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,自动控制原理,主讲：吴仲阳,第四章 线性系统的时域分析,1 绘制根轨迹的两个条件,2 绘制根轨迹的基本规则,3 参数根轨迹,退出,退出,根轨迹法概述 研究自动控制系统的主要问题之一，是确定闭环系统的零点、极点的分布与开环传递函数零点、极点的关系，其次是研究分析系统参数的变化对系统特征根的影响。根轨迹是一种图解法，它是根据系统开环传递函数的零点、极点分布情况，用作图法简便的求得闭环系统的特征根与系统参数值（如开环增益）间的关系。,退出,退出,根轨迹法概述 研究自动控制系统的主要问题之一，是确定闭环系统的零点、极点的分布与开环传递函数零点、极点的关系，其次是研究分析系统参数的变化对系统特征根的影响。根轨迹是一种图解法，它是根据系统开环传递函数的零点、极点分布情况，用作图法简便的求得闭环系统的特征根与系统参数值（如开环增益）间的关系。,退出,绘制根轨迹的两个条件 当系统的特征方程式为： 其中：“+”号对应负反馈，“-”号对应正反馈。将 式改写成 式和式便是用来绘制反馈系统的根轨迹方 程。其中式为绘制负反馈系统的根轨迹方程， 式为绘制正反馈系统的根轨迹方程。, , , ,退出,另外，应用根轨迹方程式和式绘制根轨 迹之前，需将开环传递函数 G(s) 化成通过 极点与零点表达的标准形式，即,式中：k绘制根轨迹的可变参数，称为参变量； pj(j=1,2,n) 为系统的开环极点； zi(i=1,2,m) 为系统的开环零点；,退出,绘制根轨迹的两个条件（续） 由式得： 式和式是负反馈系统根轨迹上每个点都 应同时满足的两个公式。 由式得：, , , , ,退出,绘制根轨迹的两个条件（续） 式和式是正反馈系统根轨迹上每个 点都应同时满足的两个关系式。式 、式称为幅值条件，式 、式 称为相角条件。,退出,绘制根轨迹的两个条件（续） 幅值条件和相角条件是用图解法求系统特征 根的基本关系式，它表明当 s 平面的点在 同时满足这两个条件时，就是所研究系统在 给定参数值（例如开环增益）下对应的特征 根，所以，在 s 平面上系统的参数k从零到 无穷大变化时，凡是满足相角条件的点所构 成的图形就是根轨迹图。然后，根据幅值条 件定出这些点所对应的参数值。 参数k可以是系统的开环增益，也可以是系 统的其它参量。,退出,绘制根轨迹的基本规则 反馈系统的根轨迹是根据根轨迹方程的相角 条件绘制的，但相角条件因为正反馈和负反 馈而有两个，于是对应的根轨迹也有两种形 式。按相角条件式绘制的根轨迹称为 180根轨迹，而按照相角条件式绘制的 根轨迹称为0根轨迹。,退出,绘制180根轨迹的基本规则 （1）根轨迹的分支数 根轨迹在s平面上的分支数等于控制系统特征方程 的阶数n，换句话说，根轨迹的分支数与闭环极 点的数目相同。,退出,（2）根轨迹的起点与终点 根轨迹起始于开环极点，终于开环零点。如果开 环极点数目n 大于开环零点数目m 时，则有 n-m 条根轨迹终止于无穷远处。,退出,（3）根轨迹的连续性与对称性 根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。,退出,（4）实轴上的根轨迹 实轴上根轨 迹是那些在 其右侧的开 环实极点数 与开环实零 点数的总数 为奇数的线 段。简记为 “奇是偶不是”。,退出,（5）根轨迹的渐近线 如果控制系统的开环零点书m 少于开环极点数n 时，渐近线有n-m 条，这些渐近线在实轴上交于 一点。渐近线与实轴交点坐标为 渐近线与实轴正方向的夹角为,退出,退出,做长除法并取高次项，得,退出,退出,（6）根轨迹与实轴的交点（分离点与会合 点）根轨迹与实轴的交点（分离点与会合 点）是当开环传递函数为,退出,根轨迹与实轴的交点是下述方程的根 （11） 或分离点d为下述方程的解 （12） 说明：若在实轴上两个相邻的开环极点或两个相邻的 开环零点之间的区域为根轨迹区间，则在这区间内至 少有一个分离点。分离点方程的解并不都是分离点的 坐标，若为实分离点，则应位于实轴上的根轨迹区间 内，若为复分离点，则应满足2k的相角条件。,退出,退出,退出,退出,退出,（7）根轨迹复数极点（或零点）的 出射角（或入射角） 根轨迹离开复数极点处的切线方向与实 轴正方向的夹角称为出射角，而其进入 开环复数零点处的切线方向与实轴正方 向的夹角称为入射角。,退出,退出,出射角为 （简记“加零去余极”） 入射角为 （简记为“加极去余零”） 式中： 所考虑的极点的出射； 所考虑的零点的入射角。,退出,（8）根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴交点说明该系统有部分根是纯虚 根 ，因此，将 代入 特征方程式就可得出实部和虚部方程组： （15） 从方程组中解出 就是根轨迹与虚轴交点坐 标，同时还可以求出与此交点相应参数 k 的临界 值kc 。 说明：如果根轨迹与虚轴有交点，则劳斯计算表 中必出现全为零行，由辅助方程确定交点，进而 求得kc 。,退出,（9）闭环极点的和与积 设闭环控制系统的特征方程式为 假设它的根为 则 根据代数方程根与系数间的关系，可得,退出,（10）开环增益K 的求取 对应根轨迹上每一点系统参数，可按下式计算： 开环传递函数在绘制根轨迹中的标准式为,退出,开环增益的定义为 ,得 开环效益可按式（18）到式（21）按需求求取,退出,例题：1.(教材例4-4)系统开环传递函数 试绘制系统根轨迹。,退出,退出,解： 1.按规则1，由于上述系统的特征方程的最高 阶次为四，因此其根轨迹有四个分支。 2.按规则2，根轨迹的四个分支起始于四个开 环极点，即 当k时，它们均伸向无穷远。 因为,开环零点数m0，nm4。 3.按规则3，根轨迹的四个分支连续且对称于 实轴。,退出,4.作出开环零，极点分布图如图所示。按规则4， 对该系统来说，实轴上属于根轨迹的线段，只能 是0 2.73。 5.按规则5，可由式，即 来求根轨迹与实轴的交点，本题只有分离点，用 凑试法求得分离点-2.05。,退出,退出,6.按规则6，该系统当k时，由于nm4， 则渐近线共有四条。这些渐近线与实轴正方向 的夹角由公式 求得为 这些渐近线与实轴 的交点坐标，可由公式： 求得， 代入已知数据，求得 ，渐近线与实轴 的交点坐标为(1.18，j 0)。,退出,7.按规则7，根轨迹离开开环复极点的出射角按 式(421)求，代入已知数据，得 由根轨迹的对称性可直接得出 。 8.按规则8，将sj代进系统的特征方程得 从而得实部方程，虚部方程分别为,退出,9.按规则9，由式(424)，得 由式(425)，得 10.按规则10，由于给定系统为I型系统，故应用式(418)，得 代入数据得 至此，即可绘出大致根轨迹。,退出,绘制0根轨迹的基本规则 绘制0根轨迹需按相角条件式（8）绘制，因 此，它与绘制180根轨迹不同之处表现在和相 角条件有关的一些基本规则上。具体来说，在绘 制180根轨迹的基本规则（4）、（5）、（7）、 （8）上二者将有所不同，需作如下修正： 绘制0度根轨迹的基本规则为： （4）实轴上的根轨 实轴上的根轨迹是那些在其右侧的开环实极点与 开环实零点的总数为偶数的线段，注意零属于偶 数。（简称为偶是奇不是）,退出,（5）根轨迹的渐近线 如果控制系统得开环零点数m少于开环极点数n 时，渐近线共有n-m条，这些渐近线在实轴上交 于一点。 渐近线与实轴的交点坐标为 渐近线与实轴正方向的夹角为,退出,（7）根轨迹的入射角与出射角 始于开环复数极点的0根轨迹的出射角 和止 于开环复数零点的0根轨迹的入射角 分别按 下式计算，即,退出,（8）根轨迹与虚轴的交点 绘制180根轨迹的10条规则，除上述四条作相 应的修改外，其余六条对绘制0根轨迹完全适 用。,退出,例题2.(教材例4-5) 系统开环传递函数 试绘制系统根轨迹。,解： 1.按规则1，由于该系统的特征方程为 代入已知数据，整理得 特征方程的最高阶次是4，因此根轨迹有四条分支。 2.按规则2，由于根轨迹的四个分支起 始于四个开环极点，即 当k时，它们均伸向无穷远，这是因为nm4的缘故。,退出,3.按规则3，根轨迹四个分支连续且对称于实轴。 4.作出开环零，极点分布图如图所示。按规则4， 对该系统来说，实轴上属于根轨迹的线段只能是， 1，、1，4、4，三个线段， 注意，零被认为是偶数。,退出,退出,退出,5.按规则5，根轨迹分离点的坐标可按下式计 算，即 代入数据整理得 应用凑试法最后得分离点坐标为(2.225，j0)。,退出,6.按规则6，该系统当k时，根轨迹的渐近线共有4条。这是因为nm4。上述四条渐近线与实轴的交点坐标为 它们与实轴正方向的夹角为,退出,7.没有复极点、零点，故不用求入射角与出射角。 8.按规则8，求根轨迹与虚轴的交点。 控制系统的特征方程是 令 得 实部方程，虚部方程分别为 解虚部方程得 (不符合题意)；将 代入实部方程得k16不符合题意，因此，根轨迹与虚轴无交点。,退出,9.按规则9，闭环极点之和为 之积为 10.按规则10，由于无，其相应的无。至此，即可绘出大致根轨迹图。,退出,例题3.(教材习题4-12)已知系统开环传递函数 试绘制系统的根轨迹。,退出,解：将上式所示开环传递函数化成标准形式，得 将上式代入 （负反馈）， 得根轨迹方程为 上式说明本系统的根轨迹方程为正反馈的根轨迹方程，该系统的根轨迹必须按0根轨迹的绘制规则绘制。注意：这种现象只有非最小相位系统中才可能出现，故在绘制非最小相位系统的根轨迹 图时，需特别小心。,退出,1.按规则1，由于本系统得特征方程为 知本系统根轨迹有两个分支。 2.按规则2，根轨迹起始于 ，终止于 及无穷远点。 3.按规则3，根轨迹连续且对称实轴。 4.按规则4，做出开环零、极点分布图如图所 示。按规则4（偶是奇不是）知，根轨迹在实 轴上的线段为（2）及（0-4）。,退出,5.按规则5，渐近线与实轴交点的坐标为 渐近线与实轴正方向的夹角为 即渐近线与实轴正方向重合。 6.按规则6， 由 得 其中，a1为会合点坐标，a2为分离点坐标。,退出,7.按规则7，因无复数极点与零点，故不需求出出射角与入射角 8.按照规则8，求与虚轴交点及临界参变量。令 代入特征方程，得 解得： 9.按规则9，有闭环极点之和闭环极点之积 10.按规则10，由于给定系统为型系统，故根据上面求得的各项数据，绘制的给定系统的根轨迹如上图所示。从上图可见，当00.5时，系统不稳定工作。,退出,退出,参数根轨迹 在绘制系统的根轨迹时，并非只能以开环增益为 可变参量，实际上对绘制根轨迹所选的参数可按 需要加以选择，并称以非开环增益为可变参数绘 制的根轨迹成为反馈系数的参数根轨迹。 反馈系统参数根轨迹的绘制步骤是，首先将系统 的特征方程 整理成如下形式 的根轨迹方程，即,退出,式中 以s 和参数X 为自变量的开环 传递函数； X 非开环增益的参变量； 不含参变量X 的复变量s 的多 项式，其中s 最高次幂项的系数需 化成+1，即需将化成开环 传递函数的标准形式，即,退出,其次，根据式（27）右侧是-1，按绘制180根 轨迹规则绘制，式（27）右侧是+1按照0根轨 迹规则绘制。同绘制以开环增益为参变量的普通 根轨迹一样，来绘制参变量是x=0的参数根 轨迹。下面举例消化如下： 例题4.(教材例4-9)已知系统的特征方程为 ，试画出以a为参变量的根轨迹图，并求出使阻 尼比为0.5时a 的值。,退出,解： 1.恰当处理 用 去除特征方程的两边得 即 其中 2.按绘制180根轨迹规则，绘制参量根轨迹 (1)按规则1，由于特征方程最高阶次为3，因此 其根轨迹有三个分支。,退出,(2)按规则2，根轨迹的三个分支连续且对称于实 轴。 (3)按规则3，根轨迹的三个分支起始于三个开环 极点，即 。由于m0，当a 时，三条根轨迹分别趋向无穷远。 (4)作出开环零，极点分布图如图所示，按规则 4，整个负实轴都是根轨迹上的点。 (5)按规则5，求根轨迹的会合点。由,退出,退出,(6)按规则6，根轨迹的渐近线有nm3条。其与实轴的交点是( ，0)，其中 与实轴正方向的夹角是 (7)没有复极点，复零点，故不用求入射角与出 射角。,退出,(7)没有复极点，复零点，故不用求入射角与出 射角。 (8)按规则8，求根轨迹与虚轴的交点，将s j 代入特征方程得 得实部，虚部方程分别为 因此，根轨迹与虚轴的交点是2j。,退出,3.求 时，a 的值 由于 由相角条件，结合图420 得 则 。因此，OCD为直角三角形，OD2 则OC1，OA0.5，AC0.866。C点坐标为， 0.50.866 j 由幅值条件,退出,