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数列的应用题组二一、选择题1. （2011湖南嘉禾一中）设恒成立，那么 （ ）ABa1CDa1答案 D.2（成都市玉林中学20102011学年度）等差数列中，若，则的值为： （A）180 （B）240 （C）360 （D）720答案 C.3（四川成都市玉林中学20102011学年度）在重庆召开的“市长峰会”期间，某高校有14名志愿者参加接待工作若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（A） （B） （C） （D） 答案 B . 解：有14名志愿者，但每天早、中、晚三班，每班4人，只需12人，所以应先从14人中选出12人，然后这12人再来分组排班。 故选B4. （成都市玉林中学20102011学年度）函数的定义域为（A） （B） （C）（1，3） （D）1，3答案 A. 解： 故选A5（江苏泰兴市重点中学2011届）若函数，满足对任意的、，当时，则实数的取值范围为_答案，6（江西省2011届文）集合，则a的值为（ ）A0 B1C2D4答案 D.7.（江西省2011届理）已知，则下列关系式中正确的是 （ ）A B D答案 D.8.（江苏省2011届数学理）右图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是 （ ）A B D答案 B.9（四川省成都市2011届高三理）函数的定义域为A. B. C.（1，3） D.1，3答案 A.10（四川省成都市2011届高三文）等差数列中，若，则的值为： A.10 B.11 C.12 D.14答案 C.11.（浙江省杭州市高级中学2011届高三考文）函数的定义域是 （ ）A B D答案 D。12（四川省成都外国语学校2011届高三10月文）在等差数列中，则=（ ） A. B. C. D.答案 D.13(浙江省桐乡一中2011届高三文) 若Sn是等差数列an的前n项和，有，则的值为（） （A）12 （B）18（C）22 （D）44答案 C.14. (山西省四校2011届高三文）设Sn为等比数列的前项和，8a2+a5=0,则=（ ）A. -11 B. -8 C. 5 D. 11答案 D.15. (福建省福州八中2011届高三理)已知，函数的零点个数为A2 B3 C4 D2或3或4答案 A.16. (福建省四地六校联考2011届高三理)关于的方程的根在内，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 答案 B.17(广东省湛江一中2011届高三10月月考理）函数(0a1,且） （1） 求m 值 ， （2） 求g（x）的定义域； （3） 若g（x）在上恒正，求a的取值范围。答案 32（1）是奇函数， （2）由（1）必须满足的定义域为 （3）上恒正，即的取值范围是（2，+）33（江苏省2011理）已知集合A，B当a2时，求AB； 求使BA的实数a的取值范围答案 33 解：（1）当a2时，A（2，7），B（4，5） AB（4，5）（2） B（2a，a21），当a时，A（3a1，2） 要使BA，必须，此时a1； 当a时，A，使BA的a不存在； 当a时，A（2，3a1）要使BA，必须，此时1a3 综上可知，使BA的实数a的取值范围为1，31 34（江苏泰兴2011届高三理）设n为大于1的自然数，求证：答案 34证明：（放缩法）解：不妨设正方体的棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则各点的坐标为A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（1，0，1），（0，1，1），E（,1,0）, F（0 , ,0）25（四川省成都外国语学校2011届高三10月理）（14分）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设，如果对任意，求的取值范围。答案 35（）的定义域为（0，+）. .当时，0，故在（0，+）单调增加；当时，0，故在（0，+）单调减少；当-10时，令=0，解得.则当时，0；时，0.故在单调增加，在单调减少.（）不妨假设，而-1，由（）知在（0，+）单调减少，从而 ，等价于， 令，则等价于在（0，+）单调减少，即 . 从而 故a的取值范围为（-，-2。 36（四川省成都外国语学校2011届高三10月文）（12分）数列的各项均为正数，为其前n项和，对于任意的，总有成等差数列，又记。（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn，并求使Tn对都成立的最大正整数m的值。答案 36解：（1），相减得， （2） Tn=1 最小值 10最大正整数=937（四川省成都外国语学校2011届高三10月文）（14分）设，且有唯一解，。（1）求实数；（2）求数列的通项公式；（3）若，数列是首项为1，公比为的等比数列，记，求的前n项和。答案 37解：（1） 有唯一解 （2） （3），又 38（浙江省桐乡一中2011届高三文）本小题满分（15分）已知函数在处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程在区间0，2上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；（3）证明：对任意正整数n，不等式都成立答案38解：（1） 时，取得极值， （3分）故，解得a=1，经检验a=1符合题意. （2）由a=1知得令则上恰有两个不同的实数根等价于在0，2上恰有两个不同的实数根。 当上单调递增当上单调递减。依题意有 （3）的定义域为 由（1）知 令（舍去），单调递增；当x0时，单调递减。上的最大值。 （当且仅当x=0时，等号成立）对任意正整数n，取得， 39（浙江省吴兴高级中学2011届高三文）已知数列的前n项和为，对任意的，点，均在函数的图像上.（）求数列的通项公式； （）记，求使成立的的最大值. 答案 39 . 解：（）由题意得 ，则 所以5分 又 所以7分（）因为所以9分 则 所以得14分 所以使成立的的最大值为9. 15分40（浙江省吴兴高级中学2011届高三文）已知函数图象上一点处的切线方程为 (1)求的值； (2)若方程在内有两个不等实根，求的取值范围(其中为自然对数的底数)答案 40解：(1)4分解得：7分(2) 则是增函数;当11分则方程内有两个不等实根的充要条件是13分即15分41. （河北省唐山一中2011届高三理）设M=x|N=x|求MN时a的取值范围.答案 41. 解：由不等式得：解得：-2x-1或4x7所以，M=x|-2x-1或4x75分由不等式解得x9a，所以，N=x|x-2即： 10分42（河北省唐山一中2011届高三理）已知数列满足=-1，数列满足（1）求数列的通项公式.（2）设数列的前项和为，求证：当时，.（3）求证：当时，答案 42.解：（1）由题意，即 4分（2） 当时，平方则叠加得 8分（3）当时，即时命题成立 假设时命题成立，即 当时，= 即时命题也成立综上，对于任意，12分43（江苏省2011届高三理）已知函数（）是偶函数 （1）求的值； （2）设，若函数与的图像有且只有一个公共点，求实数的取值范围答案 43（本题满分15分）解（1） 函数是偶函数 恒成立 ，则5分（2） ，函数与的图象有且只有一个公共点，即方程只有一个解由已知得 方程等价于设，则有一解若，设，恰好有一正解 满足题意若，即时，不满足题意若，即时，由，得或当时，满足题意当时，（舍去）综上所述实数的取值范围是10分44（福建省四地六校联考2011届高三文）（本小题满分12分）设数列an的前n项和为Sn， （I）求证数列an为等差数列； （II）设数列的前n项和为Tn，求.答案 44(本小题满分12分)证明：（I）由得 即4分是以1为首项，4为公差的等差数列 6分 （II）由（I）得 12分数列的应用题组一一、选择题1（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）等比数列首项与公比分别是复数是虚数单位的实部与虚部，则数列的前项的和为（ ）A B C D【答案】A【分析】根据复数实部和虚部的概念求出这个等比数列的首项和公比，按照等比数列的求和公式进行计算。【解析】该等比数列的首项是，公比是，故其前项之和是。【考点】数列、复数【点评】本题把等比数列和复数交汇，注意等比数列的求和公式是分公比等于和不等于两种情况，在解题中如果公比是一个不确定的字母要注意分情况解决。2（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）（文科）设是等比数列的前项和，则等于 （）A B C D答案 B3（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）已知函数，把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为 （）ABCD答案 B4.（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）已知等差数列的前20项的和为100，那么的最大值为( ) 25 50 100 不存在答案 A.5（重庆市重庆八中2011届高三第四次月考理）设若的最小值为（ ）A4 B8 C1 D 答案 A.6. （浙江省嵊州二中2011届高三12月月考试题理）已知函数的定义域为，当时，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，且，则的值为（ ）（A）4017（B）4018（C）4019（D）4021答案 D.二、填空题7（福建省安溪梧桐中学2011届高三第三次阶段考试理）已知数列1, a1, a2, a3 , a4 ,4成等差数列，1, b1, b2, b3, 4成等比数列，则_ 答案 8. （河南省郑州市四十七中2011届高三第三次月考文）若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列例如，若数列是，则数列是已知对任意的，则 ， 答案 2.n29（浙江省杭州二中2011届高三11月月考试题文）数列的前项和为，且数列的各项按如下规则排列：则 ，若存在正整数，使则 答案 、 20.10（重庆市重庆八中2011届高三第四次月考理）在且成等差数列。则的范围是 答案 .11（浙江省诸暨中学2011届高三12月月考试题文）由9个正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且 ，成等比数列.给出下列结论：第2列中的，必成等比数列；第列中的、不一定成等比数列；若这9个数之和等于9，则其中正确的序号有 （填写所有正确结论的序号）答案： 三、简答题12（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）（本小题满分12分）在各项均为负数的数列中，已知点在函数的图像上，且（1）求证：数列是等比数列，并求出其通项；（2）若数列的前项和为，且，求【分析】（1）把点的坐标代入直线方程，根据等比数列的定义进行证明，显然公比是，再根据条件求出首项即可求出这个数列的通项公式；（2）数列是一个等比数列和一个等差数列的对应项的和组成的数列，分别求和即可。【解析】（1）因为点在函数的图像上，所以故数列是公比的等比数列因为由于数列的各项均为负数，则所以6分（2）由（1）知，所以12分【考点】数列。【点评】本题考查等比数列的概念、通项，等比数列和等差数列的求和。高考对数列的考查难度在下降，其考查的重点转变为考查数列中的基本问题、两类基本数列，以及数列求和方面。解决两类基本数列问题的一个重要思想是基本量方法，即通过列出方程或者方程组求出等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比。数列求和要掌握好三个方法，一个是本题使用的分组求和，第二个是错位相减法，第三个是裂项求和法。13（福建省安溪梧桐中学2011届高三第三次阶段考试理）（本小题满分13分）在数列（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，数列项和为，是否存在正整整m，使得 对于恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，说明理由答案 13. 解：（1）证明：数列是等差数列 3分 由 6（2） 10分依题意要使恒成立，只需解得所以m的最小值为1 12分 13分14.（福建省三明一中2011届高三上学期第三次月考理）(本题满分14分) 已知数列中，.（1）写出的值（只写结果）并求出数列的通项公式；（2）设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。答案 14、解：（1） 2分 当时， ， 5分当时，也满足上式， 数列的通项公式为6分（2） 8分 令，则， 当恒成立 在上是增函数，故当时，即当时， 11分 要使对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则须使，即， 实数的取值范围为14分另解： 数列是单调递减数列，15（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）（本小题满分12分）已知函数，数列满足 （）求数列的通项公式； （）求； （）求证：答案 15.16. （福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理） （本小题满分13分）已知数列，定义其倒均数是。 （1）求数列的倒均数是，求数列的通项公式； （2）设等比数列的首项为1，公比为，其倒数均为，若存在正整数k，使恒成立，试求k的最小值。答案 【解】：（1）依题意，即2分当两式相减得，得 4分当n=1时， =1适合上式5分故6分（2）由题意， . 8分10分不等式恒成立，即恒成立。12分经检验：时均适合题意，即K的最小值为7。13分17. （福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理）（本小题满分14分）已知f(x)=ln(1+x)-x.（）求f(x)的最大值；（）数列an满足：an+1= 2f (an) +2,且a1=2.5，= bn,数列 bn+是等比数列 判断an是否为无穷数列。（）对nN*,用结论证明：ln(1+)-1, f(x)= -1=,x(-1,0)0(0,+)f(x)+0-f(x)极大值极大值为f(0)=0，也是所求最大值；4分（）an+1=，an+1-1=，=-1-，5分则bn+1=-2 bn-1, bn+1+=-2(bn+), b1+=1, 数列 bn+是首项为1，公比为-2的等比数列，7分bn+=(-2)n-1, 8分an=+1=+1，9分明显a1=2.5-1，n2时(-2)n-1-0-1恒成立，数列an为无穷数列。11分（）由ln(1+x) x，ln(1+) ln(1+)312分=3 ln(1+)3=成立。 14分18（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）（12分）数列an的前n项和记为Sn，已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，)证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn+1=4an.答案 18（12分）证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn+1=4an.（1）由 得： 即所以 所以数列是以1为首项,公比为2的等比数列（2）由（1）得 所以 所以 19（广东省华附、中山附中2011届高三11月月考理）（14分）已知数列中,且（1）求证：;（2）求数列的通项公式；(3)设,是数列的前项和,求的解析式;答案 19.解:故,1分又因为则,即3分所以, 4(2) = 8因为= 所以,当时, 9当时,.(1)得(2) = 12综上所述: 1420. （广东省惠州三中2011届高三上学期第三次考试理）已知曲线上有一点列，点在x轴上的射影是，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设四边形的面积是，求证：答案 20. 解：（1）由得 ， ， 故是公比为2的等比数列.6分（2） ， , 而 ， 9分 四边形的面积为：,故.14分21. （浙江省杭州二中2011届高三11月月考试题文）（本小题满分15分）甲、乙两容器中分别盛有浓度为，的某种溶液500ml， 同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液，将其倒入对方的容器搅匀，这称为一次调和. 记，经次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为， （I）试用，表示，； （II）求证：数列是等比数列，数列+是常数列；（III）求出数列，的通项公式.答案 （本小题满分15分）（1）（2）两式相减 所以等比两式相加. 所以常数列；（3） 22（重庆市重庆八中2011届高三第四次月考理）（本小题满分12分）已知数列满足递推式： （1）若的通项公式；（2）求证： 答案 解：（1） 5分（2）由（2）知23（重庆市南开中学高2011级高三1月月考理）（22分）已知函数的反函数为，数列满足： 处的切线在y轴上的截距为 （1）若数列的通项公式； （2）若数列的取值范围； （3）令函数证明：答案 24. （浙江省嵊州二中2011届高三12月月考试题理）（本小题满分14分）从集合中，抽取三个不同元素构成子集（）求对任意的，满足的概率；（）若成等差数列，设其公差为，求随机变量的分布列与数学期望答案 ()基本事件数为，满足条件，及取出的元素不相邻，则用插空法，有种 故所求事件的概率是 7分（）分析三数成等差的情况： 的情况有7种，123，234，345，456，567，678，789 的情况有5种，135，246，357，468，579 的情况有3种，147，258，369 的情况有1种，159分布列是1234 14分第- 30 -页 共30页
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