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第七章 联立模块法（Simultaneous modular approach）,主要内容 联立模块法的基本思想 Jacobi矩阵的近似计算 联立模块法示例 联立模块法与联立方程法的区别 联立模块法系统分析的特点 联立模块三层法,7.1 联立模块法的基本思想,一、联立方程法与序贯模块法的比较 序贯模块法：更容易被理解和接受、迭代层次多导致收敛慢 联立方程法：迭代层次少、难以被理解和接受、占内存多,二、如何互补联立方程法与序贯模块法？ 继承已开发的模块 仅对不可再分块联立求解 降低方程维数和求解难度,三、联立模块法基本思路,设体系中共有c个组分，Xi为描述流股的c+2维向量（或称外部变量，包括温度、压力和各组份摩尔流率）,1、求解不可再分块的简化线性模型方程组,如何获得上述线性方程组？,分流分率模型（Rosen） 非线性方程组的线性展开,2、交替进行序贯模块迭代和联立线性方程组的求解。,可改写为 AX=b形式,联立模块法步骤（仅对于不可再分块） 赋切割变量初值； 利用严格模块运行序贯模块法一次，获得内部变量； 对各模块方程和设计规定方程进行一阶展开，获得只含外部变量的联立线性方程组； 求解联立线性方程组，获得切割变量的计算值，若收敛则退出，否则返回2继续。,优点是：在切割变量值更新时减少了计算量,联立模块法I 全切断去连接形式,外部变量 描述各单元输入输出流股的变量（X1X4）和设计规定方程所约束的设备参数（u）,模拟过程所涉及的其余变量为内部变量。,对所有联立方程在初始值附近做一阶展开可得：,以g1为例：,将模块的雅可比矩阵 分为2块,整理上式，则可得线性方程组的一般形式：,求解上述线性方程组之后，则可更新X1X4，u,稀疏矩阵,联立模块法II 环路切断形式,方程数和变量数最少，占用内存最少。,联立模块法III 非线性联立模块法,对各单元建立非线性简单模型，不可再分块可通过联立求解这些单元的联立非线性简单方程组求解。,对简单非线性模型的要求 方程数比严格模型少得多； 必须包含输入、输出变量，设备参数、热物性及其他； 模型自由度必须与严格模型相同； 应是机理模型； 每种单元模型必须唯一确定，且可解析； 简化模型参数由严格模型给出；,优点 强稀疏性； 方程数目少； 更容易求解。,合适的求解方法：牛顿-拉弗逊法,联立模块法的实质 将包含非线性描述方程和相互影响的循环流的困难问题转变成一系列易于求解的线性描述方程的简单子问题； 单元内部变量和方程从线性系统消去，线性方程组只包含输入、输出信息流变量，因而方程求解难度和占用内存远小于联立方程法； 相对于序贯模块法，求解设计型问题更有效。,目前联立模块法的研究重点 如何产生近似Jacobi矩阵； 联立线性方程组涉及的变量； 不可再分块切断准则； 如何提出更多层的联立模块法； 近似Jacobi矩阵的更新。,五、I、II两种方式的比较 切断方式； 方程组Jacobi矩阵稀疏性； 与序贯模块法和联立方程法的比较；,7.2 单元模块Jacobi矩阵的计算,一、解析法（Analytical differentiation）,最准确、计算效率最高，但难以实现。,该单元数学模型为 H (Z,Y) = 0，其中 Z = X； u，则其Jacobi矩阵为：,二、全块扰动法（Full-block perturbation）,即用差商代替偏导数，如下所示：,自变量为n维的非线性方程组，计算该矩阵须运算n+1次方程组,单元模块的差分近似Jacobi矩阵：,ei 单位矩阵的第i列； hi 第i个自变量的步长； fu 单元模型方程组； n 输入流股自变量数+设计方程约束的设备参数数目。,该计算方法要求每计算一次Jacobi矩阵需要运行n+1次严格模型的计算。,注 效果最好； 再循环流、变量多和单元需要迭代收敛导致计算量大； 相对序贯模块法，该方法用于模拟型问题并不具有优势； 该法用于设计型问题更有优势。,三、对角块摄动法（Diagonal-block perturbation）,计算效率高，误差大。,假设第k个输出流股向量的取值只受第j个输入流股向量的影响，则：,模块模拟次数： 输入流股数+设计方程约束的设备参数数目,四、直接差分近似法（Direct difference approximation）,将组合单元看作一个虚拟模块，随后用全块扰动法求取该虚拟模块和设计规定方程的Jacobi矩阵。,随着切割变量数目增加，直接差分近似法计算Jacobi矩阵的工作量增加。,为提高虚拟模块Jacobi矩阵的计算效率，可根据欧拉链关系和虚拟模块中各模块的子Jacobi矩阵来计算虚拟模块的Jacobi矩阵。,Euler链关系（Euler chain relation）,对于函数g = g (x, y)，其全微分为：,若由f (x, y)=0可以推出y = (x)，并将之代入函数g全微分的表达式，则：,而,因此,根据欧拉链关系, (q) 的Jacobi矩阵如下所示：,如此，则虚拟模块的Jacobi矩阵计算量与切割变量数目无关，且各模块内部变量可以方便地保存。,7.3 联立模块法的结构分析,对于联立模块法I，结构分析仅包含过程系统分隔以及分隔块之间计算次序； 联立模块法II，不可再分块的切断以变量最少为基准；,注 全模块扰动（模块摄动）法线性化效率最高，收敛快； 对角块扰动法线性化效率高，收敛慢； 仅对设计型问题，联立模块法优于序贯模块法； “组合单元”的全模块扰动法占用内存最少。,联立模块法实例,13个组分 进料温度、压力 和组成已知,闪蒸器2，3，4 温度压力已知,闪蒸器1温度未知 气相分率须满足设计值,
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