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第1讲等差数列与等比数列,专题三数列与不等式,板块三专题突破核心考点,考情考向分析,1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现. 2.等差、等比数列的判定及综合应用也是高考考查的重点，注意基本量及定义的使用，考查分析问题、解决问题的综合能力,热点分类突破,真题押题精练,内容索引,热点分类突破,1.通项公式 等差数列：ana1(n1)d； 等比数列：ana1qn1. 2.求和公式,热点一等差数列、等比数列的运算,3.性质 若mnpq， 在等差数列中amanapaq； 在等比数列中amanapaq.,例1(1)(2018全国)记Sn为等差数列an的前n项和，若3S3S2S4，a12，则a5等于 A.12 B.10 C.10 D.12,解析,答案,解析设等差数列an的公差为d，由3S3S2S4，,将a12代入上式，解得d3， 故a5a1(51)d24(3)10.故选B.,解析由题意可得，S4S2q2S2，代入得q29. 等比数列an的各项均为正数， q3，解得a12，故a5162.,(2)(2018杭州质检)设各项均为正数的等比数列an中，若S480，S28，则公比q_，a5_.,解析,答案,3 162,在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量.,跟踪演练1(1)(2018浙江省重点中学联考)设Sn为等差数列an的前n项和，若a12 017，S62S318，则S2 019等于 A.2 016 B.2 019 C.2 017 D.2 018,解析,答案,解析在等差数列an中，设公差为d. S62S318， a4a5a6(a1a2a3)9d18. d2，,2 0192 0182 0192 0172 019，故选B.,(2)(2018全国)等比数列an中，a11，a54a3. 求an的通项公式；,解答,解设an的公比为q， 由题设得anqn1. 由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2. 故an(2)n1或an2n1(nN*).,记Sn为an的前n项和，若Sm63，求m.,解答,由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解. 若an2n1，则Sn2n1. 由Sm63得2m64，解得m6. 综上，m6.,热点二等差数列、等比数列的判定与证明,证明数列an是等差数列或等比数列的证明方法 (1)证明数列an是等差数列的两种基本方法 利用定义，证明an1an(nN*)为一常数； 利用等差中项，即证明2anan1an1(n2，nN*). (2)证明数列an是等比数列的两种基本方法,证明,(1)求证：数列anbn为等比数列；,又a1b13(1)4， 所以anbn是首项为4，公比为2的等比数列.,解答,解由(1)知，anbn2n1， ,又a1b13(1)2， 所以anbn为常数数列，anbn2， 联立得，an2n1，,(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n项和公式，但不能作为证明方法. (2) an1an1(n2)是数列an为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零.,证明,当n2时，有anSnSn1，代入(*)式得 2Sn(SnSn1)(SnSn1)21，,又当n1时，由(*)式可得a1S11，,解答,(2)求数列an的通项公式；,又a1S11满足上式，,解答,解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解.,热点三等差数列、等比数列的综合问题,解答,例3已知等差数列an的公差为1，且a2a7a126. (1)求数列an的通项公式an与其前n项和Sn；,解由a2a7a126，得a72，a14，,解答,(2)将数列an的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项，记bn的前n项和为Tn，若存在mN*，使得对任意nN*，总有SnTm恒成立，求实数的取值范围.,解由题意知b14，b22，b31，,Tm为递增数列，得4Tm8.,故(Sn)maxS4S510， 若存在mN*，使得对任意nN*，总有Sn2. 即实数的取值范围为(2，).,(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便. (2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题. (3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解.,解答,跟踪演练3已知数列an的前n项和为Sn，且Sn13(an1)，nN*. (1)求数列an的通项公式；,解由已知得Sn3an2，令n1，得a11，,解答,解由an1,真题押题精练,真题体验,1.(2017全国改编)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4a524，S648，则an的公差为_.,解析,答案,4,解析设an的公差为d，,解得d4.,2.(2017浙江改编)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4S62S5”的_条件.,解析,答案,充要,解析方法一数列an是公差为d的等差数列， S44a16d，S55a110d，S66a115d， S4S610a121d，2S510a120d. 若d0，则21d20d，10a121d10a120d， 即S4S62S5. 若S4S62S5，则10a121d10a120d， 即21d20d， d0.“d0”是“S4S62S5”的充要条件. 方法二S4S62S5S4S4a5a62(S4a5)a6a5a5da5d0. “d0”是“S4S62S5”的充要条件.,3.(2017北京)若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，则 _.,解析,答案,1,解析设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q， 则由a4a13d，,q2.,解析设an的首项为a1，公比为q，,解析,答案,32,押题预测,答案,解析,押题依据,押题依据等差数列的性质和前n项和是数列最基本的知识点，也是高考的热点，可以考查学生灵活变换的能力.,1.设等差数列an的前n项和为Sn，且a10，a3a100，a6a70的最大自然数n的值为 A.6 B.7 C.12 D.13,解析a10，a6a70，a70，a1a132a70，S130的最大自然数n的值为12.,答案,解析,押题依据,押题依据等差数列、等比数列的综合问题可反映知识运用的综合性和灵活性，是高考出题的重点.,2.在等比数列an中，a33a22，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则an的公比等于 A.3 B.2或3 C.2 D.6,解析设公比为q,5a4为12a3和2a5的等差中项，可得10a412a32a5,10a3q12a32a3q2，得10q122q2，解得q2或3.又a33a22，所以a2q3a22，即a2(q3)2，所以q2.,答案,解析,押题依据,押题依据本题在数列、方程、不等式的交汇处命题，综合考查学生应用数学的能力，是高考命题的方向.,解析由a7a62a5，得a1q6a1q52a1q4， 整理得q2q20， 解得q2或q1(不合题意，舍去).,押题依据先定义一个新数列，然后要求根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来高考中逐渐兴起的一类问题，这类问题一般形式新颖，难度不大，常给人耳目一新的感觉.,4.定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(，0)(0，)上的如下函数： f(x)x2；f(x)2x；f(x) f(x)ln|x|. 则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为 A. B. C. D.,答案,解析,押题依据,f(an)f(an2) f(an1)2；,f(an)f(an2)ln|an|ln|an2|(ln|an1|)2f(an1)2.,
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