二阶微分中值定理

二阶微分中值定理李燕琼引理1设F(x)在上血b连续，在Qb)内可导,且F(x),A 0,那么在(玉b)内至少存在一点&使)+入冬=0引理2设F(x)在a,b连续，在(a,b)内可导， 且 F(a) = F(b),入兰6那么在(比b)内至少存在一点朿使引理3般F：F三二.三：瓦工=二 MF；E = F；t;牡x)在a,b连续,在(比b)内可导，且gf(x) 0,x已 o那么在:耳亍内至少存在一点E，使叫爭型=0g;(0g(0 - g(a)定理1设T :满足：(i )在E上连续；：在内存在偏导数；(iii) V(x”y) E 0E”f&y) = C (常数)，则至少存在一点W E E:，使得&(&) = = 0证由条件；知，：；在E上取到最大值匸与最小值二，下面分两种情况讨论：若:二=工，则:；匚丁；在上必为常数，于是Vfx. y ； E E二都有= 0. :v；x, v； = 0，即E，内任意一点都可以作为使忑E:； = 0,寸h： o成立。若f 醐，由条件(iii)可知，Y与:二至少有一个在E=内一点；三；取得，从而在驚；-点必取局部值，再由条件11及二元函数取极值的必要条件可知二:w：w = o成立。定理2已Z =弐、壬三m D内有连续的偏导数，又假定D中有两个点P4y门与P- :- ix,y:-工门并且出到已的直线电已匚D，则存在B，0 v 3 ： 1，使賈土 -沁上一冷 =“士,厂-77（X： - B沁兀-y心- 鈴 仗0 + 9Ax?y0 + 0Ay）Ay.或写成f(x0 + Ax,y0 + Ay) = f(x0?y0) + df(x0 + 9Ax,y0 + QAy).证考虑点pt；x: - 士一 显然当o t 1时，pt落在出与巴的连线上，根据定理的假设可知，在D内可微，引入一兀函数中;二: = ：；士 hw 是t的可微 函数，则dp dfdf=(x0 + t Ax? y0 + t Ay J Ax + (x0 + t Ax? y0 + t Ay J Ay.另一方面，又由一元函数的拉格朗日中值定理可知，存在 一个B，0 v耳 1，使得甲p；Q；=f(x0 + Ax,y0 + Ay) - f(x0?y0)=律仇+弘骂+ 9 Ay) Ax+(x0 + 9Ax,y0 + 9 Ay) Ay.定理 3 若二元函数满足：(i) 在闭域D内连续；(ii) 在D的内部有对江，对亍的连续偏导数;(iii) 匸：壬血化-H沁-+ 9Ax?y0 + 9Ay)Ay 丰 0;且:士-沁门-iy；,(x：1y:；为D内的点可记x = X： - ix . y =门迓则有gifxo + 9Ax,y0 + 9 Ay) Ax + g27(x0 + 9Ax,y0 + 9 Ay) Ay(0 0 1)证 设G：； = g：x: - :ix.y： 口、J - g(x：.y：)若G-；l) - G(0；： = g-：x:沁门-式-g(x：.y:; = 0则G：在0,1上满足一元函数罗尔定理的条件，存在o ：厂二 1,使得 c;(e; = o即壬；込心门y心一g2f(xo + 0Ax,yo + 9 Ay) Ay = 0与条件(iii)矛盾，故或乂一 门江-金门=0作辅助函数 F=ftx.-x.y.-iyj-gtxy,-g(xfy)-g(x0jy0)g(X!；!洛乂兀出刃血伍显然，在0.1上满足一元函数罗尔定理的条件，故存在o ：刁 ：1,使得 F；e) = oF(t) = fix0 + tZkx.yo + tAy)Ax + f?% + tAx,y + tAy)Ay -囂寫：)引匕 + 6Ax,y0 +0Ay)Ax + g2/(x0 + BAx.yo + 0Ay)Ay则 F T = 0即有f(xy)-f(xsy() _gU?y)-g(x0?y0)fJ (x()+B 处肌 + B+f(X。+B+ B Ay) A yg17xo+0Ax,yo + OAy)Ax+g2/(xo+0Ax,yo+OAy)Ay(0 0 1)