三角计算及其应用电子教案全

第一课时：两角和及差的余弦（一）【教学目标】知识目标：理解两角和及差的余弦公式能力目标：通过三角计算的学习，培养学生的计算技能及计算工具使用技能【教学重点】本节课的教学重点是两角差的余弦公式 【教学难点】难点是公式的推导和运用【教学设计】介绍新知识前，先利用特殊角的三角函数值，认识到，进而提出如何计算的问题这个导入过程是非常重要的，所指出的错误正是学生学习中最容易发生的，在教学中不可忽视利用向量论证的公式，使得公式推导过程简捷正确理解向量数量积的两种方法是理解公式推导过程的关键建议教师授课前，让学生复习向量的有关知识这个公式是推导后面各公式的基础，教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向及反向的应用上例1-例4都是两角和及差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点例3中得到的结论，都是初中学习过的公式，现在将角从锐角推广到任意角根据中等职业学校数学教学大纲的要求，教材并没有将这组公式作为公式来进行强化，只作为两角和及差的余弦公式运用的教学例题出现，同时承上启下，为推导的公式作准备教材利用的公式推导的公式的步骤是：利用，推出【课时安排】1课时【教学过程】揭示课题11两角和及差的余弦公式创设情境 兴趣导入问题 我们知道，显然由此可知动脑思考 探索新知在单位圆（如上图）中，设向量、及x轴正半轴的夹角分别为和，则点A的坐标为（），点B的坐标为（）因此向量，向量，且,于是 ，又，所以 （1）又 （2）利用诱导公式可以证明，(1)、(2)两式对任意角都成立（证明略）由此得到两角和及差的余弦公式 （1.1） （1.2）公式（.）反映了的余弦函数及，的三角函数值之间的关系；公式（.2）反映了的余弦函数及，的三角函数值之间的关系巩固知识 典型例题例1求的值分析 可利用公式（1.1），将75角看作45角及30角之和解（转下节）第二课时：两角和及差的余弦（二）【教学目标】知识目标：理解两角和及差的余弦公式能力目标：通过三角计算的学习，培养学生的计算技能及计算工具使用技能【教学重点】本节课的教学重点是两角和及差的余弦公式 【教学难点】难点是公式的运用【课时安排】1课时【教学过程】（接上节）巩固知识 典型例题例1求的值分析 可利用公式（1.1），将75角看作45角及30角之和解例2设并且和都是锐角，求的值分析 可以利用公式（1.1），但是需要首先求出及的值解因为，并且和都是锐角，所以，因此 ， .例3 分别用或，表示及解 = 故 令,则,代入上式得，即 .运用知识 强化练习 1求的值. 2求的值理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：两角和及差的余弦公式内容是什么？ 结论：两角和及差的余弦公式 （1.1） （1.2）自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？已知且均为锐角，求的值继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题11（必做）；学习指导11（选做）(3)实践调查：用两角和及差的余弦公式印证一组诱导公式课后反思：第三课时：两角和及差的余弦公式及正弦公式（一）【教学目标】知识目标：理解两角和及差的正弦公式能力目标：通过三角计算的学习，培养学生的计算技能及计算工具使用技能【教学重点】运用公式，进行简单三角函数式的化简及求值 【教学难点】运用公式，解决简单三角函数式的化简及求值问题【教学设计】公式的推导过程是，首先反向应用例3中的结论，然后再利用公式，最后整理得到公式教学关键是引导学生将看做整体，这样才能应用公式反向使用公式，培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，要在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视例5、例6是公式的巩固性题目，教学中要强调公式的特点，例7是反向应用公式，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，注重方法和思想的教育【教学备品】教学课件【课时安排】1课时【教学过程】揭示课题火车1中国比利时飞机1飞机2火车2火车3货船1货船211两角和及差的余弦公式及正弦公式*创设情境 兴趣导入问题动脑思考 探索新知由于=对于任意角都成立，所以 .由此得到，两角和及差的正弦公式 (1.3) (1.4)巩固知识 典型例题例5 求的值.分析 可以利用公式（1.4），将15角可以看作是60角及45角之差解 例6已知求的值解 由于，故所以（转下节）第四课时：两角和及差的余弦公式及正弦公式（二）【教学目标】知识目标：理解两角和及差的正弦公式能力目标：通过三角计算的学习，培养学生的计算技能及计算工具使用技能【教学重点】运用公式，进行简单三角函数式的化简及求值 【教学难点】运用公式，解决简单三角函数式的化简及求值问题【教学设计】公式的推导过程是，首先反向应用例3中的结论，然后再利用公式，最后整理得到公式教学关键是引导学生将看做整体，这样才能应用公式反向使用公式，培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，要在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视例5、例6是公式的巩固性题目，教学中要强调公式的特点，例7是反向应用公式，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，注重方法和思想的教育【教学备品】教学课件【课时安排】1课时【教学过程】（接上节）巩固知识 典型例题例7 求的值分析 所给的式子恰好是公式（1.3）右边的形式，可以考虑逆向使用公式解 =【小提示】逆向使用公式是非常重要的，往往会带来新的思路，使问题的解决简单化运用知识 强化练习 1求的值2求的值3求的值理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：两角和及差的正弦公式内容是什么？ 结论：两角和及差的余弦公式 (1.3) (1.4)归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？已知，且，求的值继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题11（必做）；学习及训练11（选做）(3)实践调查：用两角和及差的正弦公式印证一组诱导公式课后反思：第五课时：倍角公式（一）【教学目标】知识目标：了解二倍角公式能力目标：通过三角计算的学习，培养学生的计算技能及计算工具使用技能【教学重点】运用三角公式，进行简单三角函数式的化简及求值 【教学难点】运用三角公式，解决简单三角函数式的化简及求值问题【教学设计】要明确二倍角的概念：是的二倍角，是的二倍角，是的二倍角等二倍角的实质是用一个角的三角函数表示这个角的二倍角的三角函数要使学生从一开始就对二倍角的含义有正确的认识二倍角余弦的三种形式的公式同等重要，要分析这三种公式各自的形式特点公式的特点是公式的右边是平方差的形式，可以方便的进行因式分解；公式和是分别用角的余弦及正弦中的一种函数来表示二倍角余弦；变形公式和的特点是公式的左边是关于三角函数的平方，右边是关于二倍角余弦的一次式正向使用公式通常把公式叫做降幂公式，反向使用公式通常把公式叫做升幂公式降幂公式和升幂公式在专业课程及后继课程的学习中，有着广泛的应用要引导学生抓住各个公式的特点，理解、记忆和正确使用这些公式【课时安排】1课时【教学过程】揭示课题火车1中国比利时飞机1飞机2火车2火车3货船1货船211两角和及差的余弦公式及正弦公式动脑思考 探索新知在公式（1.3）中，令，可以得到二倍角的正弦公式即(1.5)同理，公式（1.1）中，令，可以得到二倍角的余弦公式 (1.6)因为，所以公式(1.6)又可以变形为，或 .还可以变形为， 或 .公式（1.5）、（1.6）及其变形形式，反映出具有二倍关系的角的三角函数之间的关系在三角的计算中有着广泛的应用【小提示】二倍角公式适用于所有具有二倍关系的角如及，及，及等巩固知识 典型例题例8已知，且为第二象限的角，求、的值解因为为第二象限的角，所以，故，例9 已知，且，求、的值分析 及，及之间都是具有二倍关系的角，故可以使用二倍角公式来计算解 由知，所以，故 由于，且，所以（转下节）第六课时：倍角公式（二）【教学目标】知识目标：了解二倍角公式能力目标：通过三角计算的学习，培养学生的计算技能及计算工具使用技能【教学重点】运用三角公式，进行简单三角函数式的化简及求值 【教学难点】运用三角公式，解决简单三角函数式的化简及求值问题【教学设计】要明确二倍角的概念：是的二倍角，是的二倍角，是的二倍角等二倍角的实质是用一个角的三角函数表示这个角的二倍角的三角函数要使学生从一开始就对二倍角的含义有正确的认识二倍角余弦的三种形式的公式同等重要，要分析这三种公式各自的形式特点公式的特点是公式的右边是平方差的形式，可以方便的进行因式分解；公式和是分别用角的余弦及正弦中的一种函数来表示二倍角余弦；变形公式和的特点是公式的左边是关于三角函数的平方，右边是关于二倍角余弦的一次式正向使用公式通常把公式叫做降幂公式，反向使用公式通常把公式叫做升幂公式降幂公式和升幂公式在专业课程及后继课程的学习中，有着广泛的应用要引导学生抓住各个公式的特点，理解、记忆和正确使用这些公式【课时安排】1课时【教学过程】巩固知识 典型例题例8已知，且为第二象限的角，求、的值解因为为第二象限的角，所以，故，例9 已知，且，求、的值分析 及，及之间都是具有二倍关系的角，故可以使用二倍角公式来计算解 由知，所以，故 由于，且，所以【注意】要用公式（1.6）及其变形公式求三角函数的值时，经常需要进行开方运算，因此，要首先确定角的范围.运用知识 强化练习 已知，且为第一象限的角，求、理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：二倍角的正弦、余弦公式的内容是什么？ 结论：自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？已知，且求继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题11（必做）；学习及训练11（选做）(3)实践调查：通过公式推导，了解公式间内在联系第七课时：正弦型函数（一）【教学目标】知识目标：掌握正弦型函数的性质能力目标：（1）通过三角计算的学习，培养学生的计算技能及计算工具使用技能（2）通过应用举例及数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力【教学重点】利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期和最值 【教学难点】利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期和最值【教学设计】本节课的教学重点是正弦型函数性质的理解及应用，教材主要研究正弦型函数的周期性和最大值（最小值）讲解这部分内容时，一定要注意“变量替换”的运用，要讲清利用“变量替换”的手段进行化归的思想，以利于通过各个部分内容的教学，使得学生切实掌握这个重要的数学思维方法例1介绍了求正弦型函数的最值及相应的角的取值的方法解题过程中设新变量的目的是突出、强化“变量替换”，熟练之后，可以省略设新变量的过程，将看做一个整体，直接写出取得最大（小）值时的角【课时安排】一课时【教学过程】揭示课题火车1中国比利时飞机1飞机2火车2火车3货船1货船21.2正弦型函数*创设情境 兴趣导入我们已经学习了正弦函数和余弦函数在物理和电学中，经常遇到形如的函数，这类函数叫做正弦型函数动脑思考 探索新知正弦型函数及正弦函数有着密切的关系在正弦型函数中，令,则函数是正弦函数,其定义域为，周期为,故函数的定义域为，并且 ,即.因此，函数也是周期函数，其周期为.由于函数的最大值为1,最小值为1，故(A0)的最大值为A，最小值为A即正弦型函数的最大值为A，最小值为A.综上所述，正弦型函数的定义域为R，周期为，最大值为A，最小值为A巩固知识 典型例题例1求函数的周期,并指出当角取何值时函数取得最大值和最小值.解 函数的周期为.设，则.当，即时，函数有最大值，最大值为；当，即时，函数有最小值，最小值为.所以，当Z)时，函数取得最大值；当Z)时，函数取得最小值.（转下节）第八课时：正弦型函数（二）【教学目标】知识目标：掌握正弦型函数的性质能力目标：（1）通过三角计算的学习，培养学生的计算技能及计算工具使用技能（2）通过应用举例及数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力【教学重点】利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期和最值 【教学难点】利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期和最值【教学设计】本节课的教学重点是正弦型函数性质的理解及应用，教材主要研究正弦型函数的周期性和最大值（最小值）讲解这部分内容时，一定要注意“变量替换”的运用，要讲清利用“变量替换”的手段进行化归的思想，以利于通过各个部分内容的教学，使得学生切实掌握这个重要的数学思维方法例1介绍了求正弦型函数的最值及相应的角的取值的方法解题过程中设新变量的目的是突出、强化“变量替换”，熟练之后，可以省略设新变量的过程，将看做一个整体，直接写出取得最大（小）值时的角【课时安排】一课时【教学过程】（接上节）动脑思考 探索新知一般地,研究函数（）时,首先要把函数转化为的形式考察以为坐标的点(如图)，设以为终边的角为，则图， 于是 即角的值可以由确定（角所在的象限及点所在的象限相同）巩固知识 典型例题故当即取得最大值2；当即取得最小值2运用知识 强化练习 求下列函数的周期，并指出当角x取何值时函数取得最大值和最小值：(1)； *（2）理论升华 整体建构结论：正弦型函数的定义域为R，周期为，最大值为A，最小值为A.继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题12（必做）；学习及训练12（选做）第九课时：作正弦型函数的图象（一）【教学目标】知识目标：会利用“五点法”作出正弦型函数的图像，了解正弦型函数在电学中的应用能力目标：通过应用举例及数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力【教学重点】利用“五点法”作出正弦型函数的图像；已知正弦型函数的图像写出函数的解析式【教学难点】已知正弦型函数的图像写出函数的解析式【教学设计】本节课的教学要求是掌握正弦型函数的性质及图像的“五点法”作图；由于主要为工科机电类专业服务，所以，在正弦型函数的应用方面，没有介绍传统的简谐振动，而把重点放在介绍简谐交流电的三要素和同频率的正弦量的合成上，正弦量的合成也只介绍同峰值的正弦量的合成，降低了难度例7是同频率的正弦量的合成问题计算量比较大，可以根据学生的情况选用电工实际计算中，一般是利用向量或复数进行计算教材中安排本题的意图是为学生理解同频率的正弦量的合成奠定基础【课时安排】1课时【教学过程】揭示课题火车1中国比利时飞机1飞机2火车2火车3货船1货船21.2正弦型函数*创设情境 兴趣导入及正弦函数图像的做法类似，可以用“五点法”作出正弦型函数的图像正弦型函数的图像叫做正弦型曲线巩固知识 典型例题例3作出函数在一个周期内的简图分析 函数及函数的周期都是，最大值都是2，最小值都是2.解 为求出图像上五个关键点的横坐标，分别令，求出对应的值及函数的值，列表1-1如下： 表001000200以表中每组的值为坐标，描出对应五个关键点（，0）、（，2）、（，0）、（，2）、（，0）用光滑的曲线联结各点，得到函数在一个周期内的图像（如图）图动脑思考 探索新知一般地,为了作出正弦型曲线（，），令，利用上面的方法，可以求得五个关键点的坐标为（），（）,()，（），（）.巩固知识 典型例题例4 利用“五点法”作出函数在一个周期内的图像.解 函数的周期为，且所以五个关键点为，. （转下节）第十课时：作正弦型函数的图象（二）【教学目标】知识目标：会利用“五点法”作出正弦型函数的图像，了解正弦型函数在电学中的应用能力目标：通过应用举例及数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力【教学重点】利用“五点法”作出正弦型函数的图像；已知正弦型函数的图像写出函数的解析式【教学难点】已知正弦型函数的图像写出函数的解析式【教学设计】本节课的教学要求是掌握正弦型函数的性质及图像的“五点法”作图；由于主要为工科机电类专业服务，所以，在正弦型函数的应用方面，没有介绍传统的简谐振动，而把重点放在介绍简谐交流电的三要素和同频率的正弦量的合成上，正弦量的合成也只介绍同峰值的正弦量的合成，降低了难度例7是同频率的正弦量的合成问题计算量比较大，可以根据学生的情况选用电工实际计算中，一般是利用向量或复数进行计算教材中安排本题的意图是为学生理解同频率的正弦量的合成奠定基础【课时安排】1课时【教学过程】（接上节）描出这五个点，然后用光滑的曲线联结各点，得到函数在一个周期内的图像（如图）. 图运用知识 强化练习 利用”五点法”作出下列函数在一个周期内的图像：（1）； （2）.动脑思考 探索新知在电学中，电流强度的大小和方向都随时间变化的电流叫做交变电流，简称交流电最简单的是简谐交流电，其电流的大小和方向随时间而变化，满足的函数关系其中是电流强度的最大值，叫做简谐交流电的峰值；叫做简谐交流电的变化周期，表示交流电完成一次周期性变化所需的时间（单位为：）；单位时间内，交流电完成周期性变化的次数叫频率，用表示，单位为(赫兹)；叫做相位，叫做初相位峰值、频率和初相位是简谐交流电的三要素它们从三个不同的方面描述了简谐交流电的物理特征.在物理学中，用表示简谐振动，表示位移，叫做振幅；叫做简谐振动的变化周期，叫做简谐振动的变化频率，叫做相位；叫做初相位巩固知识 典型例题例5 已知交流电的电流强度（单位：A）随时间t（单位：s）的函数关系为写出电流的峰值、周期、频率和初相位解峰值为周期为频率为初相位为（转下节）第十一课时：作正弦型函数的图象（三）【教学目标】知识目标：会利用“五点法”作出正弦型函数的图像，了解正弦型函数在电学中的应用能力目标：通过应用举例及数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力【教学重点】利用“五点法”作出正弦型函数的图像；已知正弦型函数的图像写出函数的解析式【教学难点】已知正弦型函数的图像写出函数的解析式【教学设计】本节课的教学要求是掌握正弦型函数的性质及图像的“五点法”作图；由于主要为工科机电类专业服务，所以，在正弦型函数的应用方面，没有介绍传统的简谐振动，而把重点放在介绍简谐交流电的三要素和同频率的正弦量的合成上，正弦量的合成也只介绍同峰值的正弦量的合成，降低了难度例7是同频率的正弦量的合成问题计算量比较大，可以根据学生的情况选用电工实际计算中，一般是利用向量或复数进行计算教材中安排本题的意图是为学生理解同频率的正弦量的合成奠定基础【课时安排】1课时【教学过程】（接上节）例6已知交流电的电流强度（单位：A）随时间t（单位：s）变化的部分曲线如图所示试写出i及的函数关系式图解 电流强度随时间的变化满足正弦型函数关系，故设所求的函数关系为观察图1-5得到，峰值，周期.于是有，解得因为图1-5中所示起点坐标的横坐标为，即时，所以 ，因此所求的函数关系式为（单位：A）在电学中，同频率的正弦量（即形如的量）进行的求和运算，叫做同频率正弦量的合成例7设，求.解 .例5表明了电学中的一个重要结论：只有初相位不同的两个正弦量的合成仍是正弦量，其频率和峰值不变，只有初相位发生变化【想一想】如果只有频率不同，如何求正弦量的合成？继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题12（必做）；学习及训练12（选做）(3)实践调查：工科机电类专业研究简谐交流电的三要素第十二课时：正弦定理及余弦定理（一）【教学目标】知识目标：理解正弦定理及余弦定理能力目标：通过应用举例及数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力【教学重点】正弦定理及余弦定理及其应用 【教学难点】正弦定理及余弦定理及其应用【教学设计】本课利用几何知识引入新知识降低了难度教学中，不利用向量工具进行严格的证明，否则会增加难度，而是重在应用安排了5道例题，介绍利用正弦定理解三角形的方法例1是基础题，目的是让学生熟悉公式例2和例3是突破难点的题目，需要分情况进行讨论，介绍了讨论的方法和讨论的两种结果例4是已知两边及夹角，求第三边的示例，可以直接应用余弦定理；例5是已知三边的长求最大角和最小角的示例由于余弦函数在区间内是单调函数，所以知道余弦值求角时，没有必要进行讨论这里求最大角及最小角，是起到强化对“大边对大角，小边对小角”的认识利用余弦定理求一个角，求第二个角的时候，可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理【课时安排】1课时【教学过程】揭示课题1.3正弦定理及余弦定理*创设情境 兴趣导入我们知道，在直角三角形（如图）中,，即 CBAcab ，由于,所以，于是.所以 . 图16动脑思考 探索新知在任意三角形中，是否也存在类似的数量关系呢？cABCyabx图17当三角形为钝角三角形时，不妨设角为钝角，如图所示，以为原点，以射线的方向为轴正方向，建立直角坐标系，则 两边取及单位向量的数量积，得由于设及角A，B，C相对应的边长分别为a，b，c，故 即 所以 同理可得 即 当三角形为锐角三角形时，同样可以得到这个结论.于是得到正弦定理：在三角形中，各边及它所对的角的正弦之比相等.即 (1.7)利用正弦定理可以求解下列问题：（1）已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边和一角.（2）已知三角形的两边和其中一边所对角，求其他两角和一边. （转下节） 第十三课时：正弦定理及余弦定理（二）【教学目标】知识目标：理解正弦定理及余弦定理能力目标：通过应用举例及数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力【教学重点】正弦定理及余弦定理及其应用 【教学难点】正弦定理及余弦定理及其应用【教学设计】本课利用几何知识引入新知识降低了难度教学中，不利用向量工具进行严格的证明，否则会增加难度，而是重在应用安排了5道例题，介绍利用正弦定理解三角形的方法例1是基础题，目的是让学生熟悉公式例2和例3是突破难点的题目，需要分情况进行讨论，介绍了讨论的方法和讨论的两种结果例4是已知两边及夹角，求第三边的示例，可以直接应用余弦定理；例5是已知三边的长求最大角和最小角的示例由于余弦函数在区间内是单调函数，所以知道余弦值求角时，没有必要进行讨论这里求最大角及最小角，是起到强化对“大边对大角，小边对小角”的认识利用余弦定理求一个角，求第二个角的时候，可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理【课时安排】1课时【教学过程】 （接上节）巩固知识 典型例题例1 已知在中， ，求.分析 这是已知三角形的两个角和一边，求其他边的问题，可以直接应用正弦定理解 由于 ，所以 例2 已知在中，求B分析 这是已知三角形的两边和一边的对角，求另一边的对角，可以首先直接应用正弦定理求出角的正弦值，然后再求出角解 由于 ，所以 由，知，故，所以或例3 已知在中，求解 由于，所以，即，所以【注意】已知三角形的两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，要讨论这个角的取值范围，避免发生错误.运用知识 强化练习1已知在中，求C和a.2. 已知在中，4，求C和b（精确到）3已知在中，a =12，8，求B（精确到）动脑思考 探索新知如图18所示，在中，所以 即 （转下节）第十四课时：正弦定理及余弦定理（三）【教学目标】知识目标：理解正弦定理及余弦定理能力目标：通过应用举例及数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力【教学重点】正弦定理及余弦定理及其应用 【教学难点】正弦定理及余弦定理及其应用【课时安排】1课时【教学过程】 （接上节）图18BA同理可得，于是得到余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其余两边的平方和减去这两边及其夹角余弦乘积的两倍. 即 (18)显然，当时，有这就是说，勾股定理是余弦定理的特例公式（1.8）经变形后可以写成 （19）利用余弦定理可以求解下列问题：(1) 已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边和其他的两个角.(2) 已知三角形的三边，求三个角.巩固知识 典型例题例4 在中，求分析 这是已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边的问题，可以直接应用余弦定理解 =，所以.例5 在中，求中的最大角和最小角（精确到）. 分析 三角形中大边对大角，小边对小角解 由于abc，所以C最大，A最小，由公式（1.9），有 所以 ，=，所以 .运用知识 强化练习 1在中，3，2，求b.2. 在中，三边之比，求三角形最大内角.理论升华 整体建构结论：正弦定理： 余弦定理： 继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题61（必做）；学习及训练61（选做）第十五课时：正弦定理及余弦定理的应用（一）【教学目标】知识目标：会利用三角计算，解决一些生活及生产中的实际应用问题能力目标：通过应用举例及数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力【教学重点】正弦定理及余弦定理的应用 【教学难点】正弦定理及余弦定理的应用【教学设计】教材设计了航海、测量、力学、机械加工等专业方面的4道实际问题，利用正弦定理及余弦定理来求解，这些问题都是常识性的应用问题实际教学中可以根据学生所学习的专业，进行取舍，也可以增加及学生的专业联系紧密的例题从实际问题中抽象出解三角形的问题，并归纳为某个类型进行求解是教学的重点指导学生会看、会画示意图，提高数形结合的研究问题的能力【课时安排】1课时【教学过程】*创设情境 兴趣导入在实际问题中，经常需要计算高度、长度、距离和角的大小，这类问题中有许多及三角形有关，可以归结为解三角形问题巩固知识 典型例题例6 一艘船以每小时36海里的速度向正北方向航行（如图19）.在A处观察到灯塔C在船的北偏东方向，小时后船行驶到B处，此时灯塔C在船的北偏东方向，求B处和灯塔C的距离（精确到0.1海里）. N 图19A解 因为，所以.由题意知(海里).由正弦定理得 （海里）. 答：B处离灯塔约为海里. 例7 修筑道路需挖掘隧道，在山的两侧是隧道口A和(图110），在平地上选择适合测量的点C，如果，m，m，试计算隧道的长度（精确到m） 图110解 在中，由余弦定理知 =所以 m. 答：隧道的长度约为409m.（转下节）第十六课时：正弦定理及余弦定理的应用（二）【教学目标】知识目标：会利用三角计算，解决一些生活及生产中的实际应用问题能力目标：通过应用举例及数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力【教学重点】正弦定理及余弦定理的应用 【教学难点】正弦定理及余弦定理的应用【教学设计】教材设计了航海、测量、力学、机械加工等专业方面的4道实际问题，利用正弦定理及余弦定理来求解，这些问题都是常识性的应用问题实际教学中可以根据学生所学习的专业，进行取舍，也可以增加及学生的专业联系紧密的例题从实际问题中抽象出解三角形的问题，并归纳为某个类型进行求解是教学的重点指导学生会看、会画示意图，提高数形结合的研究问题的能力【课时安排】1课时【教学过程】 （接上节）例8三个力作用于一点O（如图111）并且处于平衡状态，已知的大小分别为100N，120N，的夹角是60，求F的大小（精确到1N）和方向图111解 由向量加法的平行四边形法则知，向量表示F1，F2的合力F合，由力的平衡原理知，F应在的反向延长线上，且大小及F合相等.在中，18060=120，100，120，由余弦定理得 =191（N）.在中，由正弦定理，得0.5441，所以33，F及F1间的夹角是18033=147.答：F约为191N，F及F合的方向相反，且及F1的夹角约为147运用知识 强化练习一个零件尺寸如图所示，加工后要检验A、B两孔的距离，试计算孔距（精确到0.01）.理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：正弦定理、余弦定理的内容：结论：正弦定理：余弦定理：继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题13（必做）；学习及训练中训练题13（选做）第十七课时：应用举例（一）【教学目标】知识目标：会利用三角计算，解决一些生活及生产中的实际应用问题能力目标：通过应用数学知识解决实际问题的应用举例，锻炼学生分析问题和解决问题的能力【教学重点】机械识图及构建实际数学模型 【教学难点】机械识图及构建实际数学模型【教学设计】本节课主要围绕机械加工的几个实例介绍生产中的三角计算及其应用问题教学中要求结合弓形的尺寸计算及板材的下料计算，提高学生对应用数学知识解决实际问题的认识，为进一步解决职业岗位中的实际问题打下基础三角计算在机械加工中的应用非常广泛，无论是设计、编程、加工、组装，还是测量、分析、检验都用到三角知识教材所选的内容是最基础的内容，旨在强化学生应用数学知识解决实际问题的意识【教学备品】教学课件【课时安排】1课时【教学过程】揭示课题火车1中国比利时飞机1飞机2火车2火车3货船1货船21.4应用举例*创设情境 兴趣导入在机械加工中，经常用到三角计算下面通过几个计算实例，介绍生产岗位中的常用三角计算动脑思考 探索新知斜度是指一条直线（或一个平面）相对另一条直线（或另一个平面）的倾斜程度，常用字母K表示其大小为这两条直线（或两个平面）夹角的正切值例如，在图113所示斜键中，斜度 （110）图113习惯上，斜度常用比例或分式的形式表示，例如斜度为或图113上标注斜度其含义是：在内，高度相差角叫做斜角锥度是指圆锥的底面直径及锥体高度之比，常用字母C表示如果是圆台，则为上、下两底圆的直径差及圆台高度之比值图114所示圆锥台零件的锥度为 （111）图114中角叫做圆锥角，角叫做圆锥半角图114在阴影所示的直角三角形中，由于，所以 所以 锥度一般用比例或分式的形式表示，例如为或图114上标注锥度其含义是：在的长度内，两端直径相差（转下节）第十八课时：应用举例（二）【教学目标】知识目标：会利用三角计算，解决一些生活及生产中的实际应用问题能力目标：通过应用数学知识解决实际问题的应用举例，锻炼学生分析问题和解决问题的能力【教学重点】机械识图及构建实际数学模型 【教学难点】机械识图及构建实际数学模型【教学设计】本节课主要围绕机械加工的几个实例介绍生产中的三角计算及其应用问题教学中要求结合弓形的尺寸计算及板材的下料计算，提高学生对应用数学知识解决实际问题的认识，为进一步解决职业岗位中的实际问题打下基础三角计算在机械加工中的应用非常广泛，无论是设计、编程、加工、组装，还是测量、分析、检验都用到三角知识教材所选的内容是最基础的内容，旨在强化学生应用数学知识解决实际问题的意识【教学备品】教学课件【课时安排】1课时【教学过程】 （接上节）巩固知识 典型例题例1 有一个外圆锥，已知其最大直径，最小直径，圆锥长度100，试求其锥度C、圆锥半角及圆锥角（精确到）解由于，所以由得，所以例2 一个精密圆锥滚子轴承零件（如图115），要求测量此轴承之内外滚边的锥角用杠杆附件升降20，测量出85，55，求出锥度C和圆锥角（精确到）解 ，由得所以 ， 图115运用知识 强化练习如图所示的斜垫块，斜度为，小端尺寸h为6，长为70，求大端尺寸H动脑思考 探索新知在机械加工中，为保证零件的装配和使用要求，必须随时对加工零件进行测量对工件进行角度、锥度测量，比较普遍的方法是间接用钢球、圆柱和量块等工具，测量出及其有关的线值尺寸，通过三角形计算求得角度和锥度值第十九课时：应用举例（三）【教学目标】知识目标：会利用三角计算，解决一些生活及生产中的实际应用问题能力目标：通过应用数学知识解决实际问题的应用举例，锻炼学生分析问题和解决问题的能力【教学重点】机械识图及构建实际数学模型 【教学难点】机械识图及构建实际数学模型【课时安排】1课时【教学过程】 （接上节）巩固知识 典型例题例5图117是用正弦尺测量外圆锥的示意图用正弦尺测量锥度塞规时，已知所垫量块高度50，正弦尺两个圆柱的中心距100，求锥度塞规的锥角是多少？图117解已知锥度满足，所以例6图118表示测量外圆锥锥角的示意图其中，1表示圆柱，2表示工件，3表示量块，4表示平板把工件2放在检查平板上，用两个半径为R的圆柱先测出尺寸30，然后用量块将两圆柱同时垫高15，再测出尺寸20求锥角（精确到）解在中， 所以 ，即 ， 所以 图118例7 利用圆柱法可以间接测量斜孔工件（如图119）先在斜孔中配上心轴，并按图的位置放好附加圆柱已知附加圆柱的直径为D，平孔的直径为E，斜孔的直径为d，测出尺寸M，要求计算尺寸N图119解在直角三角形和中，因为，所以 由于测出尺寸M和E，于是 其中理论升华 整体建构 斜度是指一条直线（或一个平面）相对另一条直线（或另一个平面）的倾斜程度，常用字母K表示其大小为这两条直线（或两个平面）夹角的正切值锥度是指圆锥的底面直径及锥体高度之比，常用字母C表示如果是圆台，则为上、下两底圆的直径差及圆台高度之比值继续探索 活动探究(1)读书部分：教材2)书面作业：教材习题14（必做）；第二十课时：生产中的实际应用举例（一）【教学目标】知识目标：会利用三角计算，解决一些生活及生产中的实际应用问题能力目标：通过应用数学知识解决实际问题的应用举例，锻炼学生分析问题和解决问题的能力【教学重点】机械识图及构建实际数学模型 【教学难点】机械识图及构建实际数学模型【教学设计】本节课主要围绕机械加工的几个实例介绍生产中的三角计算及其应用问题，教学中要求结合弓形的尺寸计算及板材的下料计算，提高学生对应用数学知识解决实际问题的认识，为进一步解决职业岗位中的问题打下基础三角计算在机械加工中的应用非常广泛，无论是设计、编程、加工、组装，还是测量、分析、检验都用到三角知识教材所选的内容是最基础内容，旨在强化学生应用数学知识解决实际问题的意识【课时安排】1课时【教学过程】动脑思考 探索新知在一个圆中作一条弦，由弦及其所对的弧组成的图形叫弓形这段弧叫做弓形的弧垂直于弦的直线，被弦分为两部分，分别为两个弓形的高如图120所示，上部为一个弓形，d表示弓形所在圆的直径，L表示弓形的弦长，h表示弓形高在中，由勾股定理得而 ， 故 整理得 （112） 将上式变形得到 ，解得 （113） （114）公式（14）中，当弓形小于半圆（圆弧为劣弧）时取“”号，大于半圆（圆弧为优弧）时取“+”号图120巩固知识 典型例题例8 已知如图12所示，一个轴的直径为22，端部圆头半径为20，求圆头部分的高度h 图121解 此问题就是求弓形的高利用公式（14）（公式中取“”），得（）运用知识 强化练习要加工如图所示的内燃机阀门推杆头部，已知圆球直径25，轴的直径15，求截球长L.转下节第二十一课时：生产中的实际应用举例（二）【教学目标】知识目标：会利用三角计算，解决一些生活及生产中的实际应用问题能力目标：通过应用数学知识解决实际问题的应用举例，锻炼学生分析问题和解决问题的能力【教学重点】机械识图及构建实际数学模型 【教学难点】机械识图及构建实际数学模型【教学设计】本节课主要围绕机械加工的几个实例介绍生产中的三角计算及其应用问题，教学中要求结合弓形的尺寸计算及板材的下料计算，提高学生对应用数学知识解决实际问题的认识，为进一步解决职业岗位中的问题打下基础三角计算在机械加工中的应用非常广泛，无论是设计、编程、加工、组装，还是测量、分析、检验都用到三角知识教材所选的内容是最基础内容，旨在强化学生应用数学知识解决实际问题的意识【课时安排】1课时【教学过程】动脑思考 探索新知图122现有宽分别为a、b的两块铁板（如图122），要对接焊接成角，怎样下料呢？过点A作两边的垂线、，垂足为C、D设，则下料的关键是计算x只要计算出x，则按照这两个角度，沿焊接即可对接成图中所示的角下面来计算角x在中，设的长为m， 则 于是 即 所以 （1.15）特别是当ab时， 即 （1.16）由于，故此时 巩固知识 典型例题例9 某车间要利用宽为4和8的钢板，焊接一批如图123所示的角铁，问下料时角x应取多大（精确到）图123解 利用公式（1.15）得 由于 所以 故下料时角x约取继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题14（必做）；学习及训练训练题14（选做）52 / 52