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1,第四章 小结,一、简谐振动的特征方程,1.回复力,2.简谐振动的微分方程,（动力学方程）,3.简谐振动的运动方程,（振动方程）,掌握证明一种振动是简谐振动的一般步骤,2,二、描述简谐振动的物理量,1.振幅：,2.周期（T）：,（A）, 频率（)、圆频率（）,弹簧振子,求振幅有三种方法,（1）已知初始位速,（3）已知总机械能,（2）已知任意位速,3,求圆频率的方法,(1) 建立振动系统的微分方程,（2）利用公式求,（3）利用速度和加速度幅值求,3.位相和初相, 已知状态求位相,（表示物体运动状态的物理量）, 已知位相求状态, 已知位相差求时间差,(1)位相,（2）求初相方法, 解析法（利用初始条件）, 旋转矢量法,4,动 能,三、简谐振动的能量,能 势,机械能,结论,（2）动能和势能变化的周期相同（为振动周期的一半）,（1）动能和势能的幅值相等，等于,（3）动能和势能变化的步调相反,=常量,5,四、同方向、同频率简谐振动的合成,(1) 解 析 法,1. 合振动是简谐振动,(a) 合振动的频率与分振动的频率相同,(b)合振动的振幅,(c)合振动的初相,(2) 旋转矢量法,2. 合振动加强、减弱的条件,合振动加强，并与分振动同相,(1),合振动减弱，初相与大振幅者相同,当 A1 = A2,(2),A=0,6,单元检测题-选择题,1、一长为l的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，（如图所示），作成一复摆已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量 ，此摆作微小振动的周期为 (A) (B) (C) (D),解：小角转动时,转动定律,C,7,2、把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度q0 ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 (A) p (B) p/2 (C) 0 (D) q,解：由题意知,C,8,3、两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同第一个质点的振动方程为x1 = Acos(wt + a)当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处则第二个质点的振动方程为 (A) (B) (C) (D) ,解：由图看出，振动2比振动1位相落后90度,B,9,设分割后的一根弹簧的倔强系数为 ，由弹簧串联公式：,4、一质量为m 的物体挂在倔强系数为 k 的轻弹簧下面，振动圆 频率为，若把此弹簧分割成二等分，将物体m 挂在分割后 的一根弹簧上，则振动圆频率为：,解：,B,10,5、质量为m 的物体，由倔强系数为k1 和k2 的两个轻弹簧连接到 固定端，在光滑导轨上作微小振动，其振动频率为：,经受力分析可得弹簧串联公式：,解：,D,11,6、一质点作谐振动，其运动速度与时间 的曲线如图所示，若质点的振动规律 用余弦函数描述，则其初位相为：,解：,C,12,7、一质点作谐振动，周期为T，当它由平衡位置向 x 轴正方向 运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时 间为：,如图：,解：,D,13,8、一简谐振动曲线如图所示则振动周期是 (A) 2.62 s (B) 2.40 s (C) 2.20 s (D) 2.00 s,解：如图,B,14,解：,9、弹簧振子在光滑水平面上作谐振动时，弹性力在半个周期 内所作的功为：,D,15,解：,10、一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的 (A) 7/16. (B) 9/16. (C) 11/16. (D) 13/16. (E) 15/16.,E,16,11、用40的力拉一轻弹簧，可使其伸长20 cm此弹簧下应挂_kg的物体，才能使弹簧振子作简谐振动的周期T = 0.2p s,单元检测题-填空题,解：,17,x,( SI ),?,解：,18,13、一竖直悬挂的弹簧振子，自然平衡时弹簧的伸长量为x0，此振子自由振动的周期T = _,解：,19,14、一简谐振子的振动曲线如图所示，则以余弦函数表示的振动方程为 _,解：,由矢量图知,20,15、一作简谐振动的振动系统，振子质量为2kg，系统振动频率为1000 Hz，振幅为0.5 cm，则其振动能量为_,解：,21,16、如图所示的是两个简谐振动的振动曲线，它们合成的余弦振动的初相为_,解：,由图知二者同振动方向、同频率，且位相相反。,合振动位相与振幅大者相同，由矢量图可知初相为,22,17、两个同方向同频率的简谐振动 , (SI) 它们的合振幅是_,解：,由图中矩形知,23,1、质量为10*10-3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按 的规律作谐振动，求：(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等?(3)t2=5s与t1=1s两个时刻的位相差。,解：,(1)由振动方程知,24,(2),当EK=EP时，有E=2EP,(3) t2=5s与t1=1s两个时刻的位相差,25,2、如图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为，弹簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期,解：,受力如图所示，以重物的静平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有,26,联立以上各式，得,故知该系统是作简谐振动，其振动周期为,27,3、一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A点时作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后质点第一次经过B点，再经过2秒后质点第二次经过B点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且 AB= 10 cm求： (1) 质点的振动方程； (2) 质点在A点处的速率,解：,由题意可知，T=8S, w = 2p/T= (p /4) s-1,设振动方程为：,当t = 0 时，,当t = 2 时，,联立二式得,？,A、B两点具有相同的速率,A、B两点中心为平衡位置,1s,1s,2s,28,振动方程为：,(2)速度方程为：,29,4、一个沿轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示如果t=0时质点的状态分别是：(1)x0=-A；(2)过平衡位置向正向运动；(3)过x=A/2处向负向运动；(4)过 x=-A/ 处向正向运动试求出相应的初位相，并写出振动方程,解：,30,5、有一轻弹簧，当下端挂一个质量m1 = 10 g的物体而平衡时，伸长量为 4.9 cm用这个弹簧和质量m2 = 16 g的物体组成一弹簧振子取平衡位置为原点，向上为x轴的正方向将m2从平衡位置向下拉 2 cm后，给予向上的初速度v0 = 5 cm/s 并开始计时，试求m2的振动周期和振动的数学表达式,解：,悬挂m1后伸长Dl，,k = m1g/ Dl = 2 N/m,取下m1挂上m2后，,T=0.56 s,t = 0时，,振动表达式为 x = 2.0510-2cos(11.2t+3.36) (SI),31,6、一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为 x1 =510-2cos(4t + p/3) (SI) , x2 =310-2sin(4t - p/6) (SI) 画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程,解：,x2 = 310-2 sin(4t - p/6),= 310-2cosp/2-(4t - p/6),= 310-2cos(4t - 2p/3),作两振动的旋转矢量图，如图所示,由图得： A = (5-3)cm = 2 cm，f = p/3,那么，合振动方程为,x = 210-2cos(4t + p/3) (SI),32,7：底面积为 S 的长方形木块，浮于水面，水面下 a，用手按下 x 后释放，证明木块运动为谐振动，其周期为,证明：平衡时,任意位置x处，合力,33,周期,证毕,为回复力,
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