概率与统计2.2离散型随机变量.ppt

20.7.21,2.2 离散型随机变量,一、离散型随机变量的分布律,称X 是离散型随机变量.,定义：如果随机变量X 至多取可列无穷个数值：x1, x2, , 记 pi = PX = xi , 且满足,20.7.21,表示为,称 pi = PX = xi ，i = 1,2, 为X 的分布律.,质量分布图（分布律的直观解释）,质量为p1,质量为pn,总质量为1,20.7.21,上节例1中赌博彩金Y 是离散型随机变量，其分布律为：,产品检验试验,其它例子,对于离散型随机变量X ，由概率可加性，因,20.7.21,二、贝努里试验和二项分布,E1：抛一枚硬币出现正反面;,E2：检查一件产品是否合格;,E3：射击，观察是否命中;,E4：考一门课，是否通过;,贝努里试验,20.7.21,特点 关注试验的两个结果: A 和 .,实际结果可能不止两个,令随机变量,贝努里试验仅有两个基本事件 ：A和 ，,记 P(A) = p,20.7.21,思考 怎样求X 的分布函数?,则X 的分布律为,称X 服从 (01)分布,定义 将试验E 按下述条件重复进行n次,(1) 每次试验的条件不变；,(2) 各次试验的结果互不影响.,称这n次试验为n次重复独立试验.,20.7.21,当试验E 是贝努里试验，称这n次独立试验为n重贝努里试验 ，或称贝努里概型.,对于n重贝努里试验，可考察哪些问题，考虑哪些变量,？,(2) 事件A 首次发生时的试验次数Y；,(1) n次试验中事件A 发生的总次数X；,(3) 事件A 发生k次时的试验次数Z；,20.7.21,定理 在n 重贝努里试验中,事件A 发生概率为P(A) = p，0 p 1，则事件A 发生的次数 X 的分布律为,事件A在指定的k 次试验中出现的概率为,证 n重贝努里试验中，事件A 发生的总次数X 可能取数值： 0，1，2，n.,20.7.21,且各种方式的事件互不相容，由概率的有限可加性可得,结论成立.,称随机变量X 服从二项分布 ,记为X B(n, p).,(01)分布可以看作X B(1, p).,从n次试验中选出k 次试验有 种不同的方式.,20.7.21,产品抽检试验,强弱对抗试验,设备排障试验,三、泊松分布,定义：若随机变量X 的分布律为,称X 服从参数为l 的泊松分布. 记为 X P(l ).,20.7.21,泊松分布的重要性在于:,(1) 现实中大量随机变量服从泊松分布;,(2) 泊松分布可视为二项分布的极限分布.,存储问题,定理 设随机变量序列Xn B(n , pn), n = 1, 2,即有,20.7.21,证明略.,思考：你能从条件,中分析出什么结论吗？,注,20.7.21,(2) 实际问题中, n 次独立重复试验中,“稀有事件”出现的次数可认为服从泊松分布.,当n 够大, p 较小时有,其中l = n p .,设备排障试验,20.7.21,例1 某种产品在生产过程中的废品率为p（0p1），对产品逐个检查，直到检查出 5个不合格品为止，试写出停止检查时已检 查的产品个数X 的分布律.,解 关键是分析随机事件X=k,事件 X = k 相当于第k 次检查到的产品 必为不合格品，而前k 1 次检查中查出4 件 不合格品.,如指定前4次：,20.7.21,不合格,合格,进行 k 次检查，指定的5次检查出现不合格品的概率为 p5（1 p ) k 5.,故分布律为,#,从前k1次检查中选出4 次出现不合格产品共有 种不同的方式.,20.7.21,例2 设有一批同类产品共有N 个，其中次品有M 个，现从中逐个有放回地取出n 个，试求取出n 件中所含的次品件数X 的分布律.,分析 产品是逐件有放回取出，各次抽到次品是相互独立的，抽n 件产品相当于做n 重贝努里试验，并 关注事件发生的总次数.,20.7.21,故 X 的分布律为,思考：将抽取方式改为无放回抽取,试写 出X 的分布律.,#,其中 k = 0,1,2,n.,20.7.21,例3 强弱两队进行乒乓球对抗赛，得胜人数多的一方获胜，已知强队每个队员获胜的概率为0.6，下面两个方案中哪一个对弱队有利？ （1）双方各出3人； （2）双方各出7人.,解：设A = 弱队获胜，弱队获胜的人数为X.,双方逐对较量独立进行，故为独立重复试验.,（1）当双方各出3人时, X B( 3, 0.4 ),20.7.21,（2）当双方各出7人时， X B( 7, 0.4 ).,故第一种方案对弱队更有利一些.,#,20.7.21,例4 某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月销售量可以用参数为=10的泊松分布来描述。为了以95%的概率保证不脱销，问商店在月底应存多少该种商品(设仅在月底进货)？,解 设该商店每月销售件数为X，月底存货为a件,需求a使,20.7.21,这家商店在月底保证存货不少于15件就能以95%的概率保证下个月该种商品不会脱销.,20.7.21,例5 有300台独立运转的同类机床，每台机床发生故障的概率都是0.01，若一人排除一台的故障. 问至少需要多少名工人，才能保证不能及时排除故障的概率小于0.01.,解：设X 表示同一时刻发生故障的机床数,则 X B( 300, 0.01 ).,若 配N 个工人, 应使 0.01 P X N = 1 P X N ,20.7.21,即求使上述不等式成立的最小N 值.,续例4,因为3000.01 = 3 (n较大，p较小),故可认为X近似服从 = 3 的泊松分布，即 X P( 3 ).,#,20.7.21,查P288 的附表1 可得 P X 7 = 0.11905 0.01 P X 8 = 0.003803 0.01,#,所以，至少需要配备8 个修理工人.,