字，那么小明比妈妈少用 min；7. （2009年长春）用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始, 每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n个图案中正三角形的个 数为（用含n的代数式表示）.第一个图案x X第二个图案vvX 第三个图案（第7题）3.2代数式学习目标学习目标1. 代数式，单项式，单项式的系数、次数，多项式，多项式的项、次数，整式的概念2. 用代数式表示简单问题的数量关系J3. 解释一些简单代数式的实际背景或儿何背景V问题导学I1. 我们在前面学习了用字母表示数，你能完成下面的问题吗？(1) 钢笔每支2元，铅笔每支0. 5元，n支钢笔和m支铅笔共 元；(2) 个长方形的长是a m,宽是长的一半，这个长方形的宽是 m ,面积是0(3) 如图，环形花坛铺草坪，需要草皮 in：(4) 某农场有亩产a千克的水稻m亩，亩产b千克的水稻n亩, 这个农场水稻的平均亩产为 千克；2. 预习书本P69-P71的内容，完成下面的填空：(1) .像ja, x2, abc,R2 7rr2 , n什5 , x2 - 3x+l, b+a 等用运算符号把连接而成的式子叫代数式.(2) .观察打，%, x2, abc,它们都是 与 的乘积，这样的代数式叫单项式，叫做它的系数，叫做它的次数.(3) .观察/TP?兀了2 , 1什5 , x2 - 3x+l, b+a,它们都是 的和，这样的代数式叫多项式，叫做它的项，叫做它的次数.(4) .和 统称为整式.典例训练1. (1)某超市8月份营业额为m万元，9月份营业额比8月份增加了该超市9月份营业额为多少万元？(2) 如右图，直角三角形三边的长分别为acm、bcm、5cm,它的面积是多少？斜边上的高是多少？K(3) 林老师用分期付款的方法购买汽车：首期付款a元，以后每月 付款1500元，直至付清欠款.x月后，林老师共付款多少元？2 (1)指出下列单项式的系数和次数单项式8x-2a2bc2xy3t25 vt7IxloVy系数次数(2)指出下列多项式的项和次数，并说出是儿次儿项式x3 -4x3 +5x-6 , 5a-3a2b + a2b2, 3y2z-4ypy + 2n2 - 2nm+l5达标测诫L下列各式中哪些是代数式？哪些是单项式？哪些是多项式?(l)m+5 ；(2)a+b=b+a ；(3)0：(4)r；(5)x+yl ；(6)abc(7) r-3x+4 ； (8住；(9)m2. 3ab2c3的系数是_是.，次数是3a2b4的系数是，次数3. x-3y+!是_个式，表示、和的和，它的每一项的系数分别为、,它的次数是.4 .填空：(1) 圆的半径为rem,它的面积为 cm2；(2) (2010浙江)用代数式表示“a、b两数的平方和”，结果为.(3) 某机关原有工作人员m人，现精简机构，减少20%的工作人员，贝侑人被精简；(4) 连续三个整数，中间一个是n,则第一个和第三个整数分别是、；(5) 连续三个偶数，中间一个是2n,则第一个和第三个偶数分别是、;(6) 某市出租车收费标准为：起步价10元，3千米后每千米价1.8元.则某人乘坐出租车x(x3)千米的付费为 元；5. (2010广东)观察下列单项式:a, -2a2, 4a3, -8a4, 16a5,按此规律第n个单项 式是. (n是正整数)6. (2010贵州)写出含有字母x、y的五次单项式 (只要求写出一个).3.3代数式的值(第一课时)学习目标学习目标了解理解掌握应用1.代数式的值的意义；计算代数式的值V2.计算代数式值的过程中感悟整体代入思想3.感受“从具体到抽象”的归纳思想方法问题导学1. 一根弹簧长12cm,挂1克的物体，弹簧伸长0.5cm,贝U(1) 挂x克物体，弹簧的长度是多少？ (2) 计算挂10克物体时，弹簧的长度是多少？ 2. 摆放餐桌和椅子问题：(1) 1张餐桌可坐6人，2张餐桌可 人。(2) 按照上图的方式继续排列餐桌，完成下表：桌子张数3456可坐人数(3)探索餐桌张数n与可坐人数w之间的关系。(4) 15张餐桌这样排，可坐多少人？想一想如图，用火柴棒按以下方式搭小鱼:(1) 搭1条、2条、3条小鱼各用儿根火柴棒?(2) 搭n条小鱼用多少根火柴棒？(3) 搭20条这样的小鱼用多少根火柴棒？(4) 搭50条这样的小鱼需要火柴棒的根数.搭100条呢?|典例训练|1 .根据所给的a、b值，求代数式2a2-3ab+b2的值:(1) 当 a = 2,b = 3时，(2)当 a = L,b = 122 (2010 宿迁)若2a b = 2,求6 + 8a 4b 的值|拓展提升|“ a-b 2(a-b) a +b _1. 已知一=2,求一一的值.a + b a +b 2(a-b)达标测调1 21（2006苏州）若X=2,则X，的值是82 （2010 常州）若实数 a 满足 a2-2a 4-1=0,则 2a?4a + 5=3 （2009 江苏）若3a2-a-2 = 0,贝054-2a-6a2 =.4. 根据所给a、b的值，求代数式a2b-ab2-6的值：(1) a=3,b=1；5. 已知a为3的倒数，b为最小的正整数，求代数式3a?-2ab+l的值.6.在图示的运算流程中，若输出的数y=8,则输入的数x=3.3代数式的值(第二课时)学习目标学习目标了解理解掌握应用1体会代数式求值可以理解成一个转换过程或某种程序V2.能读憧计算程序图按照规定的程序计算代数式的值V3.计算代数式的值的过程中，感受数量的变化及其联系V问题导学1. 当x=3,y = -时，求下列代数式的值：2 2X3 - 4 刈2 +4y ；(2) x2 + 4 岑.2. 已知a+b=3,求代数式(a+b) 2+a+6+b的值.典例训练下面是一组数值转换机，先写出图3-2的输出结果，再写出图3-3的运算过程。根据上面的条件填写下表：入输入-2_ 1200. 261.3524.5图3-2的输出图3-3的输出拓展提升1. （1）（2008扬州）按如图所示的程序 计算，若开始输入的X的值为48,我们发 现第一次得到的结果为24,第2次得到的 结果为12,，请你探索第2009次得到的结果为多少?小颖按如图所示的程序输入一个正数X,最 后输出的结果为656,则满足条件的x的不同值最多有儿个?I达标测试I1. （2011连云港）如图，是一个数值转换机.若输入数3,则输出数是 ./ 入数+ （）2-1 （尸+ 1 A / 出数 /2. （2010云南楚雄）根据图中的程序，当输入x=2时，输出结果尸=3.4合并同类项(第一课时)学习目标学习目标了解理解掌握应用1.同类项概念2.合并同类项法则；进行同类项的合并V3.经历从数的运算过渡到整式运算的过程，体验“类比思 想*整体思想”VI问题导学I1. 当a 二 3时，代数式a?的值为.2. 已知a-b = -l,则代数式3(a-b)2-b + a的值是.3. 周末，小明一人去买早点，爸爸、妈妈、小明各自选了他们要吃的东西,爸爸2根油条1碗粥1杯豆浆妈妈1根油条1碗粥1杯豆浆小明1根油条1碗粥1杯豆浆小明来到早餐店，应该怎样购买？说说你的依据。4. 多项式 “3x2y-4xy2-3 + 5x2y + 2xy2+5”的项有，把具有相同特征的项归为一类：3x2y与； -4xy2与； - 3与5 .你认为它们有什 么共同特点？所含 相同，并且 也相同的项是同类项.5. 判断下列各组是否为同类项.(请说明理由) 3ac 和- abc() 一 2x?y和4xk 8111、和 innr305和9) ab 和-5a%)3和8x总结：(1)儿个单项式是同类项，必须同时具备两个条件： (2) 同类项与系数,与字母的排列顺序，儿个常数项也是同类项.6 .合并同类项法则把下列各式中的同类项合并成一项，并说明你的理由.(l) 7a-3a =:(2)4：+2/=；(3) 5ab? ab2 13ab2=；(4)9x2y3 + 5x?y=.根据 把同类项合并成一项叫做.合并同类项法则：I典例训麹L合并同类项：(2)a23ab + 5_ a23ab 7.(1) 3x+2y 5x 7y；拓展提升1. (2010湖南)在2, -2刈2, 3x3，-XY四个代数式中，找出两个同类项，并合并这两个同类项.达标测诫1.下列各组中，不是同类项的一组是B.13xy 和 20yxD. X“yn+1 和 yn+1xnA. 0.3ab2 和 0.7a+C.L 和一13242. (2010吉林)若单项式3X?1与-2x侦是同类项，则m+m3. (2011泰州)多项式 与m? +m - 2的和是nF - 2m。4. 合并同类项：(1)15x+4x 10x；(2)3 + 2iCy+ 3 xy2xyr ；(3)3a22a+4a2 7a；(4)3x22x+lx2 + 5x6.O105. 合并同类项：3(m-n)- - 2(ni + n)- (m-n) +(m + n)3.4合并同类项（第二课时）学习目标学习目标了解理解掌握应用1.加深对同类项的理解V2.利用合并同类项求复杂代数式的值V3.整体的数学思想方法V问题导孚1 .如果3a %3与- 4a b是同类项，那m + n =；（2010湖南）若3x0与xV的和是单项式,则mJ2.选一选下列结果运算正确的是()A、4 + 5xy=9xyB、6ab - a = 6bC、5a3 4-5a7 =10a10D、9x2y-9yx2 = 0(2)多项式m + m + m-n2 -n2-1投合并同类项后是（）A、m2B、3inC、3m-n4D、3m- 3n23.合并同类项：2x2 - x-4 + 3x-4x24 .有这样一道题：当x = -2007y= 2008时，求多项式7X3 - 6X3y + 3x2y + 3X3 + 6X3y- 3x2y-1 Ox3的值.”有一位同学看到题就怕算了，这么 大的数怎么算啊？真的有这么难吗？你能帮他解决这个问题吗？由此我们可以知道：在求代数式的值时,如果代数式中含有同类项，通常先,再典例训练1合并多项式5m3 - 3nrn - m3 + 2nnr - 7 + 2m3中的同类项.2 求代数式 2x3 - 5x2 + x3 4- 9x2 - 3x3 - 2 的值，其中 x =.2拓展提升1如果关于X的多项式-2x2+11侦+11 - 5x-l的值与X的值无关，求m、n的值.达标测诫1. 若3浩与一5：寸是同类项，则m3+2n=.2. 若 a=3t, b=4t, c=5t（毋0）,则 2a+b-c 等于（）A.5B.3tC.5tD.5abc3. 先合并同类项，再求值.（l）a2b- 6ab -3a2b + 5ab + 2a，b,其中a = -3,b =-:3 5x?y2 + xy- 2x?y2 - yy- 3x2y2,其中 x = l,y = -1；46（3 已矢口 a 2 +（2b 2） = 0 ,求5（a + b） +4（a+b） 10（a+b） （a b）的值.4. 如果多项式x2 + my-12与多项式nx2 -3y + 6的和中不含有x、y项,试求m、n的值.3.5去括号学习目标学习目标了解理解掌握应用1.掌握去括号的法则V2.运用去括号法则化简代数式V3.转换思想和整体思想VI问题导学I1. 合并同类项：Q)-5x2y + 6顽-7xy2 +2x2y + l =；(2) - 8am+1-5am+l 2am+1 + 6am + am+1 =；(3) |(x+y)2 +|(x-y)2 -(x+y)2 -|(x-y)2 =53242. 先化简、再求值：x3 - 3x2y + 3xy2 - y3 + 3x2y- 3xy2,其中 x = -l,y = -3.3 .填写下表abca + (-b + c)a-b + ca - (-b + c)a + b - cs2-1-6-43 9.5-5-7你发现了什么？去括号法则：(1) 括号前面是“+号，.(2) 括号前面是“一“号，|典例训练I1先去括号，再合并同类项：(1) a+ (b+c d)；(2)5a (2a 4b)；(3) 2x + 3(2xX，).2先化简，再求值5X 2x-x- (x2 - x3) 2 + 2,其中 x = -1. -3x-2(2x-3)-4x2,其中x= 2.达标测试I1 .下列去括号正确吗？如有错误，请改正.-(-a-b) = a -b;()(2)5x-(2x-l)-x2 = 5x- 2x+l + x2；()(3)113y-(y-y) = 3xy-xy + y；22()(a3 +b3)-3(2a3 - 3b3) = a3 +b3 - 6a3 +9b3.()2. (2009江西)化简2a+(2a-l)的结果是()A. 4a 1B. 4a 1C. 1 D. 13. 一x- (2y-3z)去括号应得()(A)x+2y3z(B)x2y+3z(C)x2y3z(D)x+2y+3z4. 先去括号，再合并同类项：(1) a + (3b 2a) =；(2) (x + 2y)-(-2x-y)=:(3) (a3 +a2 -a+l)-(a2 -a+l)-(a3 +a2 -1) =；(4) x-x-(-y)-i =.225. 先化简，再求值.(1) a 2(2a + b) + 3(a b),其中 a = 3,b = 2 ；3.6整式的加减学习目标学习目标了解理解掌握应用1.掌握添括号法则42.熟练地进行整式的加减运算43.整体思想V问题导学1 .先去括号，再合并同类项) 1 (1) (x- 2y)- (y- 3x):(2) 3a - 5a -(一 a-3) + 2a + 4.22. 先化简，再求值(1) 7a-23a2+(2 + 3a-a2),其中 a = -l(2) (2x2y-2xy2)-(3x2y2 +3x2y) + (3x2y2 一冷?),其中x = Ly= 2.3. 根据去括号法则，a +(-b + c) = a-b + c , a - (-b + c) = a+b - c ,如果把等式反过来即可得到：a -b + c = a + (-b + c) , a +b - c = a - (-b + c)。添括号法则：(1) 所添括号前面是号，扩到括号里各项的符号都(2) 所添括号前面是“一”号，扩到括号里各项的符号都,(2)abc+d=a(4)ab+cd=(试一试：(1) a-b+c-d=a+()(3) ab+cd=a.b+()(5) x3 -+32 - y3 =妒+( (6)2-妒 +2 冷一 y? = 2-(典例训练1 求 2a，4a+l与3a?+2a 5 的差.2 先化简，再求值：5(3a 2b - a b3) - 4(- a b2 + 3a 2b),其中 a = 2,b = 3.|拓展提升|1 已知：x- y = 2,xy= -3,求代数式(2x + 3y- 2xy)一(x + 4y + xy)一 (3xy + 2y- 2x).达标测试I1. (2009陕西)已知一个多项式与3妒+9乂的和等于3x2+4x-1,则这个多项式是()A. -5x-l B. 5x + lC. -13x-lD. 13x + l2. 计算: 3(a 2 a 1) 一(5a 2 + 6a 8) ；(2) (8mn 3m2) 一 5nin 2(3nm- 2nr ).3. 将多项式7x2-3+5y2-3x+4xz+l的二次项放在前面带有“+”号的括号里，其余 项放在前面带有号的括号里。4. 先化简，再求值：3y2 -x2 +(2x-y)-(x2 +3y2),其中 x = l,y = -2.7i5. 求代数式(a - b)2n - 2(b - a)2111 - (b - a)2n - - (a - b)21 的值,其中 a-b = -l,n3 2为正整数.第3章代数式复习课学习目标学习目标了解理解掌握应用1.代数式、代数式的值的概念与意义5/2.用代数式表示简单问题的数量关系V3.解释一些简单代数式的实际背景或儿何意义V4.单、多项式及系数、次数与项数等相关概念V5.运用合并同类项、去括号法则进行化简V6.求代数式的值V7 .根据代数式的值推断有关问题反映的规律I典例训练I例1、(1) (2010黄冈)通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机市话费标准按原标准 每分钟降低a元后，再次下调了 20%,现在收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟 是 元.(2) (2010贵州)某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行 发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，.按此规律, 那么请你推测第n组应该有种子数是 粒。(3 )表示“x与一4的和的3倍”的代数式为 。例2、(1)单项式的次数是，系数是.(2) (2010广东)多项式1+xy-xy2是 次 项式，次数是。(3) 去括号(a+2b) -(2ab+3c)=(4) 不改变多项式-7x?+3y2-4y + 2x的值，把含x的项放在前面带“+”号的括 号内，把含y的项也放在前面带“一”号的括号内，得.例3.合并同类项：(1) 2(a + 2b) + (3a b) (3a 2b +1) (2) 2x 23x 2(x + 2x 1) 4例4、若x2y-与3xy是同类项，你能求出2(m2+mn1) (n2+m)的值吗?例 5、(1)先化简，再求值：4xy (x2+5xyy2) (x2+3xy2y2), 3其中 x= b y=-o(2)若m2 + 3n-l的值为5,求代数式l-2m2-6n的值。例6.当x=i时，代数式ax +bx+4的值是5,当x二T时，代数式ax +bx+4 的值是多少？例7、已知m、n互为相反数，a、b互为倒数，且m、n均不为0, x的绝对值等于3, 求 ab(m4-11)- + 5x2 的值.11