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南京师范大学xws,1,第三章 直线与平面、平面与平面的相对位置,3.1平行问题 3.2相交问题 3.3垂直问题 3.4 点、直线、平面综合解题,南京师范大学xws,2,第三章 直线与平面、平面与平面的相对位置,直线与平面、平面与平面的相对位置分平行、相交和垂直三种情况。 3.1平行问题 3.1.1直线与平面平行 如一直线与平面上的任一直线平行，则此直线必定与该平面平行。,图3-1直线与平面平行的条件 图3-2直线与平面平行的投影图,南京师范大学xws,3,【例1】如图3-3（a），过点E作一正平线平行于平面ABC。,(a) (b) 图3-3过点作与平面平行的正平线,分析：过ABC外一点可以作无数条直线平行于该平面，这些直线即位于过该点且和ABC平行的平面上。在这些 直线中找到一条正平线即为符合要求的直线。,南京师范大学xws,4,3.1.2 两平面平行 如一平面上的相交两直线，对应地平行于另一平面上的相交两直线，则这两平面必定互相平行。,图3-4两平面平行的条件,南京师范大学xws,5,【例2】如图3-5，试判断已知平面ABC和平面DEF是否平行。 分析： 可在任一平面上作相交两直线，如在另一平面上能找到与它们平行的相交两直线，则该两平面就互相平行。在ABC上作两相交直线MN和MK，并使其V面投影mndf、mkde，如H面上投影mndf、mkde，则平面ABC和平面DEF互相平行。,图3-5两平面平行的投影图,南京师范大学xws,6,【例3】如图3-6(a)，过点K作一平面平行于由平行两直线AB和CD确定的平面。,(a) (b) 图3-6过点作平行平面,分析：最简便的方法就是过点K作一对相交直线对应平行于已知平面内一对相交直线即可。由于已知平面由平行两直线确定。因此，先作一直线EH与AB、CD相交，然后过点K作直线KF和MN，使KFEH，MNCD，则由两相交直线MN与KF确定的平面为所求平面。,南京师范大学xws,7,3.2相交问题 不在平面上的直线与平面不平行时即相交，其交点是直线与平面的共有点，它既在直线上，也在平面上。两平面不平行时即相交，其交线是两平面的共有线。求交线时，由于交线是直线，只要求出属于该交线上的两点（即两平面的两个共有点）或一个共有点和交线的方向即可作出交线。 求交点、交线的方法归纳起来有两种：1）利用投影的积聚性求交点或交线。2）利用辅助平面法求交点或交线。,南京师范大学xws,8,3.2.1利用投影的积聚性求交点或交线 当直线或平面垂直于投影面时，它们在该投影面上的投影有积聚性。利用积聚性可以求出交点的一个投影，然后利用直线上取点或平面上取点的作图方法求出交点的另一个投影。,南京师范大学xws,9,【例1】如图3-7(a)，求直线MN与ABC的交点。 分析： 如图3-7所示，由于ABC为铅垂面，其水平投影积聚为一直线，因此，水平投影中abc与mn的交点k必为直线与平面的交点K的水平投影，然后再利用直线上取点的方法求出V面投影。,(a) (b) (c) 图3-7一般位置直线与铅垂面相交,南京师范大学xws,10,【例2】求正垂线EF与一般位置平面ABC的交点。 分析：EF是正垂线，在正面的投影积聚为一点e(f)。由于交点K是直线EF上一点，故K点的V面投影k与e(f)重影。又因为K点也是ABC内的一点，所以可利用平面上取点的方法，作出交点K的水平投影k。,(a) (b) (c) 图3-11铅垂线与一般位置平面相交,南京师范大学xws,11,【例3】如图3-12(a)，求ABC与DEF的交线。 分析：从图3-12(a)上看，DEF为一般位置平面，ABC为铅垂面，水平投影积聚为一直线。又交线为两平面的共有线，则交线的水平投影一定与ABC的水平投影重合，即在abc与def相交的共有部分，则应为12直线，点与点分别是DEF的EF、DE边与ABC的交点，则可利用直线上点的求法求得点与点的V面投影，则交线求出。,(a) (b) (c) 图3-12铅垂面与一般位置平面相交,南京师范大学xws,12,【例4】如图3-13(a)，已知相交两平面ABC与DEF，试求两平面的交线并判断可见性。 分析：从图3-13(a)看，DEF和ABC为正垂面，正面投影都积聚为一直线。故交线的投影在V面积聚为一点，因此交线应是正垂线，而且是在两平面的共有部分，其水平投影垂直于X轴。,图3-13正垂面与水平面相交,南京师范大学xws,13,3.2.2利用辅助平面法求交点或交线 当相交两几何元素都不垂直于投影面时，就不能利用积聚性来作图，这时可利用辅助平面的方法来求交点或交线。通常选择含已知直线或已知平面的一边来作一特殊位置平面为辅助平面，这样就把投影无积聚性的问题转化为投影有积聚性的方法求解。,图3-14用辅助平面法求交点,南京师范大学xws,14,根据分析归纳，求直线与平面交点有三个步骤： （1）过已知直线作一辅助平面。为作图方便，一般所作辅助平面为垂直于某一投影面 的平面（如过EF作一铅垂面P作为辅助平面）。 （2）作出该辅助平面与已知平面的交线（如P平面与ABC的交线MN）。 （3）作出该交线与已知直线的交点，即为已知直线与已知平面的交点（如MN与EF的交点K）。,南京师范大学xws,15,1)一般位置直线与一般位置平面相交 【例5】如图3-15（a），求直线EF与ABC的交点。 分析：直线EF为一般位置直线，ABC 为一般位置平面，投影均无积聚性，需用辅助平面求交点。过直线作一铅垂面，求该铅垂面和ABC的交线，再求线与线的交点。,(a) (b) (c) 图3-15求一般位置直线与一般位置平面相交的交点,南京师范大学xws,16,2)一般位置平面与一般位置平面相交 两一般位置平面相交，由于其投影均 无积聚性，因此，交线也不能直接求出，同样需用辅助平面法求解。求作时可将一平面中的某一边看成是一直线，利用一般位置直线与一般位置平面相交求交点的方法分别求出交点，将两交点连接得交线的投影。,南京师范大学xws,17,【例6】如图3-16(a)，求ABC与DEF的交线。 分析：在图3-16中，选取DEF的两条边DE、DF，分别作出它们与ABC的交点，连接两交点即为所求的交线。,图3-16求两一般位置平面相交的交线,南京师范大学xws,18,3.3垂直问题3.3.1直线与平面垂直 垂直于平面的直线被称为该平面的垂线或法线，解题时的关键是在投影图中如何定出法线的方向。 直线与平面垂直，则直线垂直平面上的任意直线（过垂足或不过垂足）。反之，如直线垂直于平面上的任意两条相交直线，则直线垂直于该平面。,（a） (b) 图3-17直线与平面垂直,南京师范大学xws,19,【例1】如图3-18(a)，已知平面由两相交直线AB和EF确定，试过点C作该平面的垂线CD。 分析：要过C点作一直线垂直于由两相交两直线AB和EF所确定的平面，如在V面和H面分别作直线垂直于AB和EF组成的平面内的正平线的V面投影和水平线的H面投影，则所作直线与由两相交两直线AB和EF所确定的平面垂直。,(a) (b) （c） 图3-18过点作平面的垂线,南京师范大学xws,20,3.3.2两平面垂直 如直线垂直一平面，则包含该直线的所有平面都垂直于该平面。反之，如两平面互相垂直，则从第一平面上的任意一点向第二平面所作的垂线，必定在第一平面内。,(a) (b) 图3-19两平面垂直,南京师范大学xws,21,【例2】如图3-20(a)，已知铅垂面ABC和K点，过K点作一平面垂直于ABC。 分析：从图3-20(a)看，只要过K点作直线垂直于ABC ，则包含该直线的所有平面都垂直于ABC。由于ABC是铅垂面，则过K点作ABC的垂线KN必为水平线，其水平投影knacb，正面投影knX轴，再过K点作任一直线KM，则KM、KN两相交直线所组成的平面一定垂直于ABC。由于KM是任取的，因此过K点可作无数个平面垂直于ABC。,图3-20过点作平面垂直于铅垂面,南京师范大学xws,22,3.4 点、直线、平面综合解题 点、直线、平面综合解题是指在解题过程中需要综合运用前述点、直线、平面的投影知识，特别是直线、平面相对位置的基本概念和作图方法。 求解点、直线、平面综合题时，要善于根据已知条件和要求，探讨并确定解题的方法和步骤。在综合题的解题步骤中，往往包含着若干个基本概念和作图方法，所以掌握前述各章节的基本概念和作图方法是解综合题必要的基础。这里着重讨论解题的思路、方法和步骤。,南京师范大学xws,23,3.4.1解题的一般步骤 （1）分析题意 分析题意，主要是分析清楚已知条件和欲求的目标，以及其对应满足的条件。 已知条件中通常一部分是由文字给出，而另一部分是由图形给出。特别要注意分析图中的直线、平面对投影面是特殊位置还是一般位置。 （2）确定解题方法和步骤 在分析题意的基础上，确定解题方法和步骤。这也是解题的关键。 在这一步中是以有关的几何概念和定理，以及有关的投影概念为依据，进行必要的逻辑推理、空间思维和空间分析。一般地说，应当在想象中建立起空间几何模型，也可借助于画轴测图或以简易模型（如以笔代线，以纸代面）帮助构思。 （3）投影作图 这一步是将设想的解题步骤逐步绘制在投影图上，求出最后结果。,南京师范大学xws,24,3.4.2 解题方法【例3】如图3-21(a)，试过点K作直线KL，使其同时垂直于两交叉直线AB、CD。 分析：要使过K点所作直线KL与AB、CD垂直，满足这一条件的轨迹为过K点且与AB、CD共同平行的平面P垂直，因此首先作一包含AB且与CD平行的平面P。然后作一直线KL平面P。,(a) (b) 图3-21过点作直线同时垂直相错两直线,南京师范大学xws,25,【例4】如图3-22(a)，已知矩形ABCD的一边AB的投影，邻边BC平行于EFG，且顶点C距V面10mm，试完成该矩形的两面投影。 分析： 参照图3-22(b)，因为 ABCD是矩形，所以BCAB，如过B点作一平面BMNAB，则BC必位于该平面BMN上。因为BCEFG，而EFG为铅垂面，在H面的投影积聚为直线efg，故bcefg，再利用C点距V面10 mm的条件，可得出C点在H面的投影c，再根据BC在BMN上，可求得C点在V面的投影c。则D点可根据矩形对边相平行的条件求出。,图3-22完成矩形的两投影,
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