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5.3.2空间中的垂直、夹角 及几何体的体积,垂直关系的证明 例1 (2018全国,文19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2 , PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点. (1)证明:PO平面ABC; (2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.,解题心得从解题方法上讲,由于线线垂直、线面垂直、面面垂直之间可以相互转化,因此整个解题过程始终沿着线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行.,对点训练1(2018全国,文18) 如图,在平行四边形ABCM中, AB=AC=3,ACM=90.以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA. (1)证明:平面ACD平面ABC; (2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且 BP=DQ= DA,求三棱锥Q-ABP的体积.,(1)证明 由已知可得BAC=90,BAAC. 又BAAD,所以AB平面ACD. 又AB平面ABC, 所以平面ACD平面ABC.,平面图形的折叠问题 例2如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD, CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.,解题心得平面图形经过翻折成为空间图形后,原有的性质有的发生变化,有的没变.一般地,在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质可能发生变化.解决这类问题就是要根据这些变与不变,去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值,这是化解翻折问题的主要方法.,对点训练2如图,菱形ABCD的边长为12,BAD=60,AC交BD于点O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,如图,点M,N分别是棱BC,AD的中点,且DM= .,(1)求证:OD平面ABC; (2)求三棱锥M-ABN的体积.,(1)证明 四边形ABCD是菱形, AD=DC,ODAC. 在ADC中,AD=DC=12,ADC=120,则OD=6. M是BC的中点,OD2+OM2=MD2,DOOM. OM,AC平面ABC,OMAC=O, OD平面ABC.,几何体中的作图问题 例3 如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G. (1)证明:G是AB的中点; (2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.,(1)证明 因为P在平面ABC内的正投影为D, 所以ABPD. 因为D在平面PAB内的正投影为E,所以ABDE. 所以AB平面PED,故ABPG. 又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点. (2)解 在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.,理由如下:由已知可得PBPA,PBPC, 又EFPB,所以EFPA,EFPC. 因此EF平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影. 连接CG, 因为P在平面ABC内的正投影为D, 所以D是正三角形ABC的中心. 由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,解题心得解立体几何题,总是离不开作辅助直线、辅助平面.而作好图形的基础在于基本作图:基本作图如: (1)过不在同一条直线上的三点作一个平面; (2)作已知两个相交平面的交线等.,对点训练3 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10, AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.,空间中的角 例4 (2018天津,文17)如图,在四面体 ABCD中,ABC是等边三角形,平面ABC平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD= , BAD=90. (1)求证:ADBC; (2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值; (3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.,(1)证明 由平面ABC平面ABD,平面ABC平面ABD=AB, ADAB,可得AD平面ABC,故ADBC. (2)解 取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M为棱AB的中点,故MNBC.所以DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.,解题心得空间中的角包括异面直线所成的角、线与面所成的角及二面角.求空间中的角的步骤是一作,二证,三求.如何作出所求角是关键,异面直线所成的角一般利用平行线转化为同一平面内的两条直线所成的角;线与面所成的角一般找到直线在平面内的射影,转化为直线与直线在平面内的射影所成的角;求二面角转化为求二面角的平面角.,对点训练4 (2018浙江,19)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B, C1C均垂直于平面ABC,ABC=120,A1A=4,C1C=1, AB=BC=B1B=2. (1)证明:AB1平面A1B1C1; (2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.,(2)解 如图,过点C1作C1DA1B1,交直线A1B1于点D,连接AD.,
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