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2.1函数及其表示,教材研读,1.函数的基本概念,2.函数的表示法,3.映射的概念,4.映射与函数的关系,5.求函数定义域的三种常见类型及求解策略,考点突破,考点一 函数的定义域,考点二 求函数的解析式,考点三 分段函数,1.函数的基本概念 (1)函数的定义 设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),xA.,教材研读,在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合C=f(x)|xA叫做函数的值域.显然CB. (3)函数的三要素:定义域、值域和对应关系. (4)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判定两函数相等的依据.,(2)函数的定义域、值域,2.函数的表示法 函数的表示方法:解析法、图象法、列表法.,3.映射的概念 设A、B是两个非空集合,如果按照某种对应关系f,使对于集合A 中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与 之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射.,4.映射与函数的关系 由映射的定义可以看出,映射是函数概念的推广,函数是一种特 殊的映射,要注意构成函数的两个集合A、B必须是非空数 集.,5.求函数定义域的三种常见类型及求解策略 (1)已知函数解析式求定义域:构造使解析式有意义的不等式(组) 求解. 分式的分母不为零;偶次方根的被开方数非负;零次幂的 底数不为零;对数的真数大于零,底数大于零且不等 于1;正切函数y=tan x中,xk+,kZ. (2)复合函数的定义域,已知y=f(x)的定义域为a,b,求y=f(g(x)的定义域.由ag(x)b求 出x的范围,就是y=f(g(x)的定义域. 已知y=f(g(x)的定义域为a,b,求y=f(x)的定义域.求出y=g(x),xa, b的值域,就是y=f(x)的定义域. (3)实际问题中的函数的定义域 在实际问题中,既要使构建的函数解析式有意义,又要考虑实际问题本身对自变量的限制.,1.(教材习题改编)函数f(x)=+的定义域为( C ) A.0,2) B.(2,+) C.0,2)(2,+)D.(-,2)(2,+),2.下列四组函数中同组两个函数相等的组数为( B ) (1)f(x)=|x|,g(t)=;(2)f(x)=x2,g(t)=()4;(3)f(x)=x+1,g(t)=;(4)f(x)= ,g(t)=. A.0B.1 C.2D.3,解析 (2)中f(x)定义域为R,g(t)定义域为0,+).(3)中f(x)定义域为R,g(t)定义域为(-,1)(1,+).(4)中f(x)定义域为(-,-11,+),g(t)定义域为1,+).(1)中虽然使用的字母不同,但两个函数的对应关系和定义域均相同.所以同组两个函数相等的组数为1.,3.若函数y=lg(a2-1)x2+(a+1)x+1的定义域为R,则实数a的取值范围是 (D) A.(-,-11 B.(-,-1 C.(-,-1) D.(-,-1,解析 由题意,知(a2-1)x2+(a+1)x+10对xR恒成立.当a2-1=0时,可得a=-1满足条件.,当a2-10时,应满足 解得a. 综上,可得a-1,或a.故选D.,4.若函数f(x)=则f(9)= 2 ;f= 0 .,解析f(9)=log39=2, f=log3=-2, f(-2)=f(1)=log31=0.,5.如图,动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始,顺次经C、D、A绕边界运动,用x表示点P的行程,y表示APB的面积,求函数y=f(x)的解析式.,解析当点P在BC上运动,即0 x4时,y=4x=2x; 当点P在CD上运动(不包含C点),即4x8时, y=44=8; 当点P在DA上运动(不包含D点),即8x12时,y=4(12-x)=24-2x, 综上, f(x)=,函数的定义域 命题方向一求函数定义域 典例1函数y=的定义域是-3,1.,解析若函数有意义,则3-2x-x20,即x2+2x-30,解得-3x1.,考点突破,探究本例中的函数为y=,若将此函数改为y=f(3-2x-x2),并 给定y=f(x)的定义域为-5,0,求函数y=f(3-2x-x2)的定义域.,解析由题意得不等式-53-2x-x20,解得-4x-3或1x2, 所以y=f(3-2x-x2)的定义域为-4,-31,2.,典例2已知函数f(x)=(1-a2)x2+(a-1)x+1的定义域为R,求实数a的取值 范围.,命题方向二已知函数定义域求参数,解析由题意得a=1或 解得-a1.,规律方法 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题.在解不等式组取交集时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍. (2)求抽象函数的定义域:若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式ag(x)b即可求出y=f(g(x)的定义域;若y=f(g(x)的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得y=f(x)的定义域. (3)已知函数定义域求参数范围,可将问题转化成含参数的不等式(组)问题,然后求解.,提醒(1)求函数定义域时,对函数解析式先不要化简; (2)求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式.,1-1已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为( B ) A.(-1,1)B. C.(-1,0)D.,解析由已知得-12x+10,解得-1x-, 所以函数f(2x+1)的定义域为,选B.,1-2若函数f(x)=的定义域为实数集,则实数m的取值范围 是0,4.,解析由题意可得mx2+mx+10恒成立. 当m=0时,10恒成立; 当m0时,则解得0m4. 综上可得0m4.,典例3(2019效实中学月考)(1)已知f=lg x,求f(x); (2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x).,求函数的解析式,解析(1)令t=+1(x0),则x=(t1), f(t)=lg(t1),f(x)=lg(x1). (2)设f(x)=ax+b(a0), 则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b =ax+b+5a=2x+17, a=2,b=7,故f(x)=2x+7.,方法技巧 求函数解析式的常用方法,1.凑配法:已知f(g(x)=F(x),可将F(x)凑配成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式.,2.待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则可用待定系数法.,3.换元法:已知复合函数f(g(x)的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.,4.解方程组法:已知关于f(x)与f 或f(x)与f(-x)的表达式,可根据已知条件构造出另一个等式,组成方程组,通过解方程组求出f(x).,同类练已知f(x)是二次函数, f(0)=0,且f(x+1)+f(2x)=5x2-4x-1,求f(x)的解析式.,解析设f(x)=ax2+bx(a0), 则f(x+1)+f(2x)=a(x+1)2+b(x+1)+a(2x)2+b(2x)=5ax2+(2a+3b)x+a+b=5x2-4x-1, 所以解得所以f(x)=x2-2x.,变式练已知函数f(x)满足:当x0时,有fx-=x3-,求f(x)的解析式.,解析x3-=+3, f=, f(x)=x(x2+3)=x3+3x. 又函数y=x-的值域为R,函数f(x)的定义域为R, 故f(x)的解析式为f(x)=x3+3x(xR).,深化练定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函数f(x)的解析式.,解析已知当x(-1,1)时,有2f(x)-f(-x)=lg(x+1),用-x替换x得,2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).由2+可消去f(-x),可得f(x)=lg(x+1)+lg(1-x),x(-1,1).,典例4(1)已知函数f(x)=则f(f(-2)=,函数f(x)的值 域为 (-,1 . (2)已知函数f(x)=则f(f(2)=,不等式f(x-3)f(2)的解 集为.,分段函数 命题方向一分段函数求值,解析(1)易知f(-2)=,所以f(f(-2)=f=. 当x0时, f(x)=1-1, 当x0时, f(x)=2x(0,1), 故函数f(x)的值域是(-,1. (2)易知f(2)=,所以f(f(2)=f=. 当x-31,即x4时, f(x-3)=x-3, f(x-3)f(2),即x-3,解得x;,当x-31,即x4时, f(x-3)=, f(x-3)5. 综上, f(x-3)f(2)的解集为.,规律总结 (1)根据分段函数的解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式求解,从最内层逐层向外计算. (2)分段函数是一个函数,其定义域是各段定义域的并集,其值域是各段值域的并集.,命题方向二含参数的分段函数问题 典例5已知函数f(x)=是R上的减函数,则实数a的取值范 围是.,解析因为f(x)在R上是减函数, 所以解得0a.,规律总结 若分段函数是单调函数,则必须保证各段单调性一致,同时必须注意分界点上函数值的大小关系.,同类练已知函数f(x)=则当t=0时, f(f(1)= -3 .若函数f (x)有最大值,则t的取值范围是 (-,1 .,解析当t=0时, f(f(1)=f(-1)=-3. 作出函数f(x)的图象,移动直线x=t,由图象可知,要使得f(x)有最大值,需t1.,变式练设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f=( C ) A.2B.4C.6D.8,解析当01,f(a)=, f(a+1)=2(a+1-1)=2a. 由f(a)=f(a+1)得 =2a,a=.,此时f=f(4)=2(4-1)=6. 当a1时,a+11,f(a)=2(a-1), f(a+1)=2(a+1-1)=2a. 由f(a)=f(a+1)得2(a-1)=2a,无解. 综上, f=6,故选C.,
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