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闸北区2013年高考数学(理科)模拟试题(满分:150分 考试时间:120分钟)2013.5一、填空题(本大题满分56分)本大题共14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分1若,则 2已知为等差数列,+=9,=15,则 3某程序框图如图所示,该程序运行后输出的的值是 4已知(其中以为常数且), 如果,则的值为 .5设等比数列的前n 项和为,若,则= 6湖面上漂着一个表面积为的小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个深2厘米的空穴,则该空穴表面圆形的直径为 厘米.7设向量,定义一运算:,已知,.点Q在的图像上运动,且满足(其中O为坐标原点),则的最小正周期是 8某小组共有名学生,其中恰有一对双胞胎,若从中随机抽查位学生的作业,若双胞胎的作业同时被抽中概率为,则_9在极坐标系中,两曲线与交于两点,则_10已知双曲线的渐近线与圆相交,则双曲线两渐近线的夹角取值范围是_ 11复数是方程的解,若,且,则的最小值为_ 12已知函数,集合 ,集合,则集合所表示的图形面积是_ 13已知椭圆与双曲线有相同的焦点.点是曲线与的公共点,则 14函数,对任意的,总存在,使得成立,则的取值范围为二、选择题(本大题满分20分)本大题共4题,每题只有一个正确答案,考生应在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得4分,否则一律得零分15已知,则x= ( )(A)4 (B) (C) (D)16若,则的值为( )(A) (B)0 (C) 2 (D)17已知定义在函数,存在常数,对任意均有成立,则下列结论中正确的个数是( )(1)在一定单调递增;(2)在上不一定单调递增,但满足上述条件的所有一定存在递增区间;(3)存在满足上述条件的,但找不到递增区间;(4)存在满足上述条件的,既有递增区间又有递减区间(A)3个(B)2个 (C)1个 (D)0个18定义域为的函数图象上两点,是图象上任意一点,其中已知向量,若不等式对任意恒成立,则称函数在上“阶线性近似”若函数在上“阶线性近似”,则实数的取值范围为 ( )(A) (B) (C) (D)三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.如图,某几何体中,正三棱柱的所有棱长都为2,四边形是菱形,其中为的中点.(1)求与所成角的大小;(2)求该几何体的体积.20.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分. 中,分别是角的对边,向量,,(1)求角的大小;(2)若,求的值 21(本题满分14分)已知A、B两地相距200km,一只船从A地逆水到B地,水速为8km/h,船在静水中的速度为,其中为给定的大于12的常数。若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比,当=12 km/h时,每小时的燃料费为720元,为了使全程燃料费最省,船的实际速度应为多少?(全程燃料费=每小时的燃料费实际行驶的时间)22(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分。已知抛物线的焦点为,点为抛物线上的定点,点为抛物线上的动点.且的外接圆圆心到准线的距离为.(1)求抛物线的方程;(2)过作圆的两条切线分别交该圆于点,求四边形面积的最小值及此时点坐标.(3)设点,且对抛物线上的任意动点,总为锐角,求实数的取值范围23(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分。 对于数列:,记表示实数中最大的数,表示实数中最小的数,其中定义变换,将数列变换成数列:(1)已知数列:和数列,写出数列和;(2)已知数列中任意两项互不相等,证明:数列:中必有两个相邻的项相等;(3)证明:对于有穷数列,与是相同的数列的充要条件是上海市闸北区2013年高考三模数学试题(理科)参考答案(满分:150分 考试时间:120分钟)2013.5一、填空题(本大题满分56分)本大题共14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分1若,则 (0,2)2已知为等差数列,+=9,=15,则 83某程序框图如图所示,该程序运行后输出的的值是 44已知(其中以为常数且), 如果,则的值为 . 35设等比数列的前n 项和为,若,则= 106湖面上漂着一个表面积为的小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个深2厘米的空穴,则该空穴表面圆形的直径为 厘米. 127设向量,定义一运算:,已知,.点Q在的图像上运动,且满足(其中O为坐标原点),则的最小正周期是 8某小组共有名学生,其中恰有一对双胞胎,若从中随机抽查位学生的作业,若双胞胎的作业同时被抽中概率为,则_109在极坐标系中,两曲线与交于两点,则_4_10已知双曲线的渐近线与圆相交,则双曲线两渐近线的夹角取值范围是_11复数是方程的解,若,且,则的最小值为_12已知函数,集合 ,集合,则集合所表示的图形面积是_13已知椭圆与双曲线有相同的焦点.点是曲线与的公共点,则14函数,对任意的,总存在,使得成立,则的取值范围为二、选择题(本大题满分20分)本大题共4题,每题只有一个正确答案,考生应在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得4分,否则一律得零分15已知,则x= ( C )(A)4 (B) (C) (D)16若,则的值为( A )(A) (B)0 (C) 2 (D)17已知定义在函数,存在常数,对任意均有成立,则下列结论中正确的个数是( B )(1)在一定单调递增;(2)在上不一定单调递增,但满足上述条件的所有一定存在递增区间;(3)存在满足上述条件的,但找不到递增区间;(4)存在满足上述条件的,既有递增区间又有递减区间(A)3个(B)2个 (C)1个 (D)0个18定义域为的函数图象上两点,是图象上任意一点,其中已知向量,若不等式对任意恒成立,则称函数在上“阶线性近似”若函数在上“阶线性近似”,则实数的取值范围为 (D )(A) (B) (C) (D)三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.如图,某几何体中,正三棱柱的所有棱长都为2,四边形是菱形,其中为的中点.(1)求与所成角的大小;(2)求该几何体的体积.解:(1)最后一步改为6分(2)共6分20.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分. 中,分别是角的对边,向量,,(1)求角的大小;(2)若,求的值 解:-2分-5分或-7分(2), 8分综上 12分21(本题满分14分)已知A、B两地相距200km,一只船从A地逆水到B地,水速为8km/h,船在静水中的速度为,其中为给定的大于12的常数。若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比,当=12 km/h时,每小时的燃料费为720元,为了使全程燃料费最省,船的实际速度应为多少?(全程燃料费=每小时的燃料费实际行驶的时间)解答:设每小时的燃料费为,比例系数为,则 1分当时,得k=5 3分设全程燃料费为y,依题意有6分当,即v=16时取等号所以当时,v=16时全程燃料费最省。 9分当时,令任取则即在上为减函数,当时,y取最小值 13分综合得:当时,v=16km/h,实际船速为8km/h,全程燃料费最省,为32000元,当时,当,实际船速为(-8)km/h时,全程燃料费最省,为元. 14分22(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分。已知抛物线的焦点为,点为抛物线上的定点,点为抛物线上的动点.且的外接圆圆心到准线的距离为.(1)求抛物线的方程;(2)过作圆的两条切线分别交该圆于点,求四边形面积的最小值及此时点坐标.(3)设点,且对抛物线上的任意动点,总为锐角,求实数的取值范围解x yFPOMN答:(1)的外接圆的圆心在线段的中垂线上,则圆心的纵坐标为故到准线的距离为 从而 (2分)即抛物线的方程为: (4分)(2)设 圆心坐标是抛物线的焦点 (6分) (8分) 当时,四边形面积的最小值为,此时点.(10分)(3)(理)根据题意:为锐角且 (11分)记: 在上恒成立又 .当时,即:当时,解得: (13分).当时,即:当时, (15分)综合得: (16分)23(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分。 对于数列:,记表示实数中最大的数,表示实数中最小的数,其中定义变换,将数列变换成数列:(1)已知数列:和数列,写出数列和;(2)已知数列中任意两项互不相等,证明:数列:中必有两个相邻的项相等;(3)证明:对于有穷数列,与是相同的数列的充要条件是解答:(1)由的定义可知: 2分同理: 即 4分()中4项的大小关系有8种情况。(分类讨论) 当时,由定义易得:,命题得证; 5分当时,由定义易得:,命题得证;6分其余6中情况中必有相邻的三项满足:或.若,由定义且,则,命题得证; 8分若,由定义且,则,命题得证。 分(或分8类讨论也可以)()先证充分性:,所以,即12分再证明必要性:首先,证明A中的各项都是非负的。 又,则 14分 然后,用反证法证明A中的各项都是0. 假设中有一个正数,设为中从左至右的第个正数,则由定义知:,从而,这说明在中最小值为,不妨设分由定义知:,则,得由的定义有:,这与矛盾故18分
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