二次函数2课时

第 讲7 二次函数二次函数（第二课时）（第二课时）第二章第二章 函数函数1.方程方程x2-2ax+4=0的两根均大于的两根均大于1，求实数求实数a的取值范围的取值范围.设设f(x)=x2-2ax+4，由于方程，由于方程x2-2ax+4=0的两根均大于的两根均大于1，因此，据二次函数，因此，据二次函数图象应满足图象应满足:0f(1)0，解得解得故实数故实数a的取值范围是的取值范围是4a2-160a1a ，即即52a2125.a22).522，点评：点评：一元二次方程根的分布中的参数一元二次方程根的分布中的参数的取值范围问题，一般先构造对应的二次的取值范围问题，一般先构造对应的二次函数，借助二次函数的图象，对三要素函数，借助二次函数的图象，对三要素(即即判别式、二次函数的对称轴、根分布区间判别式、二次函数的对称轴、根分布区间的端点值的端点值)的符号进行分析判断，得到相应的符号进行分析判断，得到相应的不等式组，通过解不等式组便可求得参的不等式组，通过解不等式组便可求得参数的取值数的取值(范围范围).若关于若关于x的方程的方程2ax2-x-1=0在区间在区间(0，1)内内恰有一解，则实数恰有一解，则实数a的取值范围是的取值范围是()A.(0，1)B.(-1，1)C.(1，+)D.(-，-1)设设f(x)=2ax2-x-1，则则f(0)=-1.因为方程因为方程f(x)=0在区间在区间(0，1)内恰有一解，内恰有一解，所以所以f(1)0，即即2a-20，所以所以a1，故选故选C.答案：答案：C2.已知已知aR,f(x)=ax2+x-a,-1x1.(1)若若f(x)的最大值为的最大值为 求实数求实数a的值的值;(2)若若|a|1,求证求证:,178|()|.f x 54 (1)当当a=0时，时，f(x)=x,则则f(x)max=xmax=1当当a0时，时，二次函数二次函数f(x)在闭区间在闭区间-1,1上的最上的最大值只能在端点或顶点处取得大值只能在端点或顶点处取得.178；因为因为f(-1)=-1,f(1)=1，所以所以f(x)的最大值为的最大值为 只能在顶点取得只能在顶点取得,故故 a0 -1-12a1解得解得a=-2.178(),aaa2411748(2)证明：证明：|f(x)|=|a(x2-1)+x|a|x2-1|+|x|x2-1|+|x|=-|x|2+|x|+11(|).2x25544点评：点评：解决与二次函数有关的代数证明，解决与二次函数有关的代数证明，可以从两个方面入手：一是三个二次的关系可以从两个方面入手：一是三个二次的关系式的相互联系及相互转化，利用函数思想解式的相互联系及相互转化，利用函数思想解决有关不等关系或相等关系；二是利用二次决有关不等关系或相等关系；二是利用二次函数的图象特征，结合数形结合思想实现数函数的图象特征，结合数形结合思想实现数与形的转化与形的转化.设函数设函数f(x)=x2+2bx+c(cb1)，f(1)=0，且方程且方程f(x)+1=0有实根有实根.(1)证明：证明：-3c-1且且b0；(2)若若m是方程是方程f(x)+1=0的一个实根，判断的一个实根，判断f(m-4)的正负并加以证明的正负并加以证明.(1)证明：证明：f(1)=0 1+2b+c=0又又cb1，故，故得得因为方程因为方程f(x)+1=0有实根，有实根，即即x2+2bx+c+1=0有实根，有实根，.cb1212cc1，.c133 故故=4b2-4(c+1)0，即即(c+1)2-4(c+1)0，解得解得c3或或c-1.所以所以-3c-1.由由 知知b0.cb 12(2)因为因为f(x)=x2+2bx+c =x2-(c+1)x+c =(x-c)(x-1)，f(m)=-10.所以所以cm1，所以所以c-4m-4-3c.所以所以f(m-4)=(m-4-c)(m-4-1)0.所以所以f(m-4)的符号为正的符号为正.二次函数、一元二次方程和一元二次不二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，相互渗透，灵活等式是一个有机的整体，相互渗透，灵活性强，解题时要注意三者的互相转化，重性强，解题时要注意三者的互相转化，重视用函数思想处理方程、不等式问题视用函数思想处理方程、不等式问题.