检测系统的误差合成课件

第2章 检测系统的误差合成检测系统的误差合成 2.1 测量误差的基本概念测量误差的基本概念 2.2 随机误差及其处理随机误差及其处理 2.3 系统误差的处理系统误差的处理 2.4 测量粗大误差的存在判定准则测量粗大误差的存在判定准则 2.5 测量系统的误差计算方法测量系统的误差计算方法 2.6 测量系统最佳测量方案的确定测量系统最佳测量方案的确定 参考书：参考书：费业泰，费业泰，误差理论与数据处理误差理论与数据处理，机械工业出版社，机械工业出版社研究误差的意义研究误差的意义 由于实验方法和实验设备的由于实验方法和实验设备的不完善不完善，周围环境，周围环境的影响，以及受人们的认识能力的限制等，的影响，以及受人们的认识能力的限制等，测量和测量和实验所得的数据实验所得的数据和和被测量的真值被测量的真值之间，之间，不可避免不可避免的的存在差异存在差异，这在数值上即表现为，这在数值上即表现为误差误差。为了充分认。为了充分认识，并进而减小或消除误差，必须对测量过程和科识，并进而减小或消除误差，必须对测量过程和科学实验中学实验中始终存在始终存在着的误差进行研究。着的误差进行研究。在科学实验与工程实践中，在科学实验与工程实践中，任何测量结果都存任何测量结果都存在误差在误差。研究误差的意义：研究误差的意义：v正确认识误差的性质，分析产生误差的原因，以正确认识误差的性质，分析产生误差的原因，以减小或消除误差。减小或消除误差。v正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据。以便在一定条件下得到更接近于真值的数据。v正确组织实验过程，合理设计或选用仪器和测量正确组织实验过程，合理设计或选用仪器和测量方法，以便在最经济的条件下得到理想的结果。方法，以便在最经济的条件下得到理想的结果。从根本上，消除或减小误差从根本上，消除或减小误差通过计算得到更接近真值的数据通过计算得到更接近真值的数据根据目标确定最佳系统根据目标确定最佳系统2.1 测量误差的基本概念测量误差的基本概念 2.1.1 测量误差的名词术语测量误差的名词术语（1）真值）真值 指一定的时间及空间条件下，某物理量体现的指一定的时间及空间条件下，某物理量体现的真实数值真实数值。真值是客观存在，但不可测量的，是一个理想的概念真值是客观存在，但不可测量的，是一个理想的概念。在测量中，一方面在测量中，一方面无法获得真值无法获得真值，而另一方面又往往，而另一方面又往往需要需要运用真值运用真值。因此，在实际计量和测量工作中，经常使用。因此，在实际计量和测量工作中，经常使用“约定约定真值真值”和和“相对真值相对真值”。约定真值约定真值是指对给定的目的而言，他被认为充分接近于真是指对给定的目的而言，他被认为充分接近于真值，因而值，因而可以代替真值来使用可以代替真值来使用。在实际测量中，被测量的实际在实际测量中，被测量的实际值、已修正过的算术平均值均可作为约定真值。值、已修正过的算术平均值均可作为约定真值。相对真值相对真值叫实际值，是在叫实际值，是在满足规定准确度时满足规定准确度时用来代替真值用来代替真值使用的值。使用的值。（2）标称值）标称值 计量或测量器具上标注的量值。计量或测量器具上标注的量值。如如:标准砝码上标出的标准砝码上标出的1kg，受制造、测量及环境条件变化的影响，标称值并不一定等于他的受制造、测量及环境条件变化的影响，标称值并不一定等于他的实际值。为此，通常在给出标称值的同时也给出他的实际值。为此，通常在给出标称值的同时也给出他的误差范围误差范围或或精度等级精度等级。（3）示值）示值 由测量仪器给出或提供的量值，也称由测量仪器给出或提供的量值，也称测量值，显示值测量值，显示值。（4）测量结果）测量结果 由测量所得的测量值。在测量结果的表述中，除了示值，还由测量所得的测量值。在测量结果的表述中，除了示值，还应包括应包括测量不确定度测量不确定度和有关和有关影响量影响量的值。的值。（5）测量结果的精度）测量结果的精度 反映测量结果与真值接近程度的量。反映测量结果与真值接近程度的量。他与误差大小相对应，他与误差大小相对应，即：即：误差大，精度低；误差小，精度高误差大，精度低；误差小，精度高。也就是说精度是从另。也就是说精度是从另一角度评价测量误差大小的量，可细分为：一角度评价测量误差大小的量，可细分为：（a）准确度）准确度（反映测量中（反映测量中系统误差系统误差的大小，即测量结果偏离真的大小，即测量结果偏离真值的程度），值的程度），（b）精密度）精密度（反映测量中（反映测量中随机误差随机误差的大小，即测量结果的分散的大小，即测量结果的分散程度），程度），（c）精确度）精确度（反映测量中（反映测量中系统误差与随机误差综合影响系统误差与随机误差综合影响的程的程度）。度）。不精密（随机误差大）不精密（随机误差大）准确（系统误差小）准确（系统误差小）精密（随机误差小）精密（随机误差小）不准确（系统误差大不准确（系统误差大）不精密（随机误差大）不精密（随机误差大）不准确（系统误差大）不准确（系统误差大）精密（随机误差小）精密（随机误差小）准确（系统误差小）准确（系统误差小）任何一次测量中，系差和随差都是任何一次测量中，系差和随差都是同时存在同时存在的，而且两者的，而且两者之间之间并没有严格的界限并没有严格的界限。图2.1 测量的准确度与精密度 A为被测量真值，为被测量真值，Aa、Ab分别是两组测量的平均值。分别是两组测量的平均值。精密度精密度与准确度的区别与准确度的区别由图由图2.1可知，可知，曲线曲线1表示准确却不精密表示准确却不精密（小，小，大）的测量，大）的测量，曲线曲线2表示精密却不准确表示精密却不准确（小，小，大）的测量。要大）的测量。要同时兼顾准确度和精密度，才能成为精确的测量。同时兼顾准确度和精密度，才能成为精确的测量。（6）测量不确定度）测量不确定度 表征被测量的真值在某量值范围内不能肯定程度的一个估表征被测量的真值在某量值范围内不能肯定程度的一个估计。即计。即不确定度就是测量误差极限估计值的评价不确定度就是测量误差极限估计值的评价。通常采用统。通常采用统计方法和非统计方法估计不确定度。计方法和非统计方法估计不确定度。（7）测量误差）测量误差 测量结果与被测量真值之差，即：测量结果与被测量真值之差，即：测量误差测量误差=测量结果真值。测量结果真值。2.1.2 测量误差的分类测量误差的分类 为便于分析与处理误差，为便于分析与处理误差，按照其特点与性质按照其特点与性质，可将误差分为，可将误差分为系统误差系统误差、随机误差随机误差和和粗大误差粗大误差三大类。三大类。（1）系统误差）系统误差 在相同条件下，对同一被测量进行在相同条件下，对同一被测量进行多次重复测量多次重复测量时，出现时，出现某种某种保持恒定保持恒定或或按一定规律变化按一定规律变化着的误差称为系统误差。着的误差称为系统误差。系统误差系统误差根据其变化规律根据其变化规律又可分为又可分为已定系统误差已定系统误差（误差大（误差大小和符号已知）和小和符号已知）和未定系统误差未定系统误差（误差大小和符号未知，但可（误差大小和符号未知，但可以估计其范围）。在测量中，已定系统误差可以通过以估计其范围）。在测量中，已定系统误差可以通过修正修正来消来消除，且应当消除此类误差。除，且应当消除此类误差。系统误差系统误差按误差的规律按误差的规律可分为可分为不变系统误差不变系统误差（误差大小和（误差大小和方向为固定值）和方向为固定值）和变化系统误差变化系统误差（误差大小和方向为变化的）。（误差大小和方向为变化的）。变化系统误差变化系统误差按其变化规律又可分为按其变化规律又可分为线性系统误差线性系统误差、周期性系周期性系统误差统误差和和复杂规律系统误差复杂规律系统误差等。等。图2.2 系统误差a不变系统误差；b线性系统误差；c非线性系统误差；d周期性系统误差；e复杂规律系统误差 dtabce（2）随机误差）随机误差 在在相同条件相同条件下，对同一被测量进行下，对同一被测量进行多次重复测量多次重复测量时，受偶时，受偶然因素影响而出现然因素影响而出现误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化着着，则此类误差称为随机误差。，则此类误差称为随机误差。引起随机误差的原因都是一些微小因素，只能用概率论和引起随机误差的原因都是一些微小因素，只能用概率论和数理统计方法计算它出现可能性的大小。数理统计方法计算它出现可能性的大小。随机误差不可能修正，随机误差不可能修正，但在了解其统计规律性之后，可以控制和减少它们对测量结果但在了解其统计规律性之后，可以控制和减少它们对测量结果的影响。的影响。随机误差具有以下特性：随机误差具有以下特性：1）绝对值相等、符号相反的误差在多次重复测量中出现绝对值相等、符号相反的误差在多次重复测量中出现的的可能性相等可能性相等；2）在一定测量条件下，随机误差的在一定测量条件下，随机误差的绝对值不会超出某一绝对值不会超出某一限度限度；3）绝对值小的随机误差绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差在多次重比绝对值大的随机误差在多次重复测量中出现的机会多（复测量中出现的机会多（概率大概率大）；）；4）随机误差的算术平均值随机误差的算术平均值随测量次数的增加而趋于零。随测量次数的增加而趋于零。（3）粗大误差）粗大误差 在测量结果中有在测量结果中有明显错误的误差明显错误的误差称为粗大误差，也称为寄称为粗大误差，也称为寄生误差。这种误差主要是生误差。这种误差主要是由于某种不正常的原因造成的由于某种不正常的原因造成的，在数，在数据处理时，应该据处理时，应该剔除剔除含有粗大误差的数据，含有粗大误差的数据，但必须有充分依据但必须有充分依据。2.1.3 误差产生的原因误差产生的原因 误差的来源误差的来源 测量装置误差测量装置误差 环境误差环境误差 方法误差方法误差 人员误差人员误差2.1.4 测量误差的表示方法测量误差的表示方法（1）绝对误差）绝对误差 被测量的测量值与其真值之差称之为测量绝对误差，简称被测量的测量值与其真值之差称之为测量绝对误差，简称误差，即误差，即 测量误差测量误差=测量结果真值测量结果真值 用某电压表测量电压，电压表的示值为用某电压表测量电压，电压表的示值为226226V V，查，查该表的检定证书，得知该电压表在该表的检定证书，得知该电压表在220220V V附近的误差附近的误差为为5 5V V ，被测电压的，被测电压的修正值修正值为为5 5V V ，则修正后的测，则修正后的测量结果为量结果为226+(226+(5 5V V)=221)=221V V。测得值相对真值绝对误差修正值：修正值：为了消除为了消除固定的系统误差固定的系统误差用代数法加到测量结用代数法加到测量结果上的值。果上的值。修正值修正值=相对真值测量结果相对真值测量结果测量误差测量误差%100%100测量结果绝对误差真值绝对误差相对误差定义：定义：被测量的绝对误差与其真值之比值的百分数值称为相对被测量的绝对误差与其真值之比值的百分数值称为相对误差，即：误差，即：（2）相对误差）相对误差 绝对误差的表示方法不能反映测量结果的准确程度。绝对误差的表示方法不能反映测量结果的准确程度。比比如，测量两个电阻如，测量两个电阻R R1 11010、R R2 210001000，测量过程中的误差，测量过程中的误差R R1 10.10.1、R R2 21,1,但不能说但不能说R R1 1比比R R2 2测量地准确。测量地准确。例：例：用两种方法测得工件用两种方法测得工件 的误差分别的误差分别为：为：，无论从，无论从绝对误差绝对误差还是还是相对相对误差误差看，显然第一种方法精度较高，但若用第三种方法测得：看，显然第一种方法精度较高，但若用第三种方法测得：时的误差为时的误差为 ，从，从绝对误差绝对误差上不好判上不好判定精度的高低，因为定精度的高低，因为 不是同一被测量，此时三者的相对误不是同一被测量，此时三者的相对误差为：差为：mmL1001mml01.01mml02.02mmL1802mml02.0312,LL%011.0%10018002.0%02.0%10010002.0%01.0%10010001.0231211LlLlLl由此可见，第一种方法精度最好，第三种方法次之，第二种方法由此可见，第一种方法精度最好，第三种方法次之，第二种方法最差。最差。%100仪表测量范围上限仪器仪表示值误差引用误差（3）引用误差）引用误差 引用误差为仪器仪表示值误差与仪表测范围上限的百分比，引用误差为仪器仪表示值误差与仪表测范围上限的百分比，即：即：引用误差是为了评价引用误差是为了评价测量仪表精度等级测量仪表精度等级而引入的。而引入的。测量仪表的测量仪表的精度等级精度等级应用应用最大引用误差最大引用误差，即绝，即绝对误差的最大绝对值对误差的最大绝对值|x|m与量程与量程X Xm m的比值的比值m m：%100|mmmXx%100|mmmXx国家标准国家标准GB776-76GB776-76测量指示仪表通用技术条件测量指示仪表通用技术条件规规定，定，电测仪表准确度等级指数电测仪表准确度等级指数分为分为7 7个等级：个等级：0.1,0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.00.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0，它们表示仪表的最，它们表示仪表的最大引用误差不能超过其等级指数大引用误差不能超过其等级指数的百分数。的百分数。例如，例如，1.51.5级的电表，表明其级的电表，表明其m m1.5%1.5%例例2-22-2：检定一台量程为检定一台量程为5A5A的的1.51.5级的电流表，在电流级的电流表，在电流为为2.0A2.0A处，其绝对误差为处，其绝对误差为0.1A0.1A，问此电流表精度是，问此电流表精度是否合格？否合格？解：由题意解：由题意I Im m5A5A，1.51.5，I I2.0A2.0A，I I0.1A0.1A%5.1%0.2%100mII此电流表精度不合格。此电流表精度不合格。例例2-32-3：测量一个约测量一个约80V80V的电压，现有两块电压表，一的电压，现有两块电压表，一块量程为块量程为300V 300V 0.50.5级级，另一块量程为，另一块量程为100V 100V 1.01.0级级，问问选择哪一块电压表好？选择哪一块电压表好？解：使用量程为解：使用量程为300V 0.5300V 0.5级电压表，测量的最大相对级电压表，测量的最大相对误差为：误差为：%88.180300%5.01VV%25.180100%0.12VV使用量程为使用量程为100V 1.0100V 1.0级电压表，测量的最大相对误级电压表，测量的最大相对误差为：差为：因此，应使用量程为因此，应使用量程为100V 1.0100V 1.0级的电压表。级的电压表。选择仪表时，尽量使被测量接近满量程，至少为满选择仪表时，尽量使被测量接近满量程，至少为满量程的量程的2/32/3。（4）分贝误差）分贝误差分贝误差定义为：分贝误差定义为：分贝误差的单位为分贝误差的单位为dB。真值测量结果分贝误差lg20 随机误差随机误差：服从大数统计规律的误差。：服从大数统计规律的误差。在相同的条件下，重复测量某一量时，每次测在相同的条件下，重复测量某一量时，每次测量的随机误差或正或负，不能预知；但多次测量的量的随机误差或正或负，不能预知；但多次测量的总体却总体却服从正态分布服从正态分布。2.2 随机误差及其处理随机误差及其处理 随机误差的特点正态分布随机误差的特点正态分布 若测量结果中若测量结果中不含系统误差和粗大误差不含系统误差和粗大误差，测量，测量列中的列中的随机误差随机误差一般有以下几个特点：一般有以下几个特点：v误差的对称性误差的对称性：绝对值相等的正误差和负误差出：绝对值相等的正误差和负误差出现的次数（概率）相等；现的次数（概率）相等；v误差的单峰性误差的单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多（概率大）；差出现的次数多（概率大）；v误差的有界性误差的有界性：在一定的测量条件下，随机误差：在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定的界限；的绝对值不会超过一定的界限；1.误差的抵偿性误差的抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差：随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零。的算术平均值趋向于零。随机误差随机误差 是是测量结果测量结果与在与在重复条件重复条件下对同一被测量下对同一被测量进行进行无限多次无限多次测量所得结果的平均值（测量所得结果的平均值（真值真值）A A之之差。即差。即 iAxiiniinxnA11lim式中：式中：正态分布的随机误差正态分布的随机误差 的概率密度的概率密度 为为)(f)2(2221)(efnnii12为均方根误差：为均方根误差：2.2.1 随机误差的概率分布随机误差的概率分布 由于随机误差是由测量中一系列随机因素所引起的，因而由于随机误差是由测量中一系列随机因素所引起的，因而随机变量的随机变量的分布函数分布函数可用来可用来描述随机误差取某一范围值及取值描述随机误差取某一范围值及取值的概率的概率。若有一非负函数。若有一非负函数 ，使得对任意的实数，使得对任意的实数 有分布函有分布函数数 ：则称则称 为的概率分布密度函数，即为的概率分布密度函数，即 xfx xF dxxfxFx dxxfaFbFbxaPba xf 为误差在为误差在a与与b之间的概率。之间的概率。xf 222,2exp21mNmxxf1、正态分布、正态分布如果用函数如果用函数 来表示各个来表示各个测得值出现的概率密度分布函数测得值出现的概率密度分布函数，则：则：称为称为正态分布函数正态分布函数或或高斯分布函数高斯分布函数。由此可见，只要参数。由此可见，只要参数m和和已知，正态分布曲线就确定了。所以已知，正态分布曲线就确定了。所以m和和是决定正态分布曲线是决定正态分布曲线的两个特征参数，其中的两个特征参数，其中m表示测得值分布的集中位置，称为正态表示测得值分布的集中位置，称为正态分布的分布的位置特征位置特征，m值改变时，分布曲线沿横坐标移动，而形状值改变时，分布曲线沿横坐标移动，而形状不变。不变。则表示测得值的则表示测得值的分散程度分散程度，称为，称为离散特征离散特征。当。当改变时，改变时，分布曲线位置不变，但形状改变。分布曲线位置不变，但形状改变。2NmxNiiN12lim 为为均方差均方差（标准偏差），而即（标准偏差），而即2为方差，即为方差，即 小，则曲线尖锐，表示测得值的离散性小，也即小误差出现小，则曲线尖锐，表示测得值的离散性小，也即小误差出现的机会越多，而大误差出现的机会少，即测量精度高；反之，的机会越多，而大误差出现的机会少，即测量精度高；反之，大，曲线平坦，表示所测得值分散。大，曲线平坦，表示所测得值分散。当测量次数趋于无穷大时，当测量次数趋于无穷大时，m即为真值。即为真值。通常所说随机误差服从正态分布是从统计角度而言的，也就通常所说随机误差服从正态分布是从统计角度而言的，也就是是针对测量次数极大而测量分辨率又极高的测量情况而言针对测量次数极大而测量分辨率又极高的测量情况而言的。的。实验数据分析中，常常采用去偏差并归一化的前处理方法，即设标准单位利用标准正态分 布进行分析考察，如式 表2.1给出了标准正态分布 的一些 与 的代表数值。mxt1,0N 2exp212ttfy1,0Nt tfT 或 z 0.00 0.50 0.6745 0.7979 1.00 1.96 2.00 3.00 概率密度tf 0.3989 0.3521 0.3177 0.2901 0.2420 0.0584 0.054 0.0044 0.00 置信概率 z 0.0000 0.3829 0.5000 0.5751 0.6827 0.9500 0.9545 0.9973 1.0000 表2.1 正态分布的概率密度和置信概率的数值表 dxxfaFbFbxaPba测量结果在区间测量结果在区间a,ba,b内的概率为：内的概率为：在研究随机误差的统计规律时，不仅要知道随机变量在研究随机误差的统计规律时，不仅要知道随机变量在哪个范围内取值，而且要知道在哪个范围内取值，而且要知道在该范围内取值的概率在该范围内取值的概率，两者是相互关联的。两者是相互关联的。置信区间：置信区间：定义为随机变量取值的范围，常用正态分定义为随机变量取值的范围，常用正态分布的标准误差布的标准误差 的倍数来表示，即的倍数来表示，即 ，其中，其中 为置信为置信系数。系数。置信概率：置信概率：随机变量在置信区间随机变量在置信区间 内取值的概率，内取值的概率，即：即：置信水平：置信水平：表示随机变量在置信区间以外取值的概率，表示随机变量在置信区间以外取值的概率，即：即：zzz zxzzdxedxxfzxpz022222 zxpzz1置信系数置信系数Z越大，置信区间就越宽，置信概率就越大，越大，置信区间就越宽，置信概率就越大，对测量精度的要求就越低。对测量精度的要求就越低。2.2.2 随机误差的估计随机误差的估计 1、随机误差的表示方法、随机误差的表示方法由前面分析可知，由前面分析可知，在一定的置信概率在一定的置信概率P下下，真值，真值 一定落在一定落在以测得值以测得值 为中心，以误差限为中心，以误差限 为区间的一个范围内，为区间的一个范围内，即即 （2.16）式中式中 由于所取由于所取置信概率不同置信概率不同，以及表示误差的习惯差异，以及表示误差的习惯差异，误差有各种表示方法，但以下面两种情况最为常见。误差有各种表示方法，但以下面两种情况最为常见。mxkkxmNmxNii12 标准偏差所对应的置信度标准偏差所对应的置信度P=68.3%，置信系数，置信系数k1，即真，即真值值 处于处于 范围内的可信程度为范围内的可信程度为68.3%。mix 从正态分布曲线的几何图形上看，当从正态分布曲线的几何图形上看，当 处正好是曲处正好是曲线的拐点，也即当线的拐点，也即当 以后，概率密度变化比较慢，这就是以后，概率密度变化比较慢，这就是选用标准差作为误差限的理由之一。选用标准差作为误差限的理由之一。mx mx1)标准偏差标准偏差 当置信系数当置信系数 时，置信度时，置信度P=99.73%，故可以认为真值落，故可以认为真值落在在 范围内的概率已接近范围内的概率已接近100%。因此，在工程测试中常以。因此，在工程测试中常以 这个参数来表示测量精度，称为这个参数来表示测量精度，称为极限误差极限误差或或最大误差最大误差，用，用 表表示，即示，即33m3m3k2)极限偏差极限偏差 当每个测量结果当每个测量结果 按按 正态分布时，一组测量数据正态分布时，一组测量数据 的平均值为：的平均值为：ix2,mNNxxx,21NNiixxxNxNx211112、真值与标准偏差的估计、真值与标准偏差的估计 测量的主要任务是求得被测量的真值测量的主要任务是求得被测量的真值。真值真值是对同一检测是对同一检测量在同样条件下进行量在同样条件下进行无限多次测量无限多次测量所取得的所取得的测量平均值测量平均值。由于。由于实际测量中的测量次数是有限的实际测量中的测量次数是有限的，所以，所以测量平均值并不等于真测量平均值并不等于真值值。其数学期望值恰好就是真值其数学期望值恰好就是真值m，即：，即：mmNxENxENiNii1111说明说明数据平均值就是真值数据平均值就是真值 的无偏估计的无偏估计，即当，即当 时，时，。mNmx NNNxDNxNDxDNiiNiix2221212111Nx由于由于 也属于正态分布，因此可以也属于正态分布，因此可以用用 的标准偏差来表征的标准偏差来表征 的离的离散度散度，由误差传递法则可得：，由误差传递法则可得：xxx其其标准偏差标准偏差为：为：此式表明，子样平均值的方差此式表明，子样平均值的方差 并不等于母体方差并不等于母体方差 ，而只是，而只是它的它的N分之一。由这一结论可分之一。由这一结论可推论到等精度测量条件下，推论到等精度测量条件下，多批多批次测量次测量（即分组多次测量）所获得的平均值（也即分组平均值（即分组多次测量）所获得的平均值（也即分组平均值的平均值）的平均值）要要比单批次测量所获得的结果精确比单批次测量所获得的结果精确，而且测量次，而且测量次数越多，数越多，越小，越小，越向母体真值越向母体真值 集中，即用集中，即用 作为作为 的最的最佳估计值的离散度越小。然而，由于佳估计值的离散度越小。然而，由于 与与 成反比，随着测量成反比，随着测量次数增加，次数增加，值的减小逐渐不显著了，故并非值的减小逐渐不显著了，故并非N越大越好。越大越好。2x2ixxmmixixxNx 由上所述，由上所述，通常把测量数据的通常把测量数据的算术平均值算术平均值作为被测量真作为被测量真值值m的最佳估计值的最佳估计值，即，即niixnxm11定义残差：定义残差：把把测量值测量值与与算术平均值算术平均值之差称为之差称为剩余误剩余误差差（残余误差），简称（残余误差），简称残差残差，即，即XXii 因为无法得到因为无法得到真值真值，实际中用各个，实际中用各个残差残差来代替来代替各个各个随机误差随机误差。3、标准偏差、标准偏差的估计的估计例：例：测量某物理量测量某物理量1010次，估计其真值并计算每次测量次，估计其真值并计算每次测量的残差。的残差。测量结果：测量结果：1879.641879.64、1879.691879.69、1879.601879.60、1879.691879.69、1879.571879.57、1879.621879.62、1879.641879.64、1879.651879.65、1879.641879.64、1879.651879.6564.187910111011iiniiXXnX平均值：平均值：残差：残差：00.064.187964.187911XX05.064.187969.187922XX 2121221212122mxNmxmxmxmxmxmxmxxxvSNiiNiiiNiiNiiNii 2222122121NNNNmxNEmxEmxNmxESENiiNii21NSE先考虑残差平方和S则的期望值为：即标准偏差标准偏差的估计：的估计：所以，方差的无偏估计为：无偏标准偏差为：11122NSNvNii1112NvNSNii平均值的标准偏差的无偏估计值 为：1NNSx由于由于真值真值A A未知未知，无法使用：，无法使用：Axii 来计算来计算随机误差随机误差，故，故用平均值代替真值用平均值代替真值，即，即用残余用残余误差来代替随机误差误差来代替随机误差。可以证明可以证明，测量列单次测量，测量列单次测量标准差的估计值标准差的估计值为：为：niiniinXXnX121211)(11)(上式称为上式称为贝塞尔（贝塞尔（BesselBessel）公式）公式，根据此公式可由，根据此公式可由残余误差求得单次测量的残余误差求得单次测量的标准差的估计值标准差的估计值。（1 1）测量列中测量的标准差）测量列中测量的标准差 测量列中各个测量值围绕着该测量列的算术平均值有一定测量列中各个测量值围绕着该测量列的算术平均值有一定的分散性，此分散性说明了测量的的分散性，此分散性说明了测量的不可靠性不可靠性，由，由单次测量列的单次测量列的标准差来作为其不可靠的评定标准标准差来作为其不可靠的评定标准。总结：总结：算术平均值的标准差：算术平均值的标准差：nX（2 2）测量列算术平均值的标准差）测量列算术平均值的标准差 在测量中，是以算术平均值作为测量结果的，在测量中，是以算术平均值作为测量结果的，因此必须研究因此必须研究算术平均值不可靠性算术平均值不可靠性的评定标准的评定标准测测量列算术平均值的标准差量列算术平均值的标准差。由此可知，在由此可知，在n次测量的测量列中，算术平均值的标准差次测量的测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的为单次测量标准差的 。当测量列的。当测量列的测量次数测量次数n越大越大，算术，算术平均值越接近测量值的真值，平均值越接近测量值的真值，测量精度也越高测量精度也越高。在实际测量在实际测量中，一般取中，一般取n次左右即可。次左右即可。n1 例例 甲、乙二人分别用甲、乙二人分别用不同的方法不同的方法对对同一电感同一电感进行多次测进行多次测量结果如下（均无系统误差及粗差）：量结果如下（均无系统误差及粗差）：甲甲(mH)(mH)：1.281.28，1.311.31，1.271.27，1.261.26，1.191.19，1.251.25 乙乙(mH)(mH)：1.191.19，1.231.23，1.221.22，1.241.24，1.251.25，1.201.20试根据测量数据对他们的测量结果进行评价（求算术平均值及试根据测量数据对他们的测量结果进行评价（求算术平均值及其标准差）其标准差）解：解：算术平均值：算术平均值：26.16161iaiaxX22.16161ibibxXv求各个残差：求各个残差：aaiaiXXbbibiXXv使用使用贝塞尔公式贝塞尔公式求甲乙二人测量的标准差求甲乙二人测量的标准差：04.01112niaian023.01112nibibnv求算术平均值的标准差求算术平均值的标准差：0164.0604.0naXa0095.06023.0nbXb可见两人测量次数虽相同、但可见两人测量次数虽相同、但甲的算术平均值的标准差估计值甲的算术平均值的标准差估计值相差较大相差较大，表明乙所进行的测量精密度高。，表明乙所进行的测量精密度高。例：例：对某量进行对某量进行6 6次测量，测得结果如下：次测量，测得结果如下：802.40,802.40,802.50,802.38,802.48,802.42,802.46802.50,802.38,802.48,802.42,802.46,求算术求算术平均值及置信概率为平均值及置信概率为95.44%95.44%（正态分布）时算术平（正态分布）时算术平均值的极限误差。均值的极限误差。解：解：44.8026161iixX算术平均值：算术平均值：标准差：标准差：算术平均值的标准差：算术平均值的标准差：047.01112niain019.06047.0nX置信概率为置信概率为95.44%95.44%（正态分布），得到置信系数（正态分布），得到置信系数t=2t=2038.0019.02limXXt算术平均值的极限误差：算术平均值的极限误差：单次测量的极限误差：单次测量的极限误差：094.0047.02limtX即单次测量的误差绝对值不超过即单次测量的误差绝对值不超过0.0940.094的概率为的概率为95.44%95.44%即即多次测量的平均值误差多次测量的平均值误差的绝对值不超过的绝对值不超过0.0380.038的概率为的概率为95.44%95.44%5 5、测量结果的数字表示方法测量结果的数字表示方法）如果已知测量列标准偏差为）如果已知测量列标准偏差为 ，作一次测量，作一次测量，测得值为测得值为X X，则通常将被测量，则通常将被测量X X的大小表示为的大小表示为）当用）当用n n次等精度测量的算术平均值次等精度测量的算术平均值 作为测量结作为测量结果时，其表达式为果时，其表达式为 tXXoXXtXX02.3 系统误差的处理系统误差的处理 系统误差的特点是在一定条件下，系统误差的特点是在一定条件下，其数值服从某一确切其数值服从某一确切函数规律函数规律，故其处理方法原则上可结合专业知识，通过理论故其处理方法原则上可结合专业知识，通过理论分析或实验方法加以掌握。分析或实验方法加以掌握。由于系统误差常涉及到对具体测由于系统误差常涉及到对具体测量对象、测量原理及测量方法的具体分析，因此，量对象、测量原理及测量方法的具体分析，因此，系统误差系统误差的发现与处理往往比随机误差困难得多，而系统误差的存在的发现与处理往往比随机误差困难得多，而系统误差的存在对测量结果的影响也比随机误差严重，对测量结果的影响也比随机误差严重，所以，必须消除系统所以，必须消除系统误差的影响，以将其降低到允许限度之内。对系统误差的处误差的影响，以将其降低到允许限度之内。对系统误差的处理，通常涉及到以下几个方面：理，通常涉及到以下几个方面：1）判断系统误差是否存在；判断系统误差是否存在；2）分析产生系统误差的原因以及在测量前尽量消除；分析产生系统误差的原因以及在测量前尽量消除；3）在测量过程中采取某些有效措施，尽量消除或减小系统在测量过程中采取某些有效措施，尽量消除或减小系统误差的影响；误差的影响；4）设法估计出残存系统误差的数位或范围。设法估计出残存系统误差的数位或范围。1、恒值系差的判别、恒值系差的判别 实验对比法。实验对比法。这种方法主要是这种方法主要是用于发现不变系统误差（恒值用于发现不变系统误差（恒值系差）系差）。例如。例如0级量块，公称尺寸级量块，公称尺寸 时，由于制造偏差，时，由于制造偏差，其中心长度相对其中心长度相对 有一不变系统误差有一不变系统误差 ，多次重复测量不能，多次重复测量不能发现此误差，当用发现此误差，当用一等量块一等量块与其比较测量时，就可检定出与其比较测量时，就可检定出0级量级量块中心长度实际值块中心长度实际值 ，系统误差，系统误差 可以找出来。可以找出来。mml20mm20llllll 系统误差的系统误差的特征特征是是在同一条件下，多次测量同一量值时，在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化定的规律变化。系统误差系统误差不具有抵偿性不具有抵偿性，它是固定或服从某一确定规律变，它是固定或服从某一确定规律变化的误差。化的误差。系统误差有系统误差有恒值系差恒值系差和和变值系差变值系差两种情况，下面分两种情况，下面分别介绍这两种系差的常用判别方法。别介绍这两种系差的常用判别方法。2.3.1 系统误差的判别系统误差的判别2 2、变值系差的判别残余误差观察法、变值系差的判别残余误差观察法 残余误差观察法是根据测量列的各个残余误差大小和符号残余误差观察法是根据测量列的各个残余误差大小和符号的变化规律，直接由的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形误差数据或误差曲线图形来判断有无系来判断有无系统误差。这种主要用来统误差。这种主要用来发现有规律变化的系统误差发现有规律变化的系统误差。若测量列含有若测量列含有变值系差变值系差，其，其测得值测得值为：为：。设其。设其系统误差系统误差为：为：，其，其不含系统误差测量值不含系统误差测量值为为：，则有：，则有：取算术平均值：取算术平均值：。其中。其中 表示表示不含系差的测得值不含系差的测得值的平均值的平均值，表示表示系统误差的平均值系统误差的平均值。因为。因为 ，相，相应应 （不含系差测量值与其平均值之差），所以有（不含系差测量值与其平均值之差），所以有nlll,21nlll,2121,nlllnillliii,2,1llliiliiillvilllviillvlllllllllllllllviiiiiiiiiiiiii式中式中 系差的算术平均值。系差的算术平均值。由于由于 =不含系差测量值不含系差测量值-不含系差测量值的不含系差测量值的平均值平均值，故，故 主要反映了主要反映了随机误差的影响随机误差的影响，当测量，当测量列中系统误差显著大于随机误差或测量次数比较大列中系统误差显著大于随机误差或测量次数比较大时，时，可以略去可以略去，则，则 ，由于，由于 为确定为确定值值，所以测量列中，所以测量列中残余误差残余误差 的变化的变化主要反映测主要反映测量中量中系统误差系统误差 的变化的变化。若将测量列的。若将测量列的 按序作按序作图进行观察，并与下图的图形比较，即可判断有无图进行观察，并与下图的图形比较，即可判断有无系统误差。系统误差。liiillvivivllviiliviliv 由上式看出，显著含有系统误差的测量列，其由上式看出，显著含有系统误差的测量列，其任一测量值的任一测量值的残余误差残余误差约为约为系统误差系统误差与与测量列系统误差平均值测量列系统误差平均值之差。之差。图2.6 含系差的测量列（a）大体上正负相间无显著变化规律不存在变化的系差；（b）有规律地向一个方向成比例变化有线性系差存在；（c）有规律地重复交替呈周期性变化周期性系差存在；（d）呈周期性与线性复合变化复杂系差存在。例例：对恒温箱温度测量：对恒温箱温度测量1010次，数据如下：次，数据如下：20.06,20.06,20.07,20.06,20.08,20.10,20.12,20.14,20.07,20.06,20.08,20.10,20.12,20.14,20.18,20.18,20.2120.18,20.18,20.21。判断该测量有无有规律变化。判断该测量有无有规律变化的系统误差。的系统误差。解：解：1 1、求测量值的算术平均值：、求测量值的算术平均值：2 2、求残差：、求残差：3 3、按测量的顺序作图：、按测量的顺序作图：12.20101101iixXXxvii规律曲线规律曲线可见有近似线性的系差存在可见有近似线性的系差存在iv3 3、不同公式计算标准差比较法、不同公式计算标准差比较法v按按贝塞尔公式贝塞尔公式：v按按捷尔斯公式捷尔斯公式：v令令v若若则怀疑测量列中存在系统误差。则怀疑测量列中存在系统误差。1121nnii)1(|253.112nnniiu11212|nu2.3.2 减小或消除系统误差的方法减小或消除系统误差的方法 一般来说，消除或减小系统误差的方法有：一般来说，消除或减小系统误差的方法有：（1）从产生误差根源上消除）从产生误差根源上消除 在测量前，通过分析比较尽量发现并消除（或在测量前，通过分析比较尽量发现并消除（或减小）产生系统误差的来源。减小）产生系统误差的来源。例如例如按测量规程调整按测量规程调整仪器，测量前后都必须检查仪器零位是否变化，选仪器，测量前后都必须检查仪器零位是否变化，选择合理的支撑与定位面，进行周期的检定和维护仪择合理的支撑与定位面，进行周期的检定和维护仪器设备等等。器设备等等。（2）用修正方法消除恒值系差）用修正方法消除恒值系差 引用引用修正值修正值对测量结果进行修正，即对仪器不仅要正对测量结果进行修正，即对仪器不仅要正确选择和使用，且要确选择和使用，且要定期检定和校准定期检定和校准。例如，将测量出。例如，将测量出的系统误差数值做成误差表或误差曲线，或作为修正值，的系统误差数值做成误差表或误差曲线，或作为修正值，将与其大小相等、符号相反的数值加入到测量结果中，将与其大小相等、符号相反的数值加入到测量结果中，即可基本消除测量结果中系统误差的影响。即可基本消除测量结果中系统误差的影响。（3）采用一些专门的测量技术和测量方法。典型测量方法）采用一些专门的测量技术和测量方法。典型测量方法有以下几种：有以下几种：1）替代法消除恒值系差替代法消除恒值系差 替代法是比较测量法的一种，它是先将被测量替代法是比较测量法的一种，它是先将被测量 接接在测量装置上，调节测量装置处于某一状态，然后用与在测量装置上，调节测量装置处于某一状态，然后用与被测量相同的同类标准量被测量相同的同类标准量 替代替代 ，调节标准量，调节标准量 ，使，使测量装置恢复原状态，则被测量等于调整后的标准量，测量装置恢复原状态，则被测量等于调整后的标准量，即即 =。可见替代法的特点是测量装置的误差不影响测。可见替代法的特点是测量装置的误差不影响测量结果，但测量装置必须有一定的稳定性和灵敏度。量结果，但测量装置必须有一定的稳定性和灵敏度。xAxANANAxANA 例如：在电桥上用替代法测电阻，先把被测电阻例如：在电桥上用替代法测电阻，先把被测电阻 ，调节电桥比例臂调节电桥比例臂 和比较臂和比较臂 使电桥平衡，则使电桥平衡，则 。显然桥臂参数的误差会影响测量结果。若以。显然桥臂参数的误差会影响测量结果。若以标准量电阻标准量电阻 代替被测代替被测 接入电桥，调节接入电桥，调节 使电桥重新平使电桥重新平衡，则衡，则 。由此可知，。由此可知，=，且桥臂参数的误，且桥臂参数的误差不影响测量结果，差不影响测量结果，仅取决于仅取决于 的准确度等级。的准确度等级。2）交换法消除恒值系差交换法消除恒值系差 交换法又称对照法。它将测量中的某种条件相互交换，交换法又称对照法。它将测量中的某种条件相互交换，使产生系统误差的原因对测量结果起相反的作用，从而使产生系统误差的原因对测量结果起相反的作用，从而抵消了系统误差。抵消了系统误差。例如：如图例如：如图2.8所示测量物体重量装置，所示测量物体重量装置，x与与P平衡后，平衡后，则则 ，然后将，然后将x与与P交换位置，由于臂长交换位置，由于臂长 与与 不不可能绝对相等，即可能绝对相等，即 ，则，则 ，二式相乘即可，二式相乘即可得到：得到：xR21,RR3R321RRRRxNRxRNR321RRRRNxRNRNRxRPllx121l2l21ll xllP12将上式按级数展开，舍去高阶项，即得：图2.8 代替法消除不变系差212121,PPPPPPPPPxPPx221PPPPPPx1l2lxP2.4 测量粗大误差的存在判定准则测量粗大误差的存在判定准则 在无系统误差的条件下进行等精度测量时，在无系统误差的条件下进行等精度测量时，对残差绝对残差绝对值较大的测量数据，可列为可疑数据对值较大的测量数据，可列为可疑数据，它对平均值，特，它对平均值，特别是对标准误差的估计将会产生较大的影响。别是对标准误差的估计将会产生较大的影响。如果可疑数如果可疑数据据确实是确实是由粗大误差所引起，则称其为由粗大误差所引起，则称其为坏值坏值。坏值必须剔坏值必须剔除除，否则会造成测量结果错误。，否则会造成测量结果错误。但但并不是所有可疑值均为坏值并不是所有可疑值均为坏值，它可能预示着测量仪，它可能预示着测量仪器、测量方法、测量条件的不正常、不稳定，甚至于预示器、测量方法、测量条件的不正常、不稳定，甚至于预示着一种新的物理现象被发现。故发现可疑数据时，要仔细着一种新的物理现象被发现。故发现可疑数据时，要仔细分析或增加观测次数，进行重复测量，尽可能正确判断所分析或增加观测次数，进行重复测量，尽可能正确判断所产生的原因，产生的原因，决不能轻易将其示为坏值的数据决不能轻易将其示为坏值的数据，应根据误，应根据误差理论来决定取舍。差理论来决定取舍。根据误差理论判定粗大误差的基本方法是：根据误差理论判定粗大误差的基本方法是：给定一个给定一个置信概率，并确定一个置信区间，凡超过此区间的误差即置信概率，并确定一个置信区间，凡超过此区间的误差即认为它不属于随机误差而是粗大误差。认为它不属于随机误差而是粗大误差。2.4.1 拉依达准则拉依达准则 准则准则 一般呈正态分布的随机误差分布在 以外的概率为0.0027，即约0.3%，相当于 ，为小概率事件，故当测量值的时，则可认为 对应的测量值含有粗大误差，应予以剔除。式中 被怀疑为坏值的测量值；所有测量值的算术平均值；被怀疑为坏值的测量小残差；包括坏值在内的全部测量值的标准误差的估计值。3337013xxviiixixxiv例：例：对某量进行了对某量进行了1515次等精度测量，结果如下：次等精度测量，结果如下：20.42,20.42,20.43,20.40,20.43,20.42,20.43,20.39,20.43,20.40,20.43,20.42,20.43,20.39,20.3020.30,20.40,20.43,20.42,20.42,20.39,20.40,20.43,20.42,20.42,20.39,20.39,20.4020.39,20.40。这些测量值已经消除了系统误差，。这些测量值已经消除了系统误差，试判断结果中是否有含有粗大误差的测量值。试判断结果中是否有含有粗大误差的测量值。解：解：1 1、求平均值：、求平均值：2 2、求残差：、求残差：3 3、求标准差：、求标准差：404.2015151iixXXxii033.01112niin根据根据 准则，第准则，第8个测量值的残差：个测量值的残差：3099.0033.033099.0104.0|104.0|8因此，第因此，第8个测量值含有粗大误差，应剔除。个测量值含有粗大误差，应剔除。剔除后，再根据剩下的剔除后，再根据剩下的14个数据重新计算。个数据重新计算。411.2014141iixX016.011411412ii剩下的剩下的14个数据的残差均满足：个数据的残差均满足：故可以认为这故可以认为这14个数据不再含有粗大误差。个数据不再含有粗大误差。3|i数据处理实例数据处理实例例：例：对某一轴径等精度测量对某一轴径等精度测量9次，得到数据如下（单次，得到数据如下（单位位mm）：）：24.774,24.778,24.771,24.780,24.772,24.777,24.773,24.775,24.774。分析测量结果（假。分析测量结果（假定不存在恒值系统误差）。定不存在恒值系统误差）。解：解：1、求算术平均值：、求算术平均值：2、求各个残差：、求各个残差：mmxXii775.249191Xxvii4 4、判断粗大误差（根据、判断粗大误差（根据 准则）：准则）：所有数据的残差均满足：所有数据的残差均满足：故可以认为这故可以认为这9 9个数据未含有粗大误差（个数据未含有粗大误差（如果含有粗如果含有粗大误差应剔除，然后重新判断剩下的数据大误差应剔除，然后重新判断剩下的数据）。）。30087.00029.0333|i3 3、求单次测量的标准差（、求单次测量的标准差（贝塞尔公式贝塞尔公式）：）：mmii0029.01919125 5、判断有无按一定规律变化的系统误差：、判断有无按一定规律变化的系统误差：方法方法1 1：将各个残差按照测量的顺序将各个残差按照测量的顺序绘制图形绘制图形，观察。（，观察。（图略图略）通过图形可以判断该测量列没有变化的系差存在。通过图形可以判断该测量列没有变化的系差存在。方法方法2 2：不同公式计算标准差比较法。不同公式计算标准差比较法。捷尔斯公式：捷尔斯公式：mmii0031.0)19(9|253.1912u1069.10029.00031.02因为：因为：707.019212069.0|nu故可判断无有规律变化的系统误差。故可判断无有规律变化的系统误差。6 6、求算术平均值的标准差：、求算术平均值的标准差：7 7、算术平均值的极限误差（、算术平均值的极限误差（置信概率为置信概率为95.44%95.44%，正态，正态分布分布）8 8、最后，写出测量结果：、最后，写出测量结果：mmnX001.090029.0mmmmtXX002.0001.02limmmXLX)002.0775.24(lim2.5 测量系统的误差计算方法测量系统的误差计算方法 一个一个测量系统总是由若干子系统所组成测量系统总是由若干子系统所组成，每个子系统都具每个子系统都具有不同的误差有不同的误差，这些误差再通过一定的，这些误差再通过一定的传递传递从而形成从而形成系统的总误系统的总误差差。比如，要测量电阻的功率，就需要测得电阻、电流和电压中比如，要测量电阻的功率，就需要测得电阻、电流和电压中的任意两个，如：的任意两个，如：PUI 被测量相当于函数，直接测量得到的被测量相当于函数，直接测量得到的U、I为函数的变量。为函数的变量。显然，直接测量的变量含有误差，显然，直接测量的变量含有误差，被测量的误差被测量的误差（函数误差函数误差）必）必然与自变量的误差有关。然与自变量的误差有关。任何测量结果都包含一定的测量误差，这是测量过程中各个任何测量结果都包含一定的测量误差，这是测量过程中各个环节一系列误差因素共同作用的结果。本章前面部分主要介绍了环节一系列误差因素共同作用的结果。本章前面部分主要介绍了直接测量直接测量的误差计算，本节将介绍的误差计算，本节将介绍间接测量间接测量中的误差问题。中的误差问题。研究函数误差理论主要解决三个