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1.3.1函数的单调性与导数(二),第一章1.3导数在研究函数中的应用,学习目标,1.会利用导数证明一些简单的不等式问题. 2.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,1.函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数yf(x)：,增,减,特别提醒：若在某区间上有有限个点使f(x)0，其余的点恒有f(x)0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似). f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.,2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数yf(x)，在区间(a，b)上,快,慢,陡峭,平缓,3.利用导数解决单调性问题需要注意的问题 (1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间. (2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点. (3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开.,1.如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性. () 2.函数在某区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大. (),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一利用导数求参数的取值范围,例1若函数f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是_.,解析,答案,1，),即k的取值范围为1，).,引申探究 1.若将本例中条件递增改为递减，求k的取值范围.,解答,又f(x)在(1，)上单调递减，,即k的取值范围为(，0.,2.若将本例中条件递增改为不单调，求k的取值范围.,解答,解f(x)kxln x的定义域为(0，)，,k的取值范围是(0,1).,当k0时，f(x)0. f(x)在(0，)上单调递减，故不合题意.,反思与感悟(1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f(x)0(或f(x)0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“”时是否满足题意； 先令f(x)0(或f(x)0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“”时f(x)是否满足题意. (2)恒成立问题的重要思路 mf(x)恒成立mf(x)max； mf(x)恒成立mf(x)min.,解答,解方法一(直接法) f(x)x2axa1， 令f(x)0，得x1或xa1. 当a11，即a2时，函数f(x)在(1，)上单调递增，不合题意. 当a11，即a2时，函数f(x)在(，1)和(a1，)上单调递增，在(1，a1)上单调递减， 由题意知(1,4)(1，a1)且(6，)(a1，)， 所以4a16，即5a7. 故实数a的取值范围为5,7.,方法二(数形结合法) 如图所示， f(x)(x1)x(a1). 因为在(1,4)内，f(x)0， 在(6，)内f(x)0， 且f(x)0有一根为1， 所以另一根在4,6上.,故实数a的取值范围为5,7.,方法三(转化为不等式的恒成立问题) f(x)x2axa1. 因为f(x)在(1,4)上单调递减，所以f(x)0在(1,4)上恒成立. 即a(x1)x21在(1,4)上恒成立，所以ax1， 因为27，所以当a7时，f(x)0在(6，)上恒成立. 综上知5a7. 故实数a的取值范围为5,7.,例2证明exx1sin x1(x0). 证明令f(x)exx1(x0)，则f(x)ex10， f(x)在0，)上单调递增， 对任意x0，)，有f(x)f(0)，而f(0)0， f(x)0，即exx1， 令g(x)xsin x(x0)，g(x)1cos x0， g(x)g(0)，即xsin x0， x1sin x1(x0)， 综上，exx1sin x1.,类型二证明不等式,证明,反思与感悟用导数证明不等式f(x)g(x)的一般步骤 (1)构造函数F(x)f(x)g(x)，xa，b. (2)证明F(x)f(x)g(x)0，且F(a)0. (3)依(2)知函数F(x)f(x)g(x)在a，b上是单调递增函数，故f(x)g(x)0，即f(x)g(x). 这是因为F(x)为单调递增函数， 所以F(x)F(a)0， 即f(x)g(x)f(a)g(a)0.,证明,当x1时，f(x)0， 则f(x)在(1，)内是增函数. 当x0时，f(x)f(0)0.,达标检测,1.已知命题p：对任意x(a，b)，有f(x)0，q：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,2.已知对任意实数x，都有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且当x0时，f(x)0，g(x)0，则当x0，g(x)0 B.f(x)0，g(x)0 D.f(x)0，g(x)0,解析,答案,解析由题意知，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数. 当x0时，f(x)，g(x)都单调递增， 则当x0，g(x)0.,3.已知函数f(x)x312x，若f(x)在区间(2m，m1)上单调递减，则实数m的取值范围是_.,解析f(x)0，即3x2120，得2x2. f(x)的减区间为2,2， 由题意得(2m，m1)2,2，,1,1),1,2,3,4,5,解析,答案,2，),答案,解析,1,2,3,4,5,所以f(x)在(，)上为单调递增函数，其图象若穿越x轴，则只有一次穿越的机会， 显然x0时，f(x)0.,解答,1,2,3,4,5,利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 (1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f(x)0(或f(x)0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“”时是否满足题意； (2)先令f(x)0(或f(x)0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“”时，f(x)是否满足题意.,规律与方法,
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