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本章整合,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一归纳与类比 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理.虽然猜想是否正确还有待严格的证明,但是这个猜想可以为我们的研究提供一种方向.,专题一,专题二,专题三,专题四,应用1对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出:正四面体的内切球切于四个面所在正三角形的位置是() A.各正三角形内的任一点 B.各正三角形的中心 C.各正三角形边上的任一点 D.各正三角形的某中线的中点 提示:空间中的问题可以类比平面中的问题解决. 解析:正三角形类比正四面体,正三角形的三边类比正四面体的四个面,三边的中点类比正三角形的中心. 答案:B,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一,专题二,专题三,专题四,提示:由最后一个等式可知,ak-1是第三项的系数,ak-2是第四项的系数,可观察系数的特点.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题二综合法与分析法 综合法是由已知到未知的逻辑推理方法,在我们已经储存了大量的知识,积累了丰富的经验的基础上所用的一种方法,可以使我们从已知的知识中进一步获得新知识. 分析法是一种从未知到已知的逻辑推理方法.在探求问题的证明时,它可以帮助我们构思,因而在分析问题时,较多地采用分析法,只是找到思路后,往往用综合法加以叙述.在数学证明中不能把分析法和综合法绝对分开.,专题一,专题二,专题三,专题四,应用1已知tan(+)=2tan ,求证:3sin =sin(+2). 提示:本题中的已知条件为正切,而所求证的结论为正弦,可以先把切化弦,再根据角之间的关系进一步转化.已知角为+和,所求角为和+2,其中+2=(+)+需要进行变形.,专题一,专题二,专题三,专题四,证明:tan(+)=2tan , sin(+)cos =2cos(+)sin . sin(+)cos -cos(+)sin =cos(+)sin . sin(+)-=cos(+)sin , 即cos(+)sin =sin . sin(+)cos =2sin . sin(+)cos +cos(+)sin =3sin , 即3sin =sin(+2).,专题一,专题二,专题三,专题四,应用2用分析法证明: 只需证明(x2+y2)3(x3+y3)2, 即证明x6+3x4y2+3x2y4+y6x6+2x3y3+y6, 即证明3x4y2+3x2y42x3y3. x0,y0, x2y20, 即证明3x2+3y22xy. 3x2+3y2x2+y22xy, 3x2+3y22xy成立,专题一,专题二,专题三,专题四,专题三反证法 反证法是假设原命题的结论不成立,经过正确的推理最后推出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了原命题的结论成立.这里得出的矛盾可以是与某个已知条件矛盾,可以是与某个事实、定理、公理相矛盾,也可以与自身相矛盾.反证法的使用范围:唯一性问题,“至少”“至多”类问题,问题本身是否定语气提出的问题.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一,专题二,专题三,专题四,专题四数学归纳法 数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方法.它是一种完全归纳法,它的证明共分两步,其中第一步是命题成立的基础,称为“归纳基础”(或称特殊性);第二步解决的是延续性问题(又称传递性). 不完全归纳法是从特殊出发,通过实验、观察、分析、综合、抽象概括出一般性结论的一种重要方法,运用不完全归纳法可通过对数列前n项的计算、观察、分析,推测出它的通项公式或推测出这个数列的有关性质,应明确用不完全归纳法去探索数学问题时,必须用数学归纳法对结论的正确性进行证明.,专题一,专题二,专题三,专题四,应用函数f(x)=x2-2x-3,定义数列xn如下:x1=2,xn+1是过两点P(4,5),Qn(xn,f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标.求证:2xnxn+13. 提示:本题主要考查了数学归纳法与函数及数列的综合运用.先从函数入手,表示直线方程,从而得到交点坐标,再运用数学归纳法进行证明.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一,专题二,专题三,专题四,根据(1)和(2),可知2xn0, 即xnxn+1. 综上所述,2xnxn+13恒成立.,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,2(2014陕西高考)观察分析下表中的数据: 猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是. 解析:因为5+6-9=2, 6+6-10=2, 6+8-12=2,故可猜想F+V-E=2. 答案:F+V-E=2,1 2 3 4 5,3.(2016天津高考)已知an是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的nN+,bn是an和an+1的等比中项.,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,5(2015江苏高考)已知集合X=1,2,3,Yn=1,2,3,n(nN+),设Sn=(a,b)|a整除b或b整除a,aX,bYn.令f(n)表示集合Sn所含元素的个数. (1)写出f(6)的值; (2)当n6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,
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