广东省中考数学压轴题全解全析

1.(深圳)如图7，在平面直角坐标系中，抛物线y=1x2-6与直线y=x相交于A，B两点2019年广东省中考数学压轴题全解全析142（1）求线段AB的长（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？（3）如图8，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于C，D两点，垂足为点M，分别求出OC2OD2OM2是否成立OM，OC，OD的长，并验证等式111+=AB=cCD=b，试说明：1a2b2h2（4）如图9，在RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足为D，设BC=a，AC=b，11+=解（1）A（-4，-2），B（6，3）分别过A、B两点作AEx轴，BFy轴，垂足分别为E、F图7图8AB=OA+OB=42+22+62+32=55图9（2）设扇形的半径为x，则弧长为(55-2x)，扇形的面积为y则y=15x(55-2x)=-x2+5x=-(x-2255125)2+416a=-10当x=554时，函数有最大值y16最大=125OM=1（3）过点A作AEx轴，垂足为点ECD垂直平分AB，点M为垂足555AB-OA=-25=AEO=OMC,EOA=COM222CO=5AEOCMO5同理可得OD=2OEAO425=OMCO5CO21525=244OM251142204+=()2+()2=OC2OD25525514=111+=OC2OD2OM2（4）等式111+=a2b2h2成立理由如下：ACB=90,CDAB11ab=ABh22AB2=a2+b2ab=cha2b2=c2h2a2b2=(a2+b2)h2a2b2(a2+b2)h2=a2b2h2a2b2h2a2b21h2a2b211a2+b21111=+=h2a2b2h2，2.（梅州11分）如图12，直角梯形ABCD中，ABCD，A=90AB=6，AD=4，DC=3，动点P从点A出发，沿ADCB方向移动，动点Q从点A出发，在AB边上移动设点P移动的路程为x，点Q移动的路程为y，线段PQ平分梯形ABCD的周长（1）求y与x的函数关系式，并求出x，y的取值范围；（2）当PQAC时，求x，y的值；（3）当P不在BC边上时，线段PQ能否平分梯形ABCD的面积？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由解：（1）过C作CEAB于E，则CD=AE=3，CE=4，可得BC=5，图12所以梯形ABCD的周长为181分PQ平分ABCD的周长，所以x+y=9，2分3因为0y6，所以3x9，所求关系式为：y=-x+9，x93分（2）依题意，P只能在BC边上，7x9PB=12-x，BQ=6-y，因为PQAC，所以BPQBCA，所以BPBQ=BCBA，得4分x+y=9，12-x6-y8712，即6x-5y=42，解方程组得x=，y=6分566x-5y=421111（3）梯形ABCD的面积为187分当P不在BC边上，则3x7（a）当3x4时，P在AD边上，S12APQ=xy可得：解得（x=6，y=3舍去）9分xy=18.y=6；1如果线段PQ能平分梯形ABCD的面积，则有xy=98分2x+y=9，x=3，（b）当4x7时，点P在DC边上，此时SADPQ1=4(x-4+y)2如果线段PQ能平分梯形ABCD的面积，则有124(x-4+y)=9，可得x+y=9，2x+2y=17.此方程组无解所以当x=3时，线段PQ能平分梯形ABCD的面积11分3.（韶关9分）如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=4，AB=2，直线y=-x+坐标轴交于D、E。设M是AB的中点，P是线段DE上的动点.（1）求M、D两点的坐标；（2）当P在什么位置时，PA=PB？求出此时P点的坐标；（3）过P作PHBC，垂足为H，当以PM为直径的F与BC相切于点N时，求梯形PMBH的面积.3解：（1）M(4,1),D(,0)2分2（2）PA=PB，点P在线段AB的中垂线上，32与点P的纵坐标是1，又点P在y=-x+32上，点P的坐标为(12,1)4分（1）设P（x,y），连结PN、MN、NF.点P在y=-x+323上，P(x,-x+)2依题意知：PNMN，FNBC，F是圆心.N是线段HB的中点，HN=NB=4-x316，PH=2-(-x+)=x+,BM=1222分HPN+HNP=HNP+BNM=90，HPN=BNM，又PHN=B=90x+RtPNHRtNMB,=,2=HNPH4-x12BMBN14-x2x2-12x+14=0，解得：3，x=6+22(x舍去）x=6-2228分(BM+HP)BH3719PMBH=-+22S1(1+6-22+)(4-6+22)222249分.4.（广州市12分）已知ABC中，AB=BC，在ADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM，（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，求证：BM=DM且BMDM；（）如图中的ADE绕点A逆时针转小于45的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。EC的中点，BM=1当x=3解：（1ABC和ADE都是，且AB=BC,AD=DE，EDC=EBC=90,又M是1EC,DM=EC,BM=DM;又BM=MC,MBC=MCB22BMEBMC的外角，BME=MBC+MCB=2MCB，同理DME=MDC+MCD=2MCDBME+DME=2(MCB+MCD)=245=90,即BMD=90BMDM.(2)如图，延长DM到N，使MN=DM,连结BD、BN、CN，EM=CM,EMD=CMN,DM=NMEMDCMNDEM=NCM=BCM+BCN,CN=DE=AD,AEC中，DAE+DEA=90ACE+CAD+CED=90CAD=45BADDEM=NCM=BCM+BCN=CEDACE+45BAD+BCM+BCN=90又ACE+BCM=45，45BAD+45+BCN=90BAD=BCN，又AB=CB,AD=CNABDCBNBD=BNABD=CBNDBC+CBN=DBC+ABD=90，又BD=BN，DM=MNBM=DM且BMDM；5.（广东省9分）如图，正方形ABCD的边长为3a，两动点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度沿BC、CD运动，与BCF相应的EGH在运动过程中始终保持EGHBCF，对应边EGBC，B、E、C、G在一直线上。(1)若BEa，求DH的长；(2)当E点在BC边上的什么位置时，DHE的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值。解：（1）连结FH,则FHBE,且FH=BE,在DFH中，DF=3a-a=2a，FH=aDFH=90，DH=DF2-FH2=5a(2)设BE=x，DHE的面积为y,依题意，有：1a，即BE=BC,亦即E是BC的中点时，22y取得最小值DHE的面积取得最小值是278a26.（茂名10分）如图，已知平面直角坐标系xoy中，有一矩形纸片OABC，O为坐标原点，ABx轴，B（3，3），现将纸片按如图折叠，AD，DE为折痕，OAD=30折叠后，点O落在点O，点C落在点C，并且DO与DC在同一直线上（1）求折痕AD所在直线的解析式；（3分）A（2）求经过三点O，C，C的抛物线的解析式；（3分）1（3）若P的半径为R，圆心P在（2）的抛物线上运动，1111yODO1C1BECx(第25题图)OD=OAtan30=3()=1，A0，3，D(1，)P与两坐标轴都相切时，求P半径R的值（4分）解：（1）由已知得OA=3,OAD=30303设直线AD的解析式为y=kx+b把A，D坐标代入上式得：b=3k=-3，解得：k+b=0b=3yAO1C1BDF=()DC=1，C2,3，而已知C(3,0)()323(xx-3)=-x2+x为所求折痕AD所在的直线的解析式是y=-3x+3（2）过C作CFOC于点F，11由已知得ADO=ADO=60，CDC=6011又DC312，DC=DC=21在RtDF中，1CF=DCsinCDF=2sin60=31111211法一：设经过三点O，C1，C的抛物线的解析式是y=ax(x-3)点C2，3在抛物线上，2a(2-3)=3，a=-1333y=-222ODF(第25题图)Cx4a+2b+c=3，解得b=，y=-x2+x为所求2229a+3b+c=0法二：设经过三点O，C1，C的抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,(a0)把O，C1，C的坐标代入上式得:a=-3c=033333c=0（3）设圆心P(x,y)，则当P与两坐标轴都相切时，有y=x23x2+x=x，解得x=0（舍去），x=3-223由y=x，得-33312223由y=-x，得-33323x2+x=-x解得x=0（舍去），x=3+122323所求P的半径R=3-或R=3+337（佛山13分）在RtABC中，BAC=90，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作ADE=45（A，D，E按A逆时针方向）E（1）如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E求证：ABDDCE；BDC第25题图1当ADE是等腰三角形时，求AE的长（2）如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E，是否存在点D，使ADE是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由；如图3，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使ADE是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由AADBC(1)证明：在RtABC中，BAC=90D，AB=AC=2C当ADE是等腰三角形时,分以下两种情况讨论如果DE=AE，则ADE=DAE=45AED=90,此时，E为AC的中点，AE=1E第25题图3BB=C=45又ADE=45ADB+EBC=EBC+DEC=135ADB=DECABDDCE252AEDC=45AEDADE，MADAE2AC=1.如果AD=DE，由于ABDDCE，ABDDCE,BD=CE,AB=DC,设BD=CE=x在RtABC中，BAC=90，AB=AC=2，BC=22,DC=22x22x=2,解得，x=222，AE=422(2)存在。当D在BC的延长线上，且CD=CA时，ADE是等腰三角形.证明：ADE=45=ACB=DCE,ADC+EDC=EDC+DEC=135,ADC=DEC,又CD=CA，CAD=CDA,CAD=CED,DA=DE,ADE是等腰三角形.不存在.因为ACD=45E,ADE=45ADEEADE不可能是等腰三角形。E