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1.4生活中的优化问题举例,第一章导数及其应用,学习目标,1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 . (2)利用导数解决优化问题的实质是 . (3)解决优化问题的基本思路：,知识点生活中的优化问题,上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.,优化问题,求函数最值,数学建模,1.生活中常见到的收益最高，用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题.() 2.解决应用问题的关键是建立数学模型.(),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一几何中的最值问题,例1请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，,解答,B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AEFBx(cm). 某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.,令V(x)0，得x0(舍去)或x20. 当00；当20x30时，V(x)0. V(x)在x20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值.,解答,引申探究 本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？,EF602x，,8x(30 x)8x2240 x 8(x15)28152. 当x15时，S侧最大为1 800 cm2.,反思与感悟面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验.,跟踪训练1(1)已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为_.,解析,答案,解析设圆柱的底面半径为r， 则S圆柱底2r2，S圆柱侧2rh， 圆柱的表面积S2r22rh.,令V(r)0，得S6r2，h2r，,V(r)只有一个极值点， 当h2r时圆柱的容积最大.,解析,答案,(2)将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为_cm.,解析设弯成圆的一段铁丝长为x(0x100)，则另一段长为100 x. 设正方形与圆形的面积之和为S，,类型二实际生活中的最值问题,解答,(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.,解答,所以商场每日销售该商品所获得的利润为,从而f(x)10(x6)22(x3)(x6) 30(x4)(x6)，令f(x)0，得x4或x6. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点. 所以当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. 答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.,反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润收入成本. (2)利润每件产品的利润销售件数.,解答,解当0x10时，,解答,(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值.,解当0x10时，,当x(0,9)时，W0，当x(9,10)时，W0， 所以当x9时，W取得最大值，,综上可得，当x9时，W取得最大值38.6. 故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元.,解答,命题角度2用料、费用最少问题 例3某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 )x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式；,解设需新建n个桥墩，,解答,(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？,令f(x)0，得 512，所以x64.,当00，f(x)在区间(64,640)上为增函数， 所以f(x)在x64处取得最小值.,反思与感悟(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答. (2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f(x)0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.,解答,跟踪训练3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x) (0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式；,解设隔热层厚度为x cm，,而建造费用为C1(x)6x. 因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为,解答,(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.,当00，,答当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.,达标检测,1,2,3,4,5,解析,答案,解析原油温度的瞬时变化率为f(x)x22x(x1)21(0 x5)，所以当x1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.,C.1 D.8,1,2,3,4,5,解析,答案,2.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为,1,2,3,4,5,解析设圆锥的高为h cm,0h20，,3.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且销量Q与零售价P有如下关系：Q8 300170PP2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出) A.30元 B.60元 C.28 000元 D.23 000元,1,2,3,4,5,解析,答案,1,2,3,4,5,解析毛利润为(P20)Q， 即f(P)(P20)(8 300170PP2)， f(P)3P2300P11 7003(P130)(P30). 令f(P)0， 得P30或P130(舍去). 又P20，)， 故f(P)maxf(P)极大值， 故当P30时，毛利润最大， 所以f(P)maxf(30)23 000(元).,4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_元.,160,当x2时，ymin160(元).,答案,解析,1,2,3,4,5,5.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0 x21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；,解设商品降价x元，则多卖出的商品件数为kx2. 若记商品一个星期的获利为f(x)，则有 f(x)(30 x9)(432kx2)(21x)(432kx2). 由已知条件，得24k22，于是有k6. 所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21.,解答,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5,(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？,解由(1)得，f(x)18x2252x432 18(x2)(x12). 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,1,2,3,4,5,故当x12时，f(x)取得极大值. 因为f(0)9 072，f(12)11 664. 所以定价为301218(元)，才能使一个星期的商品销售利润最大.,1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)； (2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0； (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.,规律与方法,2.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路.另外需要特别注意 (1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域； (2)与实际问题相联系； (3)必要时注意分类讨论思想的应用.,
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