2021学年高中数学几何变换与矩阵2.6矩阵的简单应用章末分层突破学案苏教版选修4-2

2016-2017学年高中数学几何变换与矩阵2.6矩阵的简单应用章末分层突破学案苏教版选修4-22.6 矩阵的简单应用章末分层突破转化与化归的思想一个矩阵是一张由数据(或字母)排列成的表，它能把原本纷繁复杂的事物或数学对象的数学规律简单明了地表示出来，使人一目了然.同时，对矩阵施行某些运算，可以使我们看清事物之间或对象之间蕴涵的数学规律.本章中广泛应用转化与化归思想，把实际问题转化为矩阵问题，然后通过矩阵变换加以解决.某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和出现绿灯的概率都是.从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是.问：(1)第二次闭合后出现红灯的概率是多少？(2)开关闭合10次时，出现绿灯的概率是多少？ 【导学号：30650061】【解】(1)从第二次开关闭合后，红绿灯变化的概率情况如图所示：根据图写出红绿灯变化的转移矩阵，即M.第一次闭合开关后出现红灯和绿灯的概率可表示为向量，第二次开关闭合后，有M，第二次开关闭合后出现红灯的概率为.(2)由f()20，解得11，2.把1，2代入特征方程求出对应的特征向量分别为1，2，令m 1n 2，即mn，解得所以有M919.所以开关闭合10次时，出现绿灯的概率约为.章末综合检测(六)1.某车间有甲、乙两台机床，可用于生产三种工件，假定全年的产量见下表(单位：件)：工件1工件2工件3甲800600300乙200300600又已知工件1、工件2、工件3的销售价格分别为20元、30元和10元，请给出甲机床、乙机床全年的产值分别是多少？【解】两机床全年产量可用一个23矩阵表示，记为P，各工件的销售价格向量为Q，从而PQ.故全年中甲机床的产值为37 000元，乙机床的产值为19 000元.2.四种食品(F1，F2，F3，F4)在三家商店(S1，S2，S3)中，单位量的售价(以某种货币单位计)可用下面的矩阵表示：那么在商店S1购买F2食品9单位，在商店S2购买F3食品3单位，在商店S3购买F4食品5单位，共需多少货币？【解】M197，即共需197单位货币.3.在密码学中，常用二阶矩阵对信息进行加密，现在我们先将英文字母数字化，a1，b2，z26，发送方要传递的信息是come.双方约定的矩阵为，求发送的密码. 【导学号：30650062】【解】c3，o15，m13，e5，由题意可得，所以发送的密码为30，66，70，106.4.四个食品店均要进同样的两种货物，这两种货物的单价分别为b1、b2，已知各食品店进货的批量，试用矩阵计算出各食品进货的总价是多少？【解】设A表示四个食品店两种货物的批货量，A则这四个食品店进货总价如下：AB5.某运动服销售店经销A，B，C，D四种品牌的运动服，其尺寸有S(小号)，M(中号)，L(大号)，XL(特大号)四种，一天内，该店的销售情况如下表所示(单位：件)：品牌型号ABCDS3201M5343L2455XL1011假设不同品牌的运动服的平均利润是A为20元/件，B为15元/件，C为30元/件，D为25元/件，求S号的运动服在这天获得的总利润是多少？【解】S号运动服的销售量是，不同品牌的平均利润是，于是，故S号运动服在这天获得的总利润是115元.6.已知盒子A中装有4只大小和重量相同的小球，其中2只黑色的，2只白色的；盒子B中装有5只大小和重量相同的小球，其中3只黑色的，2只白色的.假定A，B两个盒子很难分辨，而且可以任取一个，现在要求先取一个盒子，那么从中摸到一只白色小球的概率有多大？【解】不妨设摸到黑色小球的可能性为X，摸到白色小球的可能性为Y，取出一个盒子的概率可以表示为M，从两个盒子中摸到一只黑色小球(X)和一只白色小球(Y)的概率可以用矩阵表示为N，于是先取一个盒子，再从里面摸到一只黑色小球或白色小球的概率可由矩阵运算得，因此，先取一个盒子，从中摸到一只白色小球的概率为.7.研究某城市的天气变化趋势，得到如下结论：若今天晴，则明天晴的概率为0.8，若今天阴，则明天晴的概率为0.4，如果该地区4月20日清晨天气预报当天晴的概率为0.6.(1)4月21日为晴天的概率是多少？(2)5月1日为晴天的概率是多少？ 【导学号：30650063】【解】天气变化情况如图所示：天气变化的转移矩阵为M，今天天气情况可用向量表示.第n天与第n1天的天气关系可表示为 (1)4月21日的天气情况为M，即4月21日为晴天的概率是0.64.(2)矩阵M的特征多项式为f()21.40.4，由f()0解得10.4，21.当10.4时，代入特征方程解出特征向量1；当21时，代入特征方程解出特征向量2；由m1n2，即mn，解得M11(0.4)11111，即5月1日为晴天的概率约为.能力提升8.工业发展时常伴有环境污染，怎样减少甚至消除环境污染是很重要的问题.某研究机构提出了有关污染和工业发展的工业增长模型.设P是目前的污染程度，D是目前的工业发展水平，P1和D1分别是5年以后的污染程度和工业发展水平.在许多发展中国家，工业发展模型实际上是：P1P2D，D12PD.(1)设P2和D2分别是第二个5年以后的污染程度和工业发展水平，试求P2、D2与P、D的关系式；(2)某发展中国家目前的污染程度和工业发展水平都是1，设第n个5年以后，污染程度和工业发展水平分别为Pn和Dn，试求Pn、Dn，并说明污染程度和工业发展的趋势.【解】(1)P1P2D，D12PD，.设A，AA2.P25P4D，D24P5D.(2)AnAn，矩阵A的特征值为13，21，对应的一个特征向量分别为1，2，13n.13说明污染程度和工业发展水平同时以3倍的速度增加，高水平工业能提高人们的生活水平，但处理不当，随之加重的环境污染会造成不堪设想的后果，这个结果告诫人们在发展工业的同时一定要注意减轻污染，治理污染.16