概率论与数理统计随机变量函数的分布.ppt

课件制作：应用数学系 概率统计课程组,概率论与数理统计,2.5 随机变量函数的分布,2.5.1 离散型随机变量函数的分布,2.5.2 连续性随机变量函数的分布,设随机变量 X 的分布律为,求Y=g(X)的分布律.,2.5.1 离散型随机变量函数的分布,第 一 种 情 形:,将X的取值代入函数关系，求出随机变量Y相应的取值,计算离散型随机变量函数的分布的步骤：,第 二 种 情 形:,2.5.2 连续性随机变量函数的分布,已知随机变量 X 的密度函数 f (x) (或分布函数) 求 Y = g( X ) 的密度函数或分布函数,手段：,（1） 从分布函数出发（分布函数法） （2）从密度函数出发（公式法）,1.分布函数法,(1) 根据分布函数的定义求Y的分布函数FY(y);,(2) 由 fY(y) = F(y) 求出 fY (y),解:,当a 0 时，,当a 0 时，,故,例如，设 X N ( ,2) , Y = a X +b, 则,Y N ( a +b, a22 ),特别地 ，若 X N ( , 2) ,则,例4 已知 X N (0,1) , Y = X 2 , 求 f Y (y),解,当y 0 时，FY (y) = 0,当y 0 时，,故,2、公式法（从密度函数出发）,定理 设连续型随机变量X的概率密度是fX（x） ，函数y = g（x）单调可导，其反函数x = h（y ）满足 h(y) 恒不为零。对于fX(x)0的 x， y = g（x）的值域为，则随机变量Y的概率密度为,例 5,小结： 1 一般情形下求随机变量函数的分布。 2 在函数变换严格单调时利用定理求随机变量函数 的分布。,重点：掌握一般情形下求随机变量函数分布的方 法：先求分布函数，再求导，求随机变量函数的 概率密度。,解：设Y的分布函数为 FY(y)，,FY(y)=P Y y = P (2X+8 y ),=P X = FX( ),于是Y 的密度函数,课堂练习,故,注意到 0 x 4 时，,即 8 y 16 时，,此时,Y=2X+8,