资源描述
第一章静电场中的电介质1-1半径为a的球带电量为q,电荷密度正比于距球心的居里。求空间的电位和电场分布。解：由题意可知，可设pkr再由于,pdvq，代入可以求出常数k即,4兀r2krdr=兀ka4所以k=p=r兀a4兀a4当r.a时由高斯定理可知E-4兀r2=q；E=q4兀r200UJE-dr=J4兀r0当0vr乞近似值1 8el81elooP点，实际值-空近似值2 24ml625mloo1-4分别绘出电偶极子、电四极子和电八极子的图形，并给出其相应的电偶3极子强度，电四极子强度，电八极子强度。1-5为解：参考课本P图1-1021偶极子强度ql；四极子强度qll；八极子强度qlll12123试证明位于（0,0,l）的点偶极子（方向沿Z轴）在场点的r的展开式,(r,0)艺nPn(cos0)4亦rn+i0n=0解：点电荷的多极展开式为,(r)=+qZ-cos0+qZ_(3cos2一-)+rr2r322对于正电荷+q来说z=引/2qq(3l/2)q(3l/2)231,=+COS0+(COS2)+rr2r322对于负电荷-q来说z=l/2-器一愕COS0一COS2一2)+,ql2l231COS0+(COS2)+.4庇rr322012l31COS0+(COS2)+4庇rr322010-111-112-131n=-0-P+-P(cos0)+2P(cos2一)+.4兀r0+10r1+11r2+12220艺n-Pn(COS0)4亦rn+10n=0证毕1-6（1）试证明电偶极子（二ql）在电场E中的转矩M势能W分别为:4W=-,-E2)指出偶极子在电场中的平衡位置、稳态平衡位置。(3)当,和E的夹角从变到时，求电场力所做的功和偶极子的势能变12化。(1) 转矩M=r=rqEr(qE)=2qrE=qlxE=,xE势能W=q申+q申=qEl二-,E+2)M=0,=0,兀平衡位置5#=0,W=,E能量最低，稳态平衡二兀，W=,E能量最大，不稳定电场力做功，是减少因此d为负A二JMd=fi,Esind二,E(coscos)212势能变化=WW=,E(coscos)2112因此：保守力做功等于势能增量的负值1-7A=W两个电偶极子,、,相距R，讨论两偶极子间的相互作用能。12解：先假定两个偶极子均与R成角，其他情形与此类似W,二,E二,申112112偶极子,在,处的电势为21申二124ksR30申=23(tR)R124兀8R34兀8R500,=13(R)(-R)W=V,12121124R3R50-cos203cos(-0)cos0R312一4R30i2(3cos20-cos20)4R3012(1+COS20)4sR301-8什么是电介质的极化？介质极化是由哪些因素决定的？7#1-9答案略什么叫退极化场？试用极化强度P来表示一个介电常数的为的平板介质r电容器的退极化场，宏观平均电场和极板上的重点电荷电场。解：极化电荷形成的电场来削弱自由电荷建立的电场为退极化电场E=p/P0PE二E+E0P（一1）0rPPE二E产0（一1）P（一1）0r0r110在均匀电场E中放一个半径为a的导体球，求球的感应电荷在远场处的电0势及球内的电势、电场。由此证明导体球的引入，对于远场来言相当于引入了一个电偶极子。并求出导体球的极化率。解：导体球外,0rarn+1n)P(cos0)边界条件为1）由于导体球为一个等势体因此ra0#(2),rgErcos00#有A=-EA=0(n1)代入边界条件可知：10nB=aqBn，0(n0,1)00-Ea+B/a=0因此B=Ea30110所以aq八Ea3申二oErcosB+ocosBr0r2如果导体球接地则q二0从而有0q=-ErcosO+ocos00r2所以极化电荷产生的电势，电场为Ea3q二一Pr2E=-qPP8#E=EsinOPO0Qq2Ea3E二一=ocosOPrQrr3导体球的偶极矩为：卩二4kea3E00导体球的极化率为：a二4nsa301-11试证明在电场E中引入一偶极矩为卩的分子，则该分子具有的极化势能00为W=卩E-1E2，其中为分子的极化率。0020解：假定分子固有偶极矩卩沿分子长轴取向0分子在电场E感生偶极矩卩的长轴和短轴方向上的分量分另U为0p=E=EcosO11110卩=E=EsinO其中E=E+E2222012p=p+p=E+E121122p=pcosO+psinOE12=(cos2O+sin2O)E=(cos2O+)E120209分子的势能为固有偶极矩势能（-卩E）和感生偶极矩（-卩E）之和002E0W=-卩E-Ip.E卩0021-12HO分子可以看成是半径为R的O2,离子与两个质子（H+）组成，如图所2示，其中lR，H+O2-H+间夹角为20,试证明分子偶极矩值为p=2elcosO（1-R3）l3解：分子的固有偶极矩为：p=2elcosO0由于O2-受到H+H+的作用，使之发生位移极化，使02-的正负电荷中心发生位4e2x4亦R30移为x原子核的库仑吸引力F二-_Q4恋R302H+产生的电场力为：F二-4ee曲由于F=F4亦120所以R3cos3O2102#此时的分子偶极矩为：p=2e(lcosOx)=2elcosO(1)l3感生偶极矩为p=dE由于E二2ecosO，d=4亦R3eeeeAKE12纟00所以一2eR3cosO12总的偶极矩为p=p+p0e1-13在无限大电介质（e）中有均匀电场E，若在该介质中有一半径为a、介10电常数为E介质球，求球内外的电势、电场及介质球内电偶极矩p。讨论211介质球带来的影响，并将结果推广到：(1)=1i2)=121)解：由题意可解得：a3,(于i2r3i22213”E+021)Ercose0rcos0E-,i-EEcose+21Ecose02+r30211rEie-Esine+_Esine02r30i23”iE20i2空腔球i,(一i2+21)Ercoser30卩4KiErcose0ia3E2022)12#(a3-i)EorcoseiiErcose2i0ii4殛a3E02i0i1-141)求沿轴向均匀极化的介质棒中点的退极化场，已知细棒的截面积为S，长度为l,极化强度为P,如图（a）所示。（2）无限大的电介质平板，其极化强度为P,方向垂直于平板面。求板中点O处的退极化场。已知板厚为d,如图（b）所示。（3）求均匀极化的电介质球在球心的产生的退极化场。已知球半径为r，极化强度为P，如图（c）所示。4）从（1）、（2）、（3）的计算结果，可以给出什么样的结论（电介质地退极化场的大小与电介质的纵、横线度的关系）？解（a）有题意可知：q二s=Ps重点处的场强为：E=qq=2ps4k8。(丄)24k8。(-)2加012由于存在l2s,因此E沁0P(b)由于=P所以：E=PP,&00(c)=Pcos0ds=r2sin0d0dqdqf=fds=Pr2cos0sin0d0ddEp=cos0sin0d0dq4k,r24k,00PdEfpz=dEfpcos0=cos20sin0d0d4k,0Epz=卜cos20sin0d02kdq=4k,oo3e00可见沿着极化方向，纵向尺度越大，横向尺度越小，退极化电场越弱；反之，纵向尺度越小，横向尺度越大，退极化电场越强。1-15试证明，昂沙格有效电场也适用于非极性介质，即昂沙格有效电场概括了洛伦兹有效电场。解：对于非极性电介质来说有R0012(-1)E=gE+r卩e4a32+10r(由于，n2(-1)gE+0r,E32+1ee0r再由于n,Ep(1)Er-0ee0r所以：E二竺E+2(r1)2Ee2+13(2+1)rr这是昂沙格有效电场等于洛仑兹有效电场。证毕1-16为什么说克莫方程师表征介质宏、微观参数的关系式。由该方程可以看出，随材料密度的提高，将如何变化。并给出克莫佯谬；即当密度到r15#定值时g；密度再提高时V0。并论1正这在实际情况中使不可能的。解：有克-莫方程阳磐r0其中,是宏观参数，n,为电介质微观粒子极化性质的微观极化参数;r00故称克-莫方程为介质宏微观参数的关系式；由摩尔极化表征-1Mr-+2pr-1N,pr二0-+23Mr0N,p由此式可得，当介质密度升高到01，则有Tg3Mr0当介质密度升高到，賞儿则有r00对于电介质来说显然不可能为无穷大和为负值.r1-17已知CO在T=300K时，=1.0076,N二2.7x1025/m，3,n=201.000185，求其固有的偶极矩。0解：对于COT=300K时，=1.0076，n=1.000185,n=2.7x1025/m30光频时Np1n克-莫万程0-1-3M+230a0对于极性气体来说，克-莫方程则为：异=加e+踣)r09KT113KTz、29.4x10-302二0r，沁0（，n2）二0n+2+2nr0ra0所以：-5.425x10，30c.m-1.63D01-18在某一种偶极子气体中，若每个偶极子的极化强度为IDebye，计算在室温下使此气体达到0.1%取向极化饱和值时所需要的电场。解：由题意可知二1D二3.33x10，30cmT二300K0k=1.38x10-23J/K=E再令=0.1%E3KTeE0匕3kt则有E二一二0.001x3KT/二3.7x106V/me2001-19(XO)HCCH(OX)这类分子由两个理想基团“CHOX”通过一个碳碳单222键“CC”相连接。已知每个分子基团“一CHOX”的偶极矩为2.50Debye2，相对中间碳键成45。角。在标准状态下对该气体实验测量表明为1.01r光学折射率为1.0005，试确定两个分子基团间的相对取向。173KT,解：卩2“=0（,一n2）由于n2=1.0010nr03x1.38x1023x300x8.85x1012卩20-36610-60C2m22.710-25卩=6.05x1030=1.82D0卩=2.5Dxcos45o=1.76D000由2%cos-co込=0.517所以0=117.7。1-20已知He原子（单原子气体）的极化率为2.19x10-41Fm2，计算在标准状态下，其介电常数，及折射率n,并与实验数据,=1.000074,n=rr1.000035相比较。解：对于非极性气体来说有：rna,=1+or,0其中a=2.19x10-41，n=2.7x10250,=1+2.710252191041二1.000067r8.8510-12所以n=,=1.000033与实验数据rn二1.000035相符合1-21试说明为什么TiO晶体具有较咼的2答案略1-22试证明对非极性气体电介质丝0dp务0式中p为气体压力，T为气18#体的温度。解：由题意可知：p二nKT0#pa3KT,0,1nar=0=,+23,r0#近似有1,空一r3KT0所以有当T不变时把r对P求导可得:务-kOt0d当P不变时把对T求导可得：rdTKT20一pa1-23介电常数为的电介质充满整个空间，且其中存在均匀电场E(见图10(a)今在其中引入一个介电常数为的电介质球，图(b)(c)(d)2为三种情况，其中线条为电力线，讨论三种情况下的介电常数与的关系1及其相互作关系。解：由题意可知：E1E+2&021b)E内部电场大，球内电场对外产生向外210的斥力，退极化场E与E方向一致;P0c)EE退极化电场E与E方向相反，削弱210P0了原电场；d)E很小，当T8，E0相当与金属导体21r球，球体对电场产生屏蔽。124对于离子晶体，若两个离子间的斥力取波恩函数时，试证明一对正、负离子的位移极化率为an-歸，其中Ro为两离子间的距离，n19为波恩函数中的常数。rn1答案略125列举一些材料的极化类型以及在各种频率下所能发生的极化形式。答案略2011什么是电介质的极化？表征介质极化的宏观参数是什么？答：电介质在电场作用下，在介质内部感应出偶极矩、介质表面出现束缚电荷的现象称为电介质的极化。其宏观参数为介电常数。12什么叫退极化电场？如何用极化强度P表示一个相对介电常数为的r平行板介质电容器的退极化电场、平均宏观电场、电容器极板上充电电荷所产生的电场。答：在电场作用下平板电介质电容器的介质表面上的束缚电荷所产的、与外电场方向相反的电场，起削弱外电场的作用，所以称为退极化电场。rrP退极化电场：E=-=-一d00P平均宏观电场：E二-(1)0r充电电荷所产生的电场：E=工二-=E-=E+-e000013氧离子的半径为1.3210，10m，计算氧的电子位移极化率。提示：按公式a二4kr3,代入相应的数据进行计算。014在标准状态下，氖的电子位移极化率为0.4310toF-m2。试求出氖的相对介电常数。解：氖的相对介电常数：103单位体积的离子数：N=6.0231023二2.73102522.4而&（&一1）,N0reN所以：8，1-1.0000678r8015试写出洛伦兹有效电场表达式。适合洛伦兹有效电场时，电介质的介电常数8和极化率有什么关系？其介电常数的温度系数的关系式又如何表示。解：洛伦兹有效场：E=11E+Ee38118和的关系：，N8+2380介电常数的温度系数为：，-（8一1）（82）卩3L16若用E表示球内极化粒子在球心所形成的电场，试表示洛伦兹有效电1场中E=0时的情况。182解：E=0时，洛伦兹的有效场可以表示为E，E1e317试述KM方程赖以成立的条件及其应用范围。答：克一莫方程赖以成立的条件：E，0其应用的范围：体心立方、面心立方、氯化钠型以及金刚石结构的晶体；非极性以及弱极性液体介质。18有一介电常数为8的球状介质，放在均匀电场E中。假设介质的引入不改变外电场的分布，试证：解；按照洛伦兹有效电场模型可以得到：在E，0时3所以E=E,2e19如何定义介电常数的温度系数？写出介电常数的温度系数、电容量温度系数的数学表达式。答：温度变化一度时，介电常数的相对变化率称为介电常数的温度系数。1d，a=，dT1dCa=C，dT（，1）（，+2）,L110列举一些介质材料的极化类型，以及举出在给中不同的频率下可能发生的极化形式。答：如高铝瓷，其主要存在电子和离子的位移极化，而掺杂的金红石和钛酸钙陶瓷却除了含有电子和离子地位移极化外，还存在电子和离子的弛豫极化。在光频区将会出现电子和离子的位移极化，在无线电频率区可出现弛豫极化、偶极子的转向极化和空间电荷极化。111什么是瞬间极化、缓慢式极化？它们所对应的微观机制各代表什么？答：极化完成的时间在光频范围内的电子、离子的位移极化称为瞬时极化。而在无线电频率范围的弛豫极化、自发式极化都称作缓慢式极化。电子、离子的位移极化的极化完成时间非常短，在0-1210-15s范围内，当外电场在光频范围内时，极化能跟的上外电场的变化，不会产生极化损耗。而弛豫极化的完成所需要的时间比较长，当外电场的频率比较高时，极化将跟不上外电场的频率变化，产生极化滞后的现象，出现弛豫极化损耗。112设一原子半径为R的球体，电子绕原子核均匀分布，在外电场E作用下，原子产生弹性位移极化，试求出其电子位移极化率。答案参考课本简原子结构模型中关于电子位移极化率的推导方法。113一平行板真空电容器，极板上的自由电荷密度为,现充以介电系数为8的介质。若极板上的自由电荷面密度保持不变，则真空时：平行板r电容器的场强E=，电位移D=，极化强度P;充以介质时：平行板电容器的场强E=，电位移D=，极化强度P，极化电荷所产生的场强。解：E，,080D，P，00025#E，J880rE，EEji0J1D，P，(1)JJ8r(18)，r880r114为何要研究电介质中的有效电场？有效电场指的是什么？它由哪几部分组成？写出具体的数学表达式。参考课本有效电场一节。115氯化钠型离子晶体在电场作用下将发生电子、离子的位移极化。试解释温度对氯化钠型离子晶体的介电常数的影响。解：温度对介电常数的影响可以利用式：13T0N(e+ae对温度求导可得：,1d2（1）（+2）p+（+2）2nq2dkdTL9k2dT0由上式可以看出，由于电介质密度的减少使得电子位移极化率以及离子位移极化率所贡献的极化强度都减少，第一项为负值。但是温度的升高又使得离子晶体的弹性联系减弱，离子位移极化加强，也就是第二项为正值。然而第二项又与第一项相差不多。所以氯化钠型离子晶晶体的介电常数是随着温度的升高尔增加，但增加的非常缓慢。116试用平板介质电容器的模型（串、并联形式），计算复合介质的介电系数（包括双组分、多组分）。26#解：串联时：111+CCC1#s0sC=01ids02,dCd+d12#diy,d+d112d2yd+d212#可得1yy厶+212同理可得并联时：117双层介质在直流电场的作用下，其每一层电场在电压接通的瞬间、稳态、电压断开的情形下是如何分布的？作图表示（注意、丫的大小;电场的方向）。答案略118平行板真空电容器，极板上的电荷面密度为c，1.77x10一6C/m2。现充以相对介电常数为，9的介质，若极板上的自由电荷密度保持不变r，计算真空和介质中的E、P、D给为多少？束缚电荷产生的场强为多少？解：真空时：cE，2.0x105V/m00D，c，E，1.77x106C/m0000P，00介质中：E2.0x105E，2.2x104V/m90D，E，E，c，1.77x106C/mr0r0P，(1)E，1.57x106C/m20rEr，EE，1.78x105V/m0119一平行板介质电容器，其板间距离d，1cm,s，10cm2,介电系数=2，外界1.5V的恒压电源。求电容器的电容量C；极板上的自由电荷q；束缚电荷q；极化强度P；总电矩卩；真空时的电场E以及有效电场0Ee。A解：c，-01.77pFdQ，cV，7.965x10-10CQr，cA，-(-1)EA，3.9825x10-10C0P=c=3.9825x10-7C/m2，Pv，3.9825x10-12CmVE，4.5x104V/m0d8+2E，E，6x104V/me3120边长为10mm、厚度为1mm的方形平板介质电容器，其电介质的相对介电系数为2000，计算相应的电容量。若电容器外接200V的电压，计算：（1）电介质中的电场；（2）每个极板上的总电量；（3）存储在介质电容器中的能量。答案略121通常可以给介质施加的最大电场（不发生击穿）为106V/cm左右，试分析在此情况下，室温时可否使用朗日凡函数的近似式。答案略122求出双层介质中不发生空间电荷极化的条件。答案略123下面给出极性介质的翁沙格有效电场表示式如下：E，上E+2“2（8-De28+138（28+1）0试证明：上式已经包括了非极性介质的洛伦兹有效电场的形式。答案略29
展开阅读全文