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2.8函数与方程,知识梳理,考点自诊,1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y=f(x)(xD),把使成立的实数x叫做函数y=f(x)(xD)的零点. (2)与函数零点有关的等价关系 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图像与有交点函数y=f(x)有. (3)函数零点的判定(零点存在性定理),f(x)=0,x轴,零点,连续不断的,f(a)f(b)0,f(x0)=0,知识梳理,考点自诊,2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像与零点的关系,(x1,0),(x2,0),(x1,0),2,1,0,3.二分法 函数y=f(x)的图像在区间a,b上连续不断,且,通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间,使区间的两个端点逐步逼近,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.,f(a)f(b)0,一分为二,零点,知识梳理,考点自诊,1.若y=f(x)在闭区间a,b上的图像连续不断,且有f(a)f(b)0,则函数y=f(x)一定有零点. 2.f(a)f(b)0是y=f(x)在闭区间a,b上有零点的充分不必要条件. 3.若函数f(x)在a,b上是单调函数,且f(x)的图像连续不断,则f(a)f(b)0函数f(x)在区间a,b上只有一个零点.,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0). () (2)二次函数y=ax2+bx+c(a0)在b2-4ac0时没有零点. () (3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值. () (4)已知函数f(x)在(a,b)内图像连续且单调,若f(a)f(b)0,则函数f(x)在a,b上有且只有一个零点. () (5)函数y=2sin x-1的零点有无数多个. (),知识梳理,考点自诊,2.已知函数y=x2-2x+m无零点,则m的取值范围为() A.m1D.m-1,C,解析:由=(-2)2-4m1,故选C.,3.函数f(x)=ln x+2x-6的零点所在的区间是() A.(0,1)B.(1,2) C.(2,3)D.(3,4),C,解析: y=ln x与y=2x-6在(0,+)内都是增函数, f(x)=ln x+2x-6在(0,+)内是增函数. 又f(1)=-4,f(2)=ln 2-20,零点在区间(2,3)内,故选C.,知识梳理,考点自诊,4.方程2x+3x=k的解都在1,2)内,则k的取值范围为() A.5k10B.5k10 C.5k10D.5k10,A,解析:令函数f(x)=2x+3x-k,则f(x)在R上是增函数. 当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时,f(1)f(2)0, 即(5-k)(10-k)0,解得5k10. 当f(1)=0时,k=5,故选A.,2,解析:当x0时,由f(x)=x2+2x-3=0,得x1=1(舍去),x2=-3;当x0时,由f(x)=-2+ln x=0,得x=e2,所以函数f(x)的零点个数为2.,考点1,考点2,考点3,判断函数零点所在的区间 例1(1)如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图像,则函数g(x)=ex+f(x)的零点所在的大致区间是() A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) (2)已知函数f(x)=logax+x-b(a0,且a1).当2a3b4时,函数f(x)的零点x0(n,n+1),nN+,则n=.,B,2,考点1,考点2,考点3,所以g(0)g(1)1,-10,即f(2)f(3)0,故x0(2,3), 即n=2.,考点1,考点2,考点3,思考判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点的常用方法有哪些? 解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,常用以下方法: (1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给定区间上. (2)利用函数零点的存在性定理进行判断:首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图像是否连续,然后看是否有f(a)f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点;若没有,则不一定有零点. (3)通过画函数图像,观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断.,考点1,考点2,考点3,对点训练1(1)函数f(x)=x+log2x的零点所在的区间为(),(2)(2017浙江嘉兴模拟)已知函数y=x3与 的图像的交点为(x0,y0).若x0(n,n+1),nN,则x0所在的区间是.,A,(1,2),考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,判断函数零点的个数 例2(1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为 () A.1B.2C.3D.4 (2)(2018湖南长郡中学一模,11)已知函数y=f(x)是定义域为R的周期为3的奇函数,且当 时,f(x)=ln(x2-x+1),则方程f(x)=0在区间0,6上解的个数是() A.5B.6 C.7D.9,B,D,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,(2)当x(0,1.5)时,f(x)=ln(x2-x+1),令f(x)=0,则x2-x+1=1, 解得x=1. 函数f(x)是定义域为R的奇函数, 在-1.5,1.5内,f(-1)=f(1)=0,f(0)=0, f(1.5)=f(-1.5+3)=f(-1.5)=-f(1.5),f(1.5)=0. f(-1)=f(1)=f(0)=f(1.5)=0,函数f(x)是周期为3的周期函数, 则方程f(x)=0在区间0,6上的解有0,1,1.5,2,3,4,4.5,5,6共9个, 故选D.,考点1,考点2,考点3,思考判断函数零点个数的常用方法有哪些? 解题心得判断函数零点个数的方法: (1)解方程法:若对应方程f(x)=0可解时,通过解方程,有几个解就有几个零点. (2)零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数的图像在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点. (3)数形结合法:转化为两个函数的图像的交点个数问题.先画出两个函数的图像,再看其交点的个数,其中交点的个数就是函数零点的个数.,考点1,考点2,考点3,对点训练2(1)函数f(x)=sin(cos x)在区间0,2上的零点个数是() A.3B.4C.5D.6 (2)(2018河北衡水中学十模,10)设函数f(x)为定义域为R的奇函数,且f(x)=f(2-x),当x0,1时,f(x)=sin x,则函数g(x)=|cos(x)|-f(x)在区间 上的所有零点的和为() A.6B.7 C.13D.14,C,A,考点1,考点2,考点3,解析: (1)令f(x)=0,得cos x=k(kZ),即cos x=k(kZ),故k=0,1,-1.,则x=,故零点个数为5. (2)由题意,函数f(-x)=-f(x),f(x)=f(2-x),则-f(-x)=f(2-x), 可得f(x+4)=f(x),即函数的周期为4, 且y=f(x)的图像关于直线x=1对称.,即方程|cos(x)|=f(x)的零点, 分别画出y=|cos(x)|与y=f(x)的大致图像, 两个函数的图像都关于直线x=1对称, 方程|cos(x)|=f(x)的零点关于直线x=1对称, 由图像可知交点个数为6个,可得所有零点的和为6,故选A.,考点1,考点2,考点3,函数零点的应用(多考向) 考向1已知函数零点所在区间求参数 例3若函数f(x)=log2x+x-k(kZ)在区间(2,3)内有零点,则k=.,4,解析:由题意可得f(2)f(3)0,即(log22+2-k)(log23+3-k)0,整理得(3-k)(log23+3-k)0,解得3k3+log23,而43+log235.因为kZ,所以k=4.,思考已知函数零点所在的区间,怎样求参数的取值范围?,考点1,考点2,考点3,考向2已知函数零点个数求参数问题 例4(2018全国1,理9)已知函数 ,若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是() A.-1,0)B.0,+)C.-1,+)D.1,+),C,解析:要使得方程g(x)=f(x)+x+a有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a有两个实根,即函数y=f(x)的图像与直线y=-x-a的图像有两个交点,从图像可知,必须使得直线y=-x-a位于直线y=-x+1的下方,所以-a 1,即a-1.故选C.,考点1,考点2,考点3,思考已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法有哪些? 解题心得已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法: (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图像,再数形结合求解.,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)已知函数f(x)=2ax-a+3,若存在x0(-1,1),f(x0)=0,则实数a的取值范围是() A.(-,-3)(1,+)B.(-,-3) C.(-3,1)D.(1,+) (2)(2018山东师大附中一模,12)函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x+2)=f(x),当x0,1时,f(x)=2x,若在区间-2,3上方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,则实数a的取值范围是(),A,D,考点1,考点2,考点3,解析: (1)函数f(x)=2ax-a+3,若存在x0(-1,1),f(x0)=0, 可得(-3a+3)(a+3)0,解得a(-,-3)(1,+). (2)若在区间-2,3上方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,等价于f(x)=a(x+2)有四个不相等的实数根,即函数y=f(x)和g(x)=a(x+2)有四个不同的交点, f(x+2)=f(x),函数f(x)的周期为2,当-1x0时,0-x1,此时f(-x)=-2x. f(x)是定义在R上的偶函数, f(-x)=-2x=f(x),即f(x)=-2x,-1x0. 作出函数f(x)和g(x)的图像,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,1.函数零点的常用判定方法: (1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程f(x)=0. 2.研究方程f(x)=g(x)的解,实质就是研究G(x)=f(x)-g(x)的零点. 3.转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图像交点的个数问题;已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.,1.函数f(x)的零点是一个实数,是方程f(x)=0的根,也是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标. 2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件;判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图像等综合考虑.,
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