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问题的提出,主要内容,特征值与特征向量的性质,对称矩阵对角化的步骤,第 四 节 对称矩阵的相似矩阵,举例,而有的就不能找到 n 个线性无关的特征向量.,上一节我们讨论了矩阵能对角化的充要条,件:,n 阶方阵 A 能对角化的充要条件是 A 有 n 个,线性无关的特征向量.,通过前面的学习我们知道,有的 n 阶方阵能找到 n 个线性无关的特征向量,一、问题的提出,矩阵的情形.,那么，一个 n 阶矩阵到底应具备什么条件,时才能对角化?,这是一个较复杂的问题.,此不进行一般性的讨论，而仅讨论当 A 为实对称,我们对,定理 5 对称矩阵的特征值为实数.,础解系, 所以对应的特征向量可以取实向量.,显然, 当特征值 为实数时, 齐次线性方程组,(A - E)x = 0,是实系数方程组, 由 | A - E | = 0 知必有实的基,二、特征值与特征向量的性质,p1 , p2 正交.,定理 6 设 1 , 2 是对称矩阵 A 的两个特,征值, p1 , p2 是对应的特征向量,若 1 2 , 则,证明略.,定理 7 设 A 为 n 阶对称矩阵, 则必有正交,矩阵 P , 使 P-1AP = , 其中 是以 A 的 n 个特征,值为对角元素的对角矩阵.,从而对应的特征值 恰有 r 个线性无关的特征向,推论 设 A 为 n 阶对称矩阵, 是 A 的特,征方程的 r 重根, 则矩阵 A - E 的秩,R(A - E) = n - r ,量.,n1 + n2 + + ns = n.,三、对称矩阵对角化的步骤,Step1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A,有 s 个不同的特征值 1 , 2 , , s ，它们的重,数分别为 n1 , n2 , , ns ,Step2 : 对 A 的每个特征值 i ,求(A - i E)x=0,的基础解系, 设为,( i = 1, 2, , s).,，以这些向量为列构,并把它们正交化、单位化，仍记,为,造矩阵,上的元素( A 的特征值 ) 之间的对应关系.,则 P 为正交矩阵，且 P-1AP = .,要注意矩阵 P 的列与对角矩 阵 主对角线,例 17 设,求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.,四、举例,例 18 设,求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.,例 19 求一个三阶实对称矩阵 A, 它的特征,且特征值 6 对应的一个特征向量为,值为 6 , 3 , 3,例 20 设 A 为 n 阶对称的正交矩阵, 且 1 为 A 的 r 重特征值. (1) 求 A 的相似对角矩阵; (2) 求 | A - 3E |.,例 21 设,求 An .,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,
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