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第五章 一元一次方程,初中数学（北师大版） 七年级 上册,知识点生活中的数量分配问题 1.列一元一次方程解应用题的步骤 (1)审题:弄清题意及题中的数量关系. (2)设元:用字母设出未知数. (3)列方程:根据题意,找到等量关系,列方程. (4)解方程:求方程的解. (5)检验:检验所求的方程的解是否符合题意. (6)作答.,解析设王叔叔购买甲种人参x棵,乙种人参(15-x)棵,根据题意,得100 x+70(15-x)=1 200,解得x=5,则15-x=10. 答:王叔叔购买甲种人参5棵,乙种人参10棵.,题型一利用表格解决工程问题 例1某项工作,甲单独做需要4小时,乙单独做需要6小时,甲先做30分钟,然后甲、乙合作.问:甲、乙合作还需要多少小时才能完成全部工作?,解析设甲、乙合作还需要x小时才能完成全部工作,则甲、乙两人的工作效率、工作时间、工作量如下表:,从表中可以找到等量关系:甲的工作量+乙的工作量=总工作量,即 +x=1,解方程得x=2.1. 答:甲、乙合作还需要2.1小时才能完成全部工作.,点拨列表的目的是把题目中所给出的条件和要求的量在一个表格中显示出来,这样可以使那些较为复杂的关系条理清楚,往往能较快地发 现等量关系.,题型二解决多余与不足问题 例2若干辆汽车装运一批货物,每辆装3.5吨,这批货物就有2吨不能运走;每辆装4吨,那么装完这批货物后,还可以装其他货物1吨,问汽车有多少辆?这批货物的总质量是多少吨? 分析本题有两个不变量,装运货物的汽车的数量和货物的总质量,设有x辆汽车,然后用含x的两种代数式表示货物的总质量,然后用等号连接这两个代数式构造一个方程.,解析设有x辆汽车. 依据题意得3.5x+2=4x-1, 解这个方程,得x=6,则4x-1=23. 答:汽车有6辆,这批货物的总质量为23吨.,知识点生活中的数量分配问题 1.练习本比水性笔的单价少2元,小刚买了5本练习本和3支水性笔正好用去14元.如果设水性笔的单价为x元,那么下列方程正确的是() A.5(x-2)+3x=14B.5(x+2)+3x=14 C.5x+3(x+2)=14D.5x+3(x-2)=14,答案A由题意得,练习本的单价为(x-2)元,买5本练习本和3支水性笔共用5(x-2)+3x元,故选A.,2.(2016福建莆田期末)某土建工程共需动用15台挖运机械,每台机械每分钟能挖土3 m3或者运土2 m3.为了使挖土和运土工作同时结束,安排了x台机械运土,这里x应满足的方程是() A.2x=3(15-x)B.3x-2x=15 C.15-2x=3xD.3x=2(15-x),答案A由运土机械为x台知挖土机械为(15-x)台. 由题意得2x=3(15-x).,3.小丽和爸爸一起玩投篮球游戏,两人商定规则:小丽投中1个得3分,爸爸投中1个得1分,结果两人一共投中了20个,得分刚好相等.则小丽投中了个.,答案5,解析设小丽投中x个,则爸爸投中(20-x)个, 根据题意,得3x=(20-x)1. 解得x=5.则小丽投中了5个.,4.一个大人一餐能吃四个面包,两个幼儿一餐共吃一个面包,大人和幼儿共7人,共吃了14个面包,则大人、幼儿各有多少人?,解析设大人有x人,则幼儿有(7-x)人, 根据题意得4x+=14,解得x=3,7-3=4(人). 答:大人有3人,幼儿有4人.,5.(2013云南曲靖中考)某种仪器由1个A部件和1个B部件配套构成,每个工人每天可以加工A部件1 000个或者加工B部件600个,现有工人16名,应怎样安排人力,才能使每天生产的A部件和B部件配套?,解析设安排生产A部件的工人为x人,则生产B部件的工人为(16-x)人,根据题意得1 000 x=600(16-x),解得x=6,则16-x=10. 答:安排生产A部件和B部件的工人分别为6人,10人.,1.某项工程,甲单独完成要45天,乙单独完成要30天,若乙先单独干22天,剩下的由甲去完成,问甲、乙一共用多少天可全部完成任务?设甲、乙共用x天可全部完成任务,下列方程符合题意的是() A.+=1B.+=1 C.+=1D.+=1,答案A由题意,得甲一共干了(x-22)天,共完成总工程的,乙共 完成总工程的,故得+=1,故选A.,2.甲仓库存煤200吨,乙仓库存煤70吨,若甲仓库每天运出15吨煤,乙仓库每天运进25吨煤,则天后乙仓库存煤比甲仓库多1倍.,答案6,解析设x天后乙仓库存煤比甲仓库多1倍,则70+25x=2(200-15x),解得x=6.,3.甲、乙两人检修一条长1 000 m的煤气管道,甲每小时检修100 m,乙每小时检修150 m.现在两人合作,需要小时完成.,答案4,解析设两人合作需要x小时完成,根据题意,得100 x+150 x=1 000,解得x=4.,4.一艘船的货舱容积为2 000立方米,可载重500吨,现有甲、乙两种货物待装,已知甲种货物每吨的体积为7立方米,乙种货物每吨的体积为2立方米,两种货物各应装多少吨最合理(不计货物之间的空隙)?,解析设甲种货物装x吨,则乙种货物装(500-x)吨. 由题意得7x+2(500-x)=2 000, 5x=1 000, 解得x=200, 500-200=300(吨). 答:甲种货物装200吨,乙种货物装300吨.,5.某天一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场买了西红柿和豆角共40千克到菜市场去卖,西红柿和豆角这天的批发价和零售价如下表所示:,(1)求他当天从蔬菜批发市场买了西红柿和豆角各多少千克; (2)求他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱.,解析(1)设买了x千克西红柿,则买豆角(40-x)千克. 依题意得,1.2x+1.6(40-x)=60,解得x=10, 则40-10=30(千克). 答:他当天买了10千克西红柿,30千克豆角. (2)1.810+2.530-60=33(元). 答:他当天卖完这些西红柿和豆角能赚33元钱.,1.修一条排水渠,甲队单独做需10天,乙队单独做需15天,现由两队合修,中途乙队被调走,余下的任务由甲队单独做,又修了5天后完成,在这个过程中,甲、乙两队合修了() A.2天B.3天C.4天D.5天,答案B设甲、乙两队合修了x天,则x+5=1,解这个方程, 得x=3.,2.我市某服装厂要生产一批学生校服,已知每3 m的布料可做上衣2件或裤子3条,因裤子旧得快,要求一件上衣和两条裤子配一套,现计划用1 008 m的布料加工成学生校服,应如何安排布料加工上衣和裤子才能刚好配套?且能加工多少套校服?,解析设用x米布料做上衣,则用(1 008-x)米布料做裤子,由题意得2 2=3, 解得x=432, 1 008-x=1 008-432=576.2=288. 答:安排布料432米加工上衣,576米加工裤子才能刚好配套,能加工288套校服.,1.数学考试出了15道题,做对一题得4分,做错一题扣2分,若王刚做了全部15道题,共得了36分,那么他做对了() A.10道题B.11道题C.12道题D.13道题,答案B设做对了x道题,则做错了(15-x)道题,根据题意得4x-2(15-x)=36,解得x=11,故选B.,2.将一堆桃子分给几只猴子,每只猴子分4个,剩余3个,每只猴子分5个,会少2个,那么桃子和猴子的数量分别为() A.4,19B.5,23C.6,27D.7,31,答案B设有x只猴子,则根据题意得4x+3=5x-2,解得x=5,4x+3=45+3=23,所以有5只猴子,23个桃子.,3.江南生态食品加工厂收购了一批质量为10 000千克的某种山货,根据市场需求对其进行粗加工和精加工处理,已知精加工的该种山货的质量比粗加工的质量的3倍还多2 000 千克,求粗加工的该种山货的质量.,解析设粗加工的该种山货的质量为x千克,则精加工的该种山货的质量为(3x+2 000)千克. 根据题意得x+(3x+2 000)=10 000,解得x=2 000. 答:粗加工的该种山货的质量为2 000千克.,4.甲、乙两个汽车厂按计划每月共生产汽车460辆,由于两厂都改进了技术,甲厂本月完成计划的110%,乙厂本月完成计划的115%,两厂共生产汽车519辆,按计划甲、乙两厂各应生产多少辆汽车?,解析设计划甲厂生产x辆汽车,则计划乙厂生产(460-x)辆汽车,根据题意得 110%x+115%(460-x)=519,解得x=200. 460-200=260(辆). 答:甲厂计划生产200辆汽车,乙厂计划生产260辆汽车.,5.甲、乙两人想共同承包一项工程,甲单独做30天完成,乙单独做20天完成,合同规定15天完成,否则每超过1天罚款1 000元,甲、乙两人经商量后签订了该合同. (1)正常情况下,甲、乙两人能否履行该合同?为什么? (2)现两人合作了这项工程的75%,因别处有急事,必须调走1人,问调走谁更合适些?为什么?,解析(1)能履行该合同. 设甲、乙合作x天完成,则有+x=1,解得x=12. 因为1215,所以两人能履行该合同. (2)由(1)知,两人合作完成这项工程的75%需要的时间为1275%=9(天).剩下6天必须由某人做完余下的工程,故他的工作效率为25%6=,因 为,故调走甲合适.,答案C设x人挖土,则(27-x)人运土,根据题意得, 4x=5(27-x),解得x=15,27-15=12(人),故选C.,解析设原计划租45座客车x辆,根据题意得, 45x+15=60(x-1), 解得x=5, 所以需租45座客车6辆,60座客车4辆. 租45座客车费用:250(5+1)=1 500元,租60座客车费用:300(5-1)=1 200元,因为1 5001 200元,所以租60座客车更合算,需租4辆.,1.(2017广东广州海珠期末,21,)足球比赛规定:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.某队参加了16场比赛,共得30分,已知该队只输了2场,那么这个队胜了几场?平了几场?,解析设这个队胜了x场,则平了(14-x)场. 根据题意得3x+(14-x)1=30, 解得x=8,则14-x=6. 答:这个队胜了8场,平了6场.,2.(2017北京昌平期末,25,)为纪念红军长征胜利80周年,让人们更好地了解历史,开展爱国主义教育,传承和弘扬伟大的长征精神,军事博物馆举办“英雄史诗不朽丰碑纪念中国工农红军长征胜利80周年主题展览”活动.展览图片、文物、艺术品共计572件,文物比艺术品的5倍还多27件,图片比文物、艺术品的和少22件,求展出的艺术品有多少件.,解析设展出的艺术品有x件,则展出的文物有(5x+27)件,图片有(5x+27+x-22)件. 根据题意,得(5x+27)+x+(5x+27+x-22)=572, 解方程得x=45. 答:展出的艺术品有45件.,答案C若安排x名工人生产螺钉,则生产螺母的工人为(26-x)名.根据题意,可列方程为1 000(26-x)=2800 x,故选C.,解析设鸡有x只,则兔有(35-x)只. 依题意,得2x+4(35-x)=94, 解得x=23,35-23=12. 答:鸡有23只,兔有12只.,3.(2016云南中考,17,)食品安全是关乎民生的重要问题,在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害,但适量的添加剂对人体无害而且有利于食品的储存和运输.为提高质量,做进一步研究.某饮料加工厂需生产A、B两种饮料共100瓶,需加入同种添加剂270克,其中A饮料每瓶需加该添加剂2克,B饮料每瓶需加该添加剂3克,饮料加工厂生产了A、B两种饮料各多少瓶?(8分),解析设饮料加工厂生产了A种饮料x瓶,则生产B种饮料(100-x)瓶,根据题意得 2x+3(100-x)=270,解得x=30, 100-x=100-30=70. 答:饮料加工厂生产了A种饮料30瓶,B种饮料70瓶.,1.(2016山东聊城中考,8,)在如图的2016年6月份的月历表中,任意框出表中竖列上三个相邻的数,这三个数的和不可能是() A.27B.51C.69D.72,答案D设所框出的竖列上三个相邻的数分别为x-7,x,x+7,其中x为正整数,则这三个数的和为(x-7)+x+(x+7)=3x.当3x=27时,x=9,可能;当3x=51时,x=17,可能;当3x=69时,x=23,可能;当3x=72时,x=24,不可能.故选D.,2.(2016湖南湘潭中考,7,)程大位直指算法统宗:一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚得几丁.意思是:有100个和尚分100个馒头.如果大和尚1人分3个,小和尚3人分1个,正好分完,试问大、小和尚各多少人?设大和尚有x人,依题意列方程得() A.+3(100-x)=100B.-3(100-x)=100 C.3x+=100D.3x-=100,答案C由题意得3x+=100.,3.(2017湖南张家界中考,18,)某校组织“大手拉小手,义卖献爱心”活动,购买了黑白两种颜色的文化衫共140件,进行手绘设计后出售,所获利润全部捐给山区困难孩子.每件文化衫的批发价和零售价如下表:,假设文化衫全部售出,共获利1 860元,求黑白两种文化衫各多少件.,解析设黑色文化衫有x件,则白色文化衫有(140-x)件, 根据题意,得(25-10)x+(20-8)(140-x)=1 860,解得x=60. 140-60=80. 答:黑色文化衫有60件,白色文化衫有80件.,4.(2016湖北黄冈中考,16,)在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中,七年级和八年级共收到征文118篇,且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇,求七年级收到的征文有多少篇.,解析设八年级收到的征文有x篇,则七年级收到的征文有篇. 依题意得+x=118, 解得x=80,则118-80=38. 答:七年级收到的征文有38篇.,1.某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生,购买了钢笔30支,毛笔45支,共用了1 755元,其中每支毛笔比钢笔贵4元. (1)钢笔和毛笔的单价各为多少元? (2)学校仍需要购买上述的两种笔共105支(每种笔的单价不变).陈老师做完预算后,对财务处王老师说:“我这次买这两种笔需支领2 447元.”王老师算了一下,说:“如果你用这些钱只买这两种笔,那么账肯定算错了.”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说陈老师用这些钱只买这两种笔的账算错了. 陈老师突然想起,所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔.如果签字笔的单价为小于10元的整数,请通过计算,求出签字笔的可能单价.,解析(1)设钢笔的单价为x元,则毛笔的单价为(x+4)元.由题意得,30 x+45(x+4)=1 755,解得x=21,则x+4=25. 故钢笔的单价为21元,毛笔的单价为25元. (2)设单价为21元的钢笔有y支, 则单价为25元的毛笔有(105-y)支. 根据题意,得21y+25(105-y)=2 447, 解得y=44.5(不符合题意). 所以陈老师肯定算错了账. 设单价为21元的钢笔有z支,则单价为25元的毛笔有(105-z)支,设签字笔的单价为a元, 则根据题意,得21z+25(105-z)=2 447-a,整理得4z=178+a, 因为a、z都是整数,所以178+a应被4整除, 所以a为偶数, 又因为a为小于10的整数, 所以a可能为2、4、6、8. 当a=2时,4z=180,解得z=45,符合题意; 当a=4时,4z=182,解得z=45.5,不符合题意; 当a=6时,4z=184,解得z=46,符合题意; 当a=8时,4z=186,解得z=46.5,不符合题意. 所以签字笔的单价可能为2元或6元.,2.(2018山西农大附中第三次月考)公园门票价格规定如下表:,某校七年级(1)、(2)两个班共104人去游公园,其中(1)班人数较少,不足50人,(2)班超过50人,但不足100人.经估算,如果两个班都以班为单位购票,则一共应付1 240元,问: (1)两班各有多少名学生? (2)如果两班联合起来,作为一个团体购票,可省多少钱? (3)如果七年级(1)班单独组织去游公园,作为组织者的你将如何购票才最省钱?,解析(1)设七年级(1)班有x名学生,则七年级(2)班有(104-x)名学生.依题意得13x+11(104-x)=1 240,解得x=48. 答:七年级(1)班有48名学生,七年级(2)班有56名学生. (2)1 240-1049=304(元),可省304元. (3)要想享受优惠,由(1)可知七年级(1)班48人,只需多买3张票,此时所需费用为5111=561(元),4813=624元561元,48人买51人的票可以更省钱.,国家为控制房价,出台新规定“征收非唯一二手房房产交易盈利部分的20%的个人所得税”(房产交易盈利=实际成交价格-原购买价格).老王五年前购买了第二套房产,总价为60万,现想把这套房卖掉.除个人所得税外,还要缴纳契税、营业税及其他税.如下表:,老王这套房子现在的市场价为7 000元/m2. (1)假设老王房子的面积是150 m2,求老王共纳税多少万元; (2)老王这套房子实际共纳税100 500元,求老王这套房子的面积.,解析(1)7 000150=1 050 000元=105万元,105-60=45(万元), 45(20%+5.5%)+105(3%+1%) =450.255+1050.04 =11.475+4.2 =15.675(万元). 答:老王共纳税15.675万元.,(2)100 500元=10.05万元.设老王这套房子的面积是x m2,则实际成交价格是0.7x万元,房产交易盈利为(0.7x-60)万元,当010.05万元,则老王这套房子的面积的范围是90x144,则0.7x(1.5%+1%)+(0.7x-60)20%=10.05, 解得x=140. 答:老王这套房子的面积是140 m2.,
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