微积分定积分ppt课件

calculus7.4 定积分根本积分方法301sinsinxxdx例：求32sinsinsinsinsincosxxxxxx解：由于被积函数（1）一、直接积分法cossin,02cossin,2xxxxxxcalculus32023322202sinsincossincossin224(sin)(sin)333xxdxxxdxxxdxxx0所以calculus二、定积分的换元积分法1(),(),()()()(2)()(),()()()()baf xa bxttttttaaabf x dxftt dt定理：设函数在上连续，令如果满足下面条件：(1)x=在区间，上是单值函数，并且有连续的导数当 在区间，上变化时，x=的值在区间，b上变化,且则calculus1201x dx解：作代换解：作代换sin,0,2xtt 那么它是单值函数，有延续那么它是单值函数，有延续导数，且当导数，且当0t 时时0,x 当当2t时时1,x 故有故有22201020211 sinsincostdttdxtdx201 cos22tdt20sin2244ttcalculus1.这里的换元法实践上相当于不定积分的第二换元法，这里的换元法实践上相当于不定积分的第二换元法，常用的有根式带环、三角代换、倒代换；常用的有根式带环、三角代换、倒代换；阐明：阐明：2.换元必换限，即在左变量代换后，积分上下限要做相应的改换元必换限，即在左变量代换后，积分上下限要做相应的改变变，然后直接求出结果，不用回带，这是与不定积分的不同，然后直接求出结果，不用回带，这是与不定积分的不同之处。之处。calculus例例1 计算计算 42022dxxx解解 设设,sin2tx 2ttdtdxcos2当0 x时,0t;当2x时,于是,42022dxxxtdtttcos2sin44)sin2(2202dtt202)2(sin4dtt20)4cos1(2204412)tsint(calculus例例2计算计算.12240dxxx.3,4txtdttt312221312)3(21dtt322解解 设设,12tx,212tx,tdtdx;1,0tx.12240dxxx31333121)tt(calculus留意留意换元公式也可逆过来运用换元公式也可逆过来运用.即即()()()baftt dtf x dx这就是凑微分法。这就是凑微分法。calculus例例3计算计算408421xdxx解：由于解：由于22(84)(441)(21,)xdxdxxdx令令21,ux那么那么原式原式=33342311114104433duu duuucalculus证证 aadx)x(f 0adx)x(f例例3 证明假设证明假设,)(aaCxf)(,0)(,)(2)(0 xfxfdxxfdxxfaaa为偶函数为奇函数为奇函数那么有结论结论 aadx)x(fdx)x(f00 adx)x(f0tx 0adt)t(f adt)t(f0 adx)x(f)x(f0 aadx)x(fdx)x(f00 aadx)x(f(1)假设 为偶函数,那么)(xf.dx)x(fdx)x(faaa 02),x(f)x(f)x(f2 (2)假设 为奇函数,那么)(xf.dx)x(faa0 ,)x(f)x(f0 例如例如,2245sin xdxx.0calculus2020;)(cos)(sin)1(dxxfdxxf00,)(sin2)(sin)2(dxxfdxxxf例例4 假设假设,1,0)(Cxf证明证明并计算.cos1sin02dxxxx.0,2;2,0txtx证证(1)设设,2tx,dtdx20)(sindxxf20)(cosdttfdttf022sin20.)(cosdxxf.0,;,0txtx0(sin)xfx dx0)(sin)(dttft,dtdx0d)sin()(ttft00)(sin)(sindtttfdttf(2)设,tx00(sin)(s.in)xfx dxxfdx00)(sin2)(sindxxfdxxxfcalculus0)sarctan(co2x02cos1sindxxxx.cos1sin202dxxx02cos1)(cos2xxd.4200)(sin2)(sindxxfdxxxfcalculus2002xdxxdxnnsinsin例例5 证明证明证明证明0 xdxnsin202xdxnsin20 xdxnsin2xdxnsin2xdxnsintx02dttn)(sin20tdtnsin20 xdxnsin0 xdxnsin结论结论calculus例例6设设 函数函数0,1-,cos11,0 ,)(2xxxxexfx计算.)2(41dxxf.2,4;1,1txtx41)2(dxxf202dttet012 )t(tan.212121tan4e解解 设设,2tx,dtdx 21)(dttf01cos1tdt0122cos2tdt)(212022tdet20221)e(t calculus练习：练习：P75 1.(2)(9)324400440042400(2)tan(sec1)tantantantan11tanln|cos|(1 ln2)22xdxxxdxxdxxdxxx22333400233201(9)11(1)3252199xx dxx d xxcalculusP75 2.(5)22223222221101111(1)221x xxudxdxd uxxucalculus周期函数的定积分：设周期函数的定积分：设()f x是周期为是周期为T的函数，即的函数，即()(),f xTf xxR 那么对恣意的那么对恣意的,R有有0()()TTf x dxf x dx证明：证明：()()()TTTTf x dxf x dxf x dx0()TfTdxdufux0()Tf x dxf u du00()()(TTf x df x dxf x dxxTcalculusP100 第第13题：题：00()()()()()()aaaaf x g x dxf x g x dxf x g x dxarctanarctan?xxee22arctanarctan011xxxxxxeeeeee0arctan4e00()()()()()aafu gu duf x g x dx00()()()()()aaf xfx g x dxAf x g x dxcalculus三、分部积分法三、分部积分法bbbaaaudvuvvdu)(),(xvxu设函数设函数在在,ba上有延续导数，那么上有延续导数，那么定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式定理定理2bbbaaauv dxuvu vdx与不定积分的分部积分公式对比：与不定积分的分部积分公式对比：udvuvvducalculus分部积分公式的证明：分部积分公式的证明：()()()()()(),xxxaaau t dv tu t v tv t du txR 问题：设问题：设()(),fxg xxR 且对某个实数且对某个实数()(),f ag aa满足满足能否有能否有()(),?f xg xxR()()()()0()()fxg xf xg xf xg xC又由于又由于()(),f ag a所以所以0C calculus例例1 计算计算.arctan10 xdx10arctan xx.2ln2141021dxxx4102)1ln(21x例例2 计算计算.ln1exdxx解解exdxx1ln211ln()2exd xexx12ln21edxxx1212122e ex1241412ecalculus解解 令令,tx 102dttet102()ttd e 101022dtetett.22210tee.1,1;0,0txtx,2tx,2tdtdx10dxex例例4.计算计算.10dxex例例3.计算计算20sinxdxex20)sin(xex2e20sinxxde20cosxde20cosxdxex20)sin(xex20)cos(xex20sinxdxex12e20sinxdxex20sinxdxex21212ecalculus例例5.知知sin(),xtf xdtt求求0().f x dx解：解：0000()()()sin()0(0)f x dxxf xxfx dxxffxdxx例例6.求定积分：求定积分：244sin.1xxdxe解：令解：令xu 那么那么222444444244sinsinsin()11sin11xuuxxuudxduxdxdeeeeucalculus所以所以22444424244444sinsin211sin111 cos224i12s nxxxxxdxdxeexdxxdxxdxe例例5.知知20cos,(2)xdxAx求求20sin cos.1xxdxx22000sin cos1sin21sin12122xxxudxdxduxxucalculus20001(cos)1 cos1cos22222(2)1112(2)42duuuduuuuA 例例6.设设20sin,nnIxdx试证：试证：21.nnnIIn1201222200sincoscos sin(1)cossinnnnnxdxxxnxdxI 22220(1)1 sinsin(1)nnnnxdxnIIcalculus例例7.设设()fx试证：试证：2(2)2()()(0)().FaF afaff a延续，延续，0()()(2),xF xf t fat dt证明：证明：200(2)2()()(2)2()(2)aaF aF af t fa t dtf t fa t dt20()(2)()(2)aaaf t fa t dtf t fa t dt202(2)()()()(2)2aaaaafa t f t dtf t fa t dtf t fa t在第二项中作代换在第二项中作代换2,uat那么得到那么得到calculus200()(2)()()(0)(2)()(2)(2)()aaf u faf tF aF af affa t dfautd u2()(0)(2)faffaP76 第第5题：题：000000()sin()sin()cos()cos()sin()(0)()sinfxxdxfxxfxxdxf xxf xxdxfff xxdx calculus利用定积分来求极限：利用定积分来求极限：例例8.求极限求极限lim(1)(2)()nnnnn nn nn nn解：调查函数解：调查函数1()f xx在区间在区间1,2上的定积分，将区间作上的定积分，将区间作等间隔的分割，划分成等间隔的分割，划分成n个长度为个长度为1n的小区间，令的小区间，令1,0,1,2,iixinn 同时取同时取11,iiiixxx那么那么1012111lim()li)m1(nniiniixf x dxfinnlim(1)(2)()nnnnn nn nn nncalculus所以所以21lim(1)(2)2(1ln)nnnnn nn nndxnnx练习：练习：12limnnn n111121limlimniinninxnnnnnn,1,2,iiiixinnn1023xdxcalculus例例9.知知11sin,nniiSnn求极限求极限limnnS解：由于解：由于11siin,nsnnniiiiiSxnn其中其中,0,1,2,.iiiiixinxnn故有故有01limlimsinsin2nniinniSxxdxcalculus小结：小结：1.计算定积分的根本方法：直接积分法、换元法、分部积计算定积分的根本方法：直接积分法、换元法、分部积分法；分法；2.常用的技巧：解方程回复积分法、递推、利用被积常用的技巧：解方程回复积分法、递推、利用被积函数函数的性质奇偶性、周期性等；函数函数的性质奇偶性、周期性等；3.利用定分求极限：关键在于将极限与定积分的定义联利用定分求极限：关键在于将极限与定积分的定义联系起来。系起来。