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第2讲椭圆、双曲线、抛物线考情解读(1)以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题(2)以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现该部分题目多数为综合性问题，考查分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称定义椭圆|PF1|PF2|2a(2a双曲线|PF1|PF2|抛物线|PF|PM|，点F不在|F1F2|)标准方程x2y2a2b21(ab0)图形x2y22a(2a|F1F2|)a2b21(a0，b0)直线l上，PMl于My22px(p0)范围顶点|x|a，|y|b(a,0)(0，b)|x|a(a,0)x0(0,0)(，0)对称性焦点关于x轴，y轴和原点对称(c,0)关于x轴对称p2几何性轴长轴长2a，短轴长实轴长2a，虚轴长质2b2bee离心率cab21a2(0cab21a2(ee1e1)1)x准线p2yx渐近线ba(2)已知抛物线x22py(p0)的焦点与双曲线x2y2的一个焦点重合，且在抛物线上有一由余弦定理可得cosF2PF1.A.1B.1热点一圆锥曲线的定义与标准方程x2y2|例1(1)若椭圆C：921的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF2|4则F1PF2等于()A30B60C120D15012P2动点P到x轴的距离为m，到直线l：xy40的距离为n，则mn的最小值为_思维启迪(1)1F2中利用余弦定理求F1PF2；(2)根据抛物线定义得m|PF|1.再利用数形结合求最值答案(1)C(2)51解析(1)由题意得a3，c7，所以|PF1|2.F2PF1中，4222(27)212422又因为cosF2PF1(0，180)，所以F2PF1120.(2)易知x22py(p0)的焦点为F(0,1)，故p2，因此抛物线方程为x24y.根据抛物线的定义可知m|PF|1，设|PH|n(H为点P到直线l所作垂线的垂足)，因此mn|PF|1|PH|.易知当F，P，H三点共线时mn最小，|14|因此其最小值为|FH|1151.5思维升华(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，双曲线的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化(2)注意数形结合，画出合理草图x2y2322(1)已知椭圆C：ab21(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()x2y2x2y282126C.1D.1x2y2x2y2164205(2)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()解析(1)椭圆的离心率为，渐近线xy0与椭圆x24y24b2在第一象限的交点为b，b，5Ay29xBy26xCy23xDy23x答案(1)D(2)Ca2b23c32aa2a2b.椭圆方程为x24y24b2.双曲线x2y21的渐近线方程为xy0，25525由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为bb4，b25，a2椭圆C的方程为1.2525554b220.x2y2205(2)|如图，分别过A，B作AA1l于A1，BB1l于B1，由抛物线的定义知，AF|AA1|，BF|BB1|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130，A1AF60.连接A1FA1AF为等边三角形，过F作FF1AA1于F1，则F1为AA1的中点，例2(1)已知离心率为e的双曲线和离心率为222C.D3A.0，B.0，113设l交x轴于N，则|NF|A1F1|2|AA1|2|AF|，即p2，抛物线方程为y23x，故选C.热点二圆锥曲线的几何性质2的椭圆有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共点，若F1PF23，则e等于()55A.B.62x2y2a2(2)设F1，F2分别是椭圆a2b21(ab0)的左，右焦点，若在直线xc上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是()2323C.2，1D.3，123坐标为(，y)，考察y存在的条件222(2)设Pc，y，线段F1P的中点Q的坐标为2c，2，y2，y20，即3c2a20，即e2，故e1.此时F2为中点，即c2c，得ec3综上，得en，由mn2a1，mn2a2得ma1a2，na1a2.又F1PF23，4c2m2n2mna213a2，a23a213612c2c224，即e24，解得e，故选C.()a2b2ycycy2c2当kQF2存在时，则kF1Pa2c2，kQF2b2，由kF1PkQF21，得(a2c2)(2c2b2)c2但注意到b22c20，即2c2b20，1333当kQF2不存在时，b22c20，y0，a23，33即所求的椭圆离心率的取值范围是3，1.作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B，若(AOAF)OF0，则双曲线的离心率e为AOAF2AC，由题意得，2ACOF0，tan451，则双曲线的离心率e1()22，故选C.3思维升华解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等x2y2(1)已知O为坐标原点，双曲线a2b21(a0，b0)的右焦点为F，以OF为直径()A2B3C.2D.3(2)(2014课标全国)已知F为双曲线C：x2my23m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A.3B3C.3mD3m答案(1)C(2)A解析(1)设OF的中点为C，则ACOF，AOAF，又OAF90，AOF45，即双曲线的渐近线的倾斜角为45，baba(2)双曲线C的标准方程为1(m0)，其渐近线方程为yxx，即myx2y23m33m3mmx，不妨选取右焦点F(3m3，0)到其中一条渐近线xmy0的距离求解，得d3m31m轴的交点为C，已知ABBC.3.故选A.热点三直线与圆锥曲线x2y2例3过椭圆a2b21(ab0)的左顶点A作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y613(1)求椭圆的离心率；(2)设动直线ykxm与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x4相交于点Q，若x轴上存在一定点M(1,0)，使得PMQM，求椭圆的方程思维启迪(1)根据ABBC和点B在椭圆上列关于a、b的方程；(2)联立直线ykxm与椭圆方程，利用0，PMQM0求解AB(x1a，y1)，BC(x1,2ay1)，ABBC，x1a(x1)，y1(2ay1)，131313613解(1)A(a,0)，设直线方程为y2(xa)，B(x1，y1)，令x0，则y2a，C(0,2a)，6661312整理得x119a，y119a，1312a2b23)2(21，点B在椭圆上，(1919)2ba24，即1e2，e.a2c2331a2442设P(x1，y1)则有x12(34k2)34k2b23(2)a24，可设b23t，a24t，椭圆的方程为3x24y212t0，3x24y212t0由，得ykxm(34k2)x28kmx4m212t0，动直线ykxm与椭圆有且只有一个公共点P，0，即64k2m24(34k2)(4m212t)0，整理得m23t4k2t，8km4km，3my1kx1m34k2，34k234k2P(4km3m，)，34k234k2椭圆的方程为1.又M(1,0)，Q(4,4km)，x轴上存在一定点M(1,0)，使得PMQM，4km3m(1，)(3，(4km)0恒成立，整理得34k2m2.34k23t4k2t恒成立，故t1.x2y243思维升华待定系数法是求圆锥曲线方程的基本方法；解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解B是C上的两个动点，线段AB的中点M的横坐标为，线段AB的中垂线交椭圆C于P，(2)求F2PF2Q的取值范围因为椭圆C过点(1，)，x2y222已知椭圆C：a2b21(ab0)的焦距为2，且过点(1，)，右焦点为F2.设A，12Q两点(1)求椭圆C的方程；解(1)因为焦距为2，所以a2b21.22112所以a2b21.故a22，b21.所以椭圆C的方程为y21.(2)由题意，当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为x，得F2PF2Q1.x2212此时P(2，0)，Q(2，0)，1当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k(k0)，M(2，m)(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，得(x1x2)2(y1y2)0，则14mk0，由2x12x22y211，y21，y1y2x1x2直线PQ的方程为ym4m(x)故4mk1.此时，直线PQ的斜率为k14m，12即y4mxm.y4mxm，联立x22y21消去y，于是F2PF2Q(x31)(x41)y3y4x3x4(x3x4)1(4mx3m)(4mx4m)32m2132m21整理得(32m21)x216m2x2m220.设P(x3，y3)，Q(x4，y4)16m22m22所以x3x432m21，x3x432m21.(4m21)(x3x4)(16m21)x3x4m21(4m21)(16m2)(116m2)(2m22)1m232m21由于M(，m)在椭圆的内部，故0m2，令t32m21,1t29，则F2PF2Q.3232t又1t29，所以1F2PF2QB0时，表示焦点在y轴上的椭圆；BA0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)p2(1)y1y2p2，x1x24；2psin2p22sin(3)AOB；112|FA|FB|p(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()33真题感悟1(2014湖北)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF234323A.B.r1r22a1，r1a1a2，令m222当时，mmax，1()max解析抛物线y22px的准线为直线x，而点A(2,3)在准线上，所以2，即p4，从而C：y28x，焦点为F(2,0)设切线方程为y3k(x2)，代入y28x得y2y2k30(k0)，由于14(2k3)0，所以k2或k.因为切点在第一象限，所以k.将k代入中，得y8，再代入y28x中得x8，所以直线BF的斜率为.11a1a2r1e1e2ccr22r2r2123r1r1r124c3e1e232343C3D2答案A解析设|PF1|r1，|PF2|r2(r1r2)，|F1F2|2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，1由(2c)2r2r22r1r2cos3，得4c2r21r2r1r2.由得r1r22a2r2a1a2，.12r24r1cr1r2r1r244，1()()r116r123r43，1143即的最大值为.2(2014辽宁)已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()12A.B.34C.D.答案Dpp22k8k1821212所以点B的坐标为(8,8)，43押题精练双曲线的右支交于点P，若OE(OFOP)，则双曲线的离心率是_a2x2y21已知圆x2y216上点E处的一条切线l过双曲线a2b21(a0，b0)的左焦点F，且与12答案解析264由题意可知|OE|，由OE(OFOP)，可知E为FP的中点所以OEPH，且|OE|PH|，故|PH|2|OE|.所以|PF|2a|PH|.即(2c)2()2()2，整理得，即e.(1)若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；x0y20由A(a,0)，B(a,0)，得kAP，kBP.如图所示，设双曲线的右焦点为H，连接PH，a412由双曲线的性质，可知O为FH的中点，12a2由双曲线的定义，可知|PF|PH|2a(P在双曲线的右支上)，5a2因为直线l与圆相切，所以PFOE.又OEPH，所以PFPH.PFH中，|FH|2|PH|2|PF|2，a5a22c2626a44x2y22设椭圆a2b21(ab0)的左、右顶点分别为A、B，点P在椭圆上且异于A、B两点，O为坐标原点12(2)若|AP|OA|，证明：直线OP的斜率k满足|k|3.(1)解设点P的坐标为(x0，y0)，y00.由题意，有a2b21.y0y0x0ax0a10由kAPkBP2，可得x20a22y2，由于y00，故a22b2.于是e2，所以椭圆的离心率e.消去y0并整理，得x0k2a2b2代入，整理得(1k2)24k2b24.整理得(1k2)x202ax00，于是x01k2代入并整理得(a22b2)y200.a2b212a222(2)证明方法一依题意，直线OP的方程为ykx，设点P的坐标为(x0，y0)由条件得y0kx0，x2y222a0b01.a2b22，由|AP|OA|，A(a,0)及y0kx0，得(x0a)2k2x20a2.整理得(1k2)x202ax00.2a而x00，于是x01k2，a又ab0，故(1k2)24k24，即k214，因此k23，所以|k|3.方法二依题意，直线OP的方程为ykx，可设点P的坐标为(x0，kx0)x2k2x22由点P在椭圆上，有a0b201.因为ab0，kx00，x2k2x22所以a0a201，即(1k2)x20a2.由|AP|OA|及A(a,0)，得(x0a)2k2x20a2，2a.(1k2)2代入，得(1k2)4a23，所以|k|3.A1B.2C.D.3(推荐时间：60分钟)一、选择题x2y21已知椭圆4b21(0b0，b0)以及双曲线a2b21的渐近线将第一象限三等分，则双曲x2y2线a2b21的离心率为()232333C2或3D.3或6答案Ax2y2b33解析由题意，可知双曲线a2b21的渐近线的倾斜角为30或60，则a或3.则e1()2或2.cc2aa2b23a3A.1B.1C.1D.1线的左焦点，即336，9，所以双曲线的方程为1.故选B.0，|OBOC|2|BCBA|，则其焦距为()3333解析由题意，可知|OC|OB|BC|，且a4，又|OBOC|2|BCBA|，故选A.x2y223已知双曲线ab21(a0，b0)的一条渐近线方程是y3x，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为()x2y2x2y236108927x2y2x2y210836279答案Bx2y2y2b解析由双曲线a2b21(a0，0)的一条渐近线方程是y3x，可设双曲线的方程为x23(0)x2y2因为双曲线a2b21(a0，b0)的一个焦点在抛物线y224x的准线上，所以F(6,0)是双曲x2y2927y2x24已知椭圆a2b21(ab0)，A(4,0)为长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且ACBC4643A.B.8623C.D.答案C12所以，|BC|2|AC|.故|OC|AC|.又ACBC0，所以ACBC.OAC为等腰直角三角形，|OC|AC|22.所以c2a2b242，c.故其焦距为2c.48324解析由已知得焦点坐标为F(，0)，因此直线AB的方程为y(x)，方法二联立方程得x2x0，22221621，解得b2不妨设点C在第一象限，则点C的坐标为(2,2)，代入椭圆的方程，得42b3.1632463338635设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()3393639A.B.C.D.答案D343334即4x43y30.方法一联立抛物线方程，化简得4y2123y90，故|yAyB|(yAyB)24yAyB6.1139因此OAB2|OF|yAyB|2464.21921621故xAxB2.213根据抛物线的定义有|AB|xAxBp2212，8同时原点到直线AB的距离为h|3|3，42(43)2A，B，C(，1)D，1)则PF1(cx，y)，PF2(cx，y)，19因此OAB2|AB|h4.x2y26椭圆M：a2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且PF1PF2的最大值的取值范围是c2,3c2，其中ca2b2，则椭圆M的离心率e的取值范围是()111242222122答案B解析设P(x，y)，F1(c,0)，F2(c,0)，PF1PF2x2y2c2.所以(x2y2)maxa2，所以(PF1PF2)maxb2，所以c2b2a2c23c2，即e2，27(2014北京)设双曲线C经过点(2,2)，且与x1具有相同渐近线，则C的方程为_；2解析设双曲线C的方程为x，C的方程为1，解析由抛物线的定义可得|MQ|MF|，F(，0)，又PQQF，故M为线段PF的中点，所以M(，1)，把M(，1)，代入抛物线y22px(p0)得，12p，9抛物线C的顶点在原点，焦点F与双曲线1的右焦点重合，过点P(2,0)且斜率为1解析因为双曲线1的右焦点坐标是(3,0)所以3，所以p6.x1x2p166所以e.故选B.答案1y2x11.故填11.又x2y2可看作P(x，y)到原点的距离的平方，11421222二、填空题y24渐近线方程为_x2y2312y24将点(2,2)代入上式，得3，x2y2312其渐近线方程为y2x.8(2014浙江东阳中学阶段考试)已知点P(0,2)，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，线段PF与抛物线C的交点为M，过M作抛物线准线的垂线，垂足为Q，若PQF90，则p_.答案2p2ppp444解得p2，故答案为2.x2y236的直线l与抛物线C交于A，B两点，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为_答案11x2y236p2即抛物线的标准方程为y212x.设过点P(2,0)且斜率为1的直线l的方程为yx2，联立y212x消去y可得x216x40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x216，所以弦AB的中点到抛物线准线的距离为22x2y210已知F1，F2是双曲线a2b21(a0，b0)的左，右焦点，点P在双曲线上且不与顶点重合，过F2作F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A.若|OA|b，则该双曲线的离心率为_答案2解析延长F2A交PF1于B点，则|PB|PF2|，依题意可得|BF1|PF1|PF2|2a.又因为点A是BF2的中点1所以得到|OA|2|BF1|，所以ba.所以c2a.所以离心率为2.三、解答题11已知曲线C上的动点P(x，y)满足到定点A(1,0)的距离与到定点B(1,0)的距离之比为2.(1)求曲线C的方程；(2)过点M(1,2)的直线l与曲线C交于两点M、N，若|MN|4，求直线l的方程解(1)由题意得|PA|2|PB|，故(x1)2y22(x1)2y2，化简得：x2y26x10(或(x3)2y28)即为所求(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1.将x1代入方程x2y26x10得y2，所以|MN|4，满足题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxk2，|3kk2|由圆心到直线的距离d2，1k2解得k0，此时直线l的方程为y2.综上所述，满足题意的直线l的方程为x1或y2.x2y212设F1，F2分别是椭圆E：a2b21(ab0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求E的离心率；(2)设点P(0，1)满足|PA|PB|，求E的方程解(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，4因为2|AB|AF2|BF2|，所以|AB|3a.l的方程为yxc，其中ca2b2.1，22ab故a2x0故椭圆E的方程为1.213(2013北京)已知A，B，C是椭圆W：y1上的三个点，O是坐标原点2解(1)由椭圆W：y1，知B(2,0)菱形的面积S|OB|AC|233.则x1x22，x1x222ab2ab23ab所以E的离心率e.x1x2a2c2c2将x1代入y1，得y.yxc，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组x2y2化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，2a2ca2(c2b2).因为直线AB的斜率为1，所以|AB|2|x2x1|2(x1x2)24x1x2.44ab2，得a22b2，a2b2c2aa2(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x02a2b23c，y0x0c3.由|PA|PB|，得kPN1，y1即01，得c3，从而a32，b3.x2y2189x24(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由x24线段OB的垂直平分线x1.在菱形OABC中，ACOB，x2342|AC|yAyC|3.1122(2)假设四边形OABC为菱形点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，可设AC的方程为ykxm(k0，m0)x24y24，由ykxm消y并整理得(14k2)x28kmx4m240.x1x2yy2xx22214k14k21，又k4k22设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则4kmm，1k1m.4kmm线段AC中点M14k2，14k2，1M为AC和OB交点，kOB4k.114AC与OB不垂直OABC不是菱形，这与假设矛盾综上，四边形OABC不是菱形
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