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1,第一篇 复变函数论,主要内容: 复变函数和解析函数 复变函数的积分 复变函数的级数 留数定理 傅立叶变换,2, 1.1 复数与复数运算,（一）复数的基本概念,数的扩展：正数负数实数 在实数范围内：方程 ax2 + bx + c = 0 当 = b2 4ac 0时，没有实根。 扩大数域，引进复数,第一章 复变函数,3,复数定义：,4,复数相等：,两复数： x1+i y1， x2+i y2 当且仅当： x1 x2 , y1 y2 时，我们才能说两复数相等，记为 x1+iy1=x2 iy2,注意：复数不能够比较大小。,复数的共轭,复数z=x+iy的共轭复数 为z*=x-iy,共轭复数z*是复数z关于实轴的对称点,5,注意：,1）、,2）、,6,复数的其它表示法,7,（2）向量表示法,复数的模(或绝对值),8,模的性质,三角不等式,复数的辐角,9,辐角的主值,10,（3）三角表示法,11,补充：欧拉公式的证明,设,可以证明级数,在整个复数范围是绝对收敛的,定义它的和函数为,z为纯虚数iy时,12,（二）无限远点,复平面上有些个点比较特殊，比如：零点和无穷远点。 (1)复数零的幅角无意义，模为0。 (2)无穷远点的模为，幅角没有意义。关于无穷远点的定义需要借助测地投影法。,复球面,复平面的无限远处看成一个“点”无限远点 包括有无限远点的复数平面称为扩充了的复平面,实数： (-,+) -,+,模有限的复数跟复平面上的有限远点一一对应 模为无限大的复数也跟复平面上一点对应（无限远点）,13,如图，一球的南极与复数平面的原点相切，平面上任意点 A 与球的北极由一条直线相连，直线与球相交于 A 。由此，每一有限的复数 投影到球上一点 。这个投影叫测地投影，这个球叫复数球。,所有的无穷大复数（平面上无限远点）投影到唯一的北极 N。故我们为方便，将无穷远点看作一个点。其模无穷大，幅角无意义。,无穷远点,14,设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数,复数加减法满足平行四边形法则，或三角形法则,（三）复数的运算,交换律、结合律、分配律成立,15,乘法运算,两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加,除法运算,两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减,16,乘方（n整数）,开方（n整数）,17,逼近,实变数极限相关定理完全适用于复数。,18,例：讨论式子 在复平面上的意义,解：,为,圆上各点,19,例：计算,解：,令,20,21,例：计算,解：,令,22,23,24,25,1.2 复变函数,（一）、复变函数的定义,对于复变集合E中的每一复数,有一个或多个复数值,w称为的z复变函数,z称为w的宗量,26,（二）、区域概念,由,确定的平面点集，称为定点z0的邻域,（1）、邻域,（2）、内点,定点z0的邻域全含于点集E内，称z0为点集E的内点,（3）、外点,定点z0及其邻域不含于点集E内，称z0为点集E的外点,（4）、镜界点,定点z0的邻域既有含于E内，又有不含于E内的点，称z0为点集E的镜界点。,内点,镜界点,外点,27,内点,镜界点,外点,（5）、区域,A）全由内点组成,B）具连通性：点集中任何两点都可以用一条折线连接，且折线上的点属于该点集。,（6）、闭区域,区域连同它的边界称为闭区域，如,表示以原点为圆心半径为1的闭区域,（7）、单连通与复连通区域,单连通区域：区域内任意闭曲线，其内点都属于该区域,28,多项式,有理分式,根式,指数函数,三角函数,双曲函数,对数函数,幂函数,(三) 复变函数例,实周期2,纯虚数周期2i,纯虚数周期2i,29, 三角函数,实数周期 2； (2) 当 (3) 同样有公式,模可以大于1,30,具纯虚数周期 ， 而对应的实函数为非周期函数,为无穷多值的多值函数，负实数的对数仍有意义,指数函数,双曲函数,对数函数,31,一般幂函数,32,例：求方程 sinz=2,解：,设,33,两种情况：,34,或,由于,35,（四）、极限与连续性,设w=f(z)在z0点的某邻域有定义,对于0，存在0,使,有,称z - z0时w0为极限，计为,注意：z在全平面，z - z0须以任意方式,若有,称f(z)在z0点连续,36,复变函数论（theory of complex functions）： 研究自变量是复数的函数的基本理论及应用的数学分支，主要研究对象是解析函数。,复数函数发展简史,早在16世纪，一元二次、一元三次代数方程求解时就引入了虚数的基本思想，给出了虚数的符号和运算法则。,1,复数起源于代数方程求根,意大利的卡丹诺（G.Cardano,1501-1576）在解三次方程时首先产生了负数开平方的思想。如,但，由于 在实数范围内无意义，在很长时间内，直到19世纪中叶，这类数仍然是不合法的。,法国的笛卡尔（R.Descartes,1596-1690）称其为虚数(“虚幻数” imaginary number),37,2,Bernoulli和Leibniz的争论 17121713,Bernoulli：负数的对数是实数,Leibniz ：不可能有负数的对数,只对正数成立,3,Euler 在1747年对这场争论作了中肯的分析,差一常数,1740年，Euler 给Bernoulli的信中说：,和,是同一个微分方程的解，因此应该相等,1743年，发表了Euler公式,38,Euler 认为复数仅在想象中存在，1777年，Euler采用 i 代表,5,十九世纪，有三位代表性人物： 柯西(Cauchy，17891857) 维尔斯特拉斯(Weierstrass，18151897) 黎曼(Rieman，18261866),经过他们的不懈努力，终于建立了系统的复变函数论,4,复数真正被接受主要归功于德国数学家高斯(C.F.Gauss,1777-1855), 1799年，他把复数的思想融入到对代数学基本定理的证明中。,
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