九年级数学下册知识点总结

九年级下册知识点第一章 直角三角形边的关系1、正切：定义：在 R ABC中，锐角 A的对边与邻边的比叫做 A的正切，记作tanA， 即tanA=A的对边/A的邻边。tanA是一个完整的符号，它表示 A的正切，记号里习惯省去角的符号“”； tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与邻边的比；tanA不表示“tan”乘以“ A”；tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。（P1-6,11、 P3-6、P4-12 ）2、正弦：定义：在 R ABC中，锐角 A的对边与斜边的比叫做 A的正弦，记作sinA， 即sinA=A的对边/斜边；3、余弦：定义：在 R ABC中，锐角 A的邻边与斜边的比叫做 A的余弦，记作cosA， 即cosA=A的邻边/斜边；4、余切：定义：在 R ABC中，锐角 A的邻边与对边的比叫做 A的余切，记作cotA， 即cotA=A的邻边/A的对边；5、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。 （通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为： 一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若A 为锐角，则 sin A = cos(90 A）等等。6、记住特殊角的三角函数值表 0，30，45，60，90。（P4-13 、P5-15,16 、P10-11、P12-3 ）7、当角度在090间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大 (或减小 )而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大 (或减小)而减小(或增大)。0sin1，0cos1。同角的三角函数间的关系：tncot=1，tan=sin/cos，cot=cos/sin，sin2+cos2=18、在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有：（1）三边之间的关系：a2+b2=c2；（2)两锐角的关系：AB=90；（3)边与角之间的关系： sin等；（4）面积公式；（5）直角三角形 ABC内接圆O的半径为 (a+b-c)/2 ；（6）直角三角形 ABC外接圆O的半径为 c/2。（P18-13、P16-例5、P19-15）图 3第二章 二次函数1 、定义：一般地，如果 y =ax 2 +bx +c ( a , b, c 是常数， a 0) ，那么 y 叫做 x 的二次函 数。自变量的取值范围是全体实数。2、二次函数 y =ax 2 的性质：（1）抛物线 y =ax2的顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴；（2）函数 y =ax2的图像与 a 的符号关系：当 a 0 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；12 2 2当 a 0 时，开口向上；当 a 0 （即 a 、 b 同号）时，对称轴 2a ab在 y 轴左侧； 0 ,与 y 轴交于正半轴； c 0 ,与 y 轴交于 负半轴。以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立 .如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则ba0 抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在 x 轴上） D=0 抛物线与 x 轴相切；没有交点 D0 抛物线与 x 轴相离。（4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点：同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点。当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是 ax 2 +bx +c =k 的两个实数根。 （5）一次函数 y =kx +n(k0)的图像 l 与二次函数 y =ax 2 +bx +c (a0)的图像 G 的y =kx +n交点，由方程组 的解的数目来确定：y =ax 2 +bx +c方程组有两组不同的解时 l 与 G 有两个交点；方程组只有一组解时 l 与 G 只有一个交点；方程组无解时 l 与 G 没有交点。第三章 圆1、定义：圆是平面上到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做 圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。2、点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则：3点在圆上 d=r ；点在圆内 dr ；点在圆外 dr 。（P56-5，6 、 P58-16 ）证明若干个点共圆，就是证明这几个点与一个定点的距离相等。3、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆是中心对称图形，对称中 心为圆心。直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。（P58-4 、P59-9、P61-3、P63-16 、 P65-15 ）4、与圆相关的概念：弦和直径。弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。直径：经过圆心的弦叫做直径。 圆弧、半圆、优弧、劣弧。圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符 号“”表示，半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大 于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角：顶点在圆心的角 叫做圆心角。弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。5、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：过圆心； 垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。6、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心 距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。7、1的弧的概念：把顶点在圆心的周角等分成 360份时，每一份的角都是 1的圆心角， 相应的整个圆也被等分成 360份，每一份同样的弧叫1弧。圆心角的度数和它所对 的弧的度数相等。8、圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论 1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对 的弧也相等；推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角； 90的圆周角所对的弦是直径；（P66-5， 7、P68-16 ）9、确定圆的条件：理解确定一个圆必须的具备两个条件：圆心和半径，圆心决定圆的位置，半径决 定圆的大小。经过一点可以作无数个圆，经过两点也可以作无数个圆，其圆心在这个两 点线段的垂直平分线上。经过三点作圆要分两种情况： (1) 经过同一直线上的三点不能作圆。 (2) 经过不在 同一直线上的三点，能且仅能作一个圆。定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 10、 (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形：经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三 角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形。（P69-4,5 、P70-15）(2)三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。(3)三角形的外心 的性质：三角形外心到三顶点的距离相等。11、直线和圆的位置关系：（P72-3,5 ）4(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。 (2) 相切：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， 惟一的公共点做切点。(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。(4)直线与圆的位置关系的数量特征：设O的半径为 r，圆心O到直线的距离为 d，则 dr 直线L和O相交。d=r 直线L和O相切。dr 直线L和O相离。12、切线的总判定定理：经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线。 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个。垂直于切线；过切点；过圆心。（P73-13 、P74-3 、P75-14 ）13、和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心， 这个三角形叫做圆的外切三角形。三角形内心的性质：(1)三角形的内心到三边的距离相等。(2) 过三角形顶点和内心 的射线平分三角形的内角。由此性质引出一条重要的辅助线： 连接内心和三角形的顶 点，该线平分三角形的这个内角。（P77-2 、P78-14）图 514、两圆的位置关系：（P79-6 、P81-13）(1)外离： 两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这 两个圆外离。(2)外切： 两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在 另一个圆的外部时， 叫做这两个圆外切。这个惟一的公共点叫做切点。(3)相交： 两个圆有两个公共点，此时叫做这个两个圆相交。(4)内切： 两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的都在另 一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个惟一的公共点叫做切点。(5)内含： 两个圆没有公共点， 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做 这两个圆内含。两圆同心是两圆内的一个特例。(6) 两 圆 位 置 关 系 的 性 质 与 判 定 ： (1) 两 圆 外 离 dR+r ； (2) 两 圆 外 切 d=R+r ；(3) 两圆相交R-rdR+r(R r)；(4)两圆内切d=R-r(Rr) ；(5) 两圆内含 dr) 。图 615 、圆周长公式：圆周长 C=2 R(R表示圆的半径 )。圆的面积公式： S=R 2(R表示圆的 半径)。弧长公式： 2nR/360(R表示圆的半径， n表示弧所对的圆心角的度数 )。（P82-6 ） 扇形定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。 （P82-9 、P84-1、P85-8）扇形的面积公式：扇形的面积 =nR2/360(R 表示圆的半径， n 表示弧所对的圆心角的度数)。弓形定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。弓形弧的中点到弦的距离叫做 弓形高。16、圆锥：可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形， 另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面。5圆锥的侧面展开图与侧面积计算：圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径 是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点。如果设圆锥 底面半径为 r，侧面母线长(扇形半径)是l，底面圆周长(扇形弧长)为c，那么它的侧 面积是： S=cl/2=2 rl/3= rl。总面积=侧面积+底面积。（P87-7，9，11）17、若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做 这个四边形的外接圆。圆内接四边形的特征： 圆内接四边形的对角互补；圆内接 四边形任意一个外角等于它的内错角。18、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连 线平分两条切线的夹角。