2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之9、排列、组合与二项式定理

2015年高校总主招生考试数学真题分类解析专题之9、排列、组合与二项式定理一、选择题。1. （2009年复旦大学）设X是含n（n2）个元素的集合,A,B是X中的两个互不相交的子集，分别含有m,k（m,k31,m+k9）个元素，则X中既不包含A也不包含B的子集的个数是A.2n-m+2n-k-2n-m-kB.2n-m-kC.2n-2n-m-2n-k+2n-m-kD.2n+1-2n-m-2n-k+2n-m-k2. （2009年复旦大学）设有n+1个不同颜色的球，放入n个不同的盒子中,要求每个盒子中至少有一个球,则不同的放法有A.（n+1）!种B.n（n+1）!种C.（n+1）!种D.n（n+1）!种3. （2011年复旦大学）用字母a、b、c组成字长为5个字母的码字,要求每码字中a至多出现2次,b至多出现1次,c至多出现3次,则这种码字的个数是A.50B.52C.60D.624. （2011年复旦大学）设平面上有100条直线,其中无两条直线相互平行,无三条直线相交于一点,则这些直线将平面分块互异的区域.A.5050B.5051C.5052D.50535. （2011年复旦大学）小于1000的正整数中不能被3和5所整除的整数的个数是A.530B.531C.532D.5336. （2011年复旦大学）从1到100这100个正整数中任取两个不同的整数,要求其和大于100,则取法总数为A.2450B.2500C.2525D.50507. （2012年复旦大学）记2012!=1x2x3x.x2012,则2012!的值的尾部连续的0（从个位往前计数）的个数是A.504B.503C.502D.5018. （2011年同济大学等九校联考）数列an共有11项卫冋已严,且lak+1-aJ=1,k=1,2,.,10,满足这种条件的不同数列的个数为A.100B.120C.140D.1609（2010年清华大学等五校联考）欲将正六边形的各边和各条对角线都染成n种颜色之一,使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边,并且不同的三角形使用不同的3色组合,则n的最小值为A.6B.7C.8D.910（2012年清华大学等七校联考）红蓝两色车、马、炮棋子各一枚,将这6枚棋子排成一列,其中每对同字的棋子中,均为红棋子在前,蓝棋子在后,满足这个条件的不同排列方式共有A.36种B.60种C.90种D.120种二、解答题。11（2009年浙江大学）现有数字1,2,3,4,5排列而成的一个五位数组（没有重复数字）,规定:前i个数不允许是的一个排列（H4）（如32154就不可以，因为前三个数是1,2,3的一个排列）,试求满足这种条件的数组共有多少个.12. （2012年清华大学等七校联考）目前有n（n4）位乒乓球选手,他们相互进行了若干场乒乓球双打比赛，并且发现任意两名选手作为队友恰好只参加一次比赛请写出n的所有可能值.13. （2012年北京大学等十一校联考）在1,2,.,2012中取一组数,使得任意两数之和不能被其差整除,问最多能取多少个数?三、填空题。14. （2010年中南财经政法大学）某中学高三（1）班有54人，其座次号依次是1,2,3,.,54,先从中选出3名同学,若选出的这3名同学的座次号之积是5的倍数,则称为“理想抽取”,则该班所有的“理想抽取”的种数是（结果用数字作答）答案与详细解析1. C【解析】集合X的所有子集个数为2n,其中包含A的所有子集个数为2n-m，包含B的所有子集个数为2n-k，既包含A又包含B的所有子集个数为2n-m-k，因此既不包含A也不包含B的子集个数为2n-2n-m-2n-k+2n-m-k.2. D【解析】把两三土二3. C【解析】2个兀1个bj个匚有5个位置洗从里面选2个给乙再从3个中选1个给b：c|c|=3个3个b个匚有5个位墨:先从里面选2个给乙剩下3个给c：cf=10:(31个乙1个b个匚有5个位豐先从里面选1个给乙再从4个中选1个给b：CzC=207所以一共有砂卜选C丄E【解析】【解析】解法一逐歩递推用表示门条直线分成的互异区域的块数)=3:f(4)-f(3)=4:f(5i-f(4i=57.:flOu)_f99)=W0:累M#：flljC-fl-.=3-4-5-.-HjCi=5O47=fC2)=4：mf(W05051.解法二直接计算)无两条直线相互平行，无三条直线相交于一点的门条直线，把平面分成互异团或的块数为C-C-C所以顷条直线把平面分成互异区域的块数为C%o-Croc-Cfoo=5051-5. D：【解析】小于1000的正整数中能被3整除的数：3朋，,审共有333个汕于1000的正整数中能被5整除的数：5310t15.5共有购个；注意小于1000的正整数中能同时被3和5整除的正整数：1530,45：-.,990:有阳个所以小于1000的正整数中能被3整除和能被5整除的正整数共有333-199-66=466个：所以.小于1000的正整数中不能被3和5整除的正整数有:999-466=533个迭D.6. B【解析】将这100个正整数分为两组,第一组:1,2,.,48,49和第二组:50,51,.,99,100.从第二组中的51个数中任取2个，其和大于100，有种取法;对于第一组中的数1,2,.,48,49,在第二组中分别有1,2,.,48,49种取法满足其和大于100,所以取法总数为+1+2+.+48+49=2500.7. D【解析】首先将2M3进行标准素因数分解股2012!=乎神而2012!的值的尾部连续的卩的个数是由。和丫决定的一显然心匸故归根结蒂是由的方幕丫确定的故所求的尾部连续的0的个数是L+L+121?+LMO2+80-16-3=501.5511. 【解析】考虑不满足条件的数组个数:1放在第一位时,有4!个;2放在第一位,1放在第二位时,有3!个;前三位为231,312,321时，共有3x2!个；前四位为2413,2431,2341,3412,3421,3241,3142,4*(*为1,2,3的排列)时,共有7+6=13个,5s一5；8. B【解析】由+-aj=l得ak+1-ak=1或ak+1-ak=-1,从aO变到ax1=4,相当于往10个空里面任意放3个-1(或任意放7个1),所以结果数为=120,故选B.9. B【解析】从6个顶点中任取3个可以组成三角形的个数为=20,只用6种颜色时,要求每个不同三角形颜色组合不一样,则要有20种不同的颜色组合,而6种颜色最多恰能组合出20种不同的颜色组合,所以每一种颜色组合都必须恰出现一次,此时每种颜色都出现了10次(这意味着着该色的边被统计了10次).而对于三角形来说,含某边的三角形有且只有4个,则着某色的边必被统计4n次,4n不等于10,矛盾当用7种颜色时，满足条件.10. C!-二-A2_-AS3【解析】本题相当于求两个1两个3两个3共六个数组成的六位数的个数;其中部分元素顺序定根据除法法则即可:即共故符合题意的数组共有5!4!3!3x2!13=120246613=71个.12. n的所有可能取值为41或41+1,1UN*.【解析】方法一由于每两名选手恰好搭档过一次:所以搭档的数量为G沪字-注意到每场比赛需要两对搭档参与;故皿三为整数:即皿为整数即n-03lCmod4).24下面用数学归纳法证明n-0=l(niod时门为正整数一 门=4时:设4名选手为a:ba匸且对阵方案为atH-cd:ac*-*-bd:ad-*-bc. ti=3时:设5名选手为a:ba匸用总对阵方案可以_为abcd:acbe:ad-ce:a&bd:bc-de.假设n=k(k=4mfi4m+1耳弐)时:满足题意，设k名选手为咋吐.一.越则ti=kM时:由于多了4名选手环妨设为5血加触则比寒务了吐里凹-空巴=2口-3场场可取44旳刃1只零匕刊罚冷占氐；.一.卫壮+1氐，：aj3is3ib工町加”业创短及哲b4刊呦.丑3只吐+弋生阿bjsgib*另2场可取bib2b3b4：bib3b；b4：b:b4b；b3:故对n=k-4也成立:比寒方案已经列出一由数学归纳法可知:所有可能的n的值为n=4kn=4k-l(kE巧一方法二假设进行了斶比寒由一场比塞出现两对搭档可知；=肚=即4仙(门-“故n=4威41+1JN下面用数学归纳法证明当口=41+1时可以构造出满足要求的比塞一 当1=时假设这名选手分别是ARCQE可以安排如下比寒：ABYD川CBE,BCDE=AEBD=AHZE- 假设It咄寸可以构造出满足要求的比寒那么1呦+1时假设这4n用位选手为WGDEF時码時,F幕F爲,由归纳假设知问以安排巳F、Ff-F時已店爲之商满足要求的比寒一又由知可以安排AEQDE之间满足要求的比塞,故只需安排扎睬与時昭時時列mF却之间满足要求的比塞一安排女吓:AFf-RFf:AFfTF卜匸F$一DF徉FfDFi=12讥故1卫-1时可以构造出满足要求的比寒-由知当11=41+1时可以构造出满足要求的比塞一同理可证当ti=41B寸也可以构造出满足要求的比赛一综上可知H的所有可能取值为4威13.671【解析】方法一考虑mod3的剩余类:A0=3k|k=1,2,3,4,.,670,A厂3k+l|k=0,l,2,3,.,670,A2=3k+2|k=0,l,2,.,670,其中元素最多的是A：和投吐匀含671个数：不妨取Ai.由于Ai中任意两数之差都是3的倍数:而两数之和被3除余二显然符合.另一方面:若取b化个数:则必有两个数已尢之差小于m不妨设恥b)：若已-匕=1：显然(a-b)|(a-b);若已7=1：则址b同奇偶:仍有(.a-b)|(a-b).综上:至多可以取&71个数.方法二将1,2,2012分成(12哄和易,200彰0,2010入(2011;2012);共6门组.如果取n个数6?1：则由抽屉原理可知:必然有两个数属于同一组:不妨将这两个数设为也b且令3此则a-tl或2,当a-tl时:此时3-b整除尸也不符合要求首a-b=2时證与b同奇偶:所以.a-b为偶数:从而a-b也能整除已7：也不符合要求.所以広671取1斗7,2011这671个数中的任意两个数1収不妨令亞也则a-b=3k-2;keN*;而a-b=3：;：ey:所以已-匕不能整除已-也从而可知:最多能取丹1个数.1丄11560【解析】所选3个数字只要有1个是壬的倍数贝其乘积就是壬的倍数一任意选取3个数字的选法有C基种，其中3个数字都不是的倍数的选法有种,因此符合题青的选法种数为黑(：汁11预一【解析】所选3个数字只要有1个是5的倍数，则其乘积就是5的倍数一任意选取3个数字的选法有爲4种其中3个数字都不是5的倍数的选法有种,因此符合题意的选法种数为Cj4-C4=H560.